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C.4  Einige Reihen

Funktion Potenzreihe Konvergenz
(1 ± x)m 1 ± mx + m-(m--1) 2!x2 ±m(m--1)(m--2) 3! + … |x|≤ 1
+(±1)nm(m -1)...(m -n+1) -------n!------xn + …
sin(x + Δx) sin(x) + Δx- 1! cos(x) + (Δx)2- 2!f′′(x) + … |Δx| < ∞
+ n (Δx(n))!- sin(x + π2n) + …
cos(x + Δx) cos(x) - Δx sin(x) -Δx2cos(x) 2! + Δx3sin(x) 3! |Δx| < ∞
+Δx4 cos(x) ---4!--- -… + Δxn cos(x+nπ2 ) -----n!----- ±…
tan x x + 1 3x3 + -2 15x5 + -17- 315x7 + -62- 2835x9… |x| < π 2
cot x 1 x -[ x x3 2x5- -x7- ] 3 + 45 + 945 + 4725 ... 0 < |x| < π
ex 1 + x- 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + … |x| < ∞
ax = exln a 1 + x-lna 1! + (xlna)2 2! + (xlna)3 3! + (xln-a)4 4! + … |x| < ∞
ln x 2[ x-1 (x-1)3- (x-1)5- x+1 + 3(x+1)3 + 5(x+1)5 + ... x > 0
2n+1 ] + ---(x--1)--2n+1 + ... (2n+1)(x+1)
ln x (x - 1) -(x--1)2- 2 + (x-1)3- 3 + … 0 < x ≤ 2
+(-1)n+1(x--1)n- n + …
ln x x-1 x + 1 2( x-1) x2 + 1 3(x-1) x3 + … x > 1 2
+1n( ) x-x1n + …
ln(1 + x) x -x2 2 + x3 3 -x4 4 + … -1 < x ≤ 1
+(-1)n+1xn- n + …
arcsin x x + x3-- 2·3 + -1·3x5- 2·4 ·5 + -1·3·5x5- 2·4 ·6·7 + … |x| < 1
arccos x π 2 -[ ] x + -x3-+ 1·3x5- + 1·3-·5x5-+ ... 2·3 2·4·5 2·4·6 ·7 |x| < 1
arctan x x -x3 3 + x5 5 -… + (-1)nx2n+1 2n+1 + … |x| < 1
Reihenentwicklungen


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