Ableitungen in drei Dimensionen

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C.5 Ableitungen in drei Dimensionen

C.5.1 Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist

df-(x-) dx

die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.

Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.

Gradient als Richtung der stärksten Steigung

Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:

( ∂f(x,y)) | ∂f∂(xx,y)| grad f = |( -∂y--|)

Eine skalare Funktion f(x,y,z) definiert eine „Höhenlandschaft“ über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition

Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei Variablen

( ∂f(x,y,z)) | ∂f∂(xx,y,z)| grad f = || --∂y---|| |( ∂f(x,y,z)|) ∂z

C.5.2 Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

( f (x,y) ) | x | f (x,y ) = ( fy(x,y) )

Vektorfeld mit Umrandung

Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. In die x-Richtung heisst das, dass

F ·dx = f (x + dx,y) - f (x,y) x x x

fliesst.

In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-Komponente, f_x(x,y) und f_x(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung

Fy ·dy = fy(x,y + dy) - fy(x,y )

Die Grösse F = F_x + F_y nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Sie ist also

Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen

∂fx(x,y) ∂fy (x,y) div f (x,y) = ---------+ --------- ∂x ∂y

Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann

( fx(x,y,z) ) | f (x,y,z) | f (x,y,z) = || y || ( fz(x,y,z) )

Wir definieren

Divergenz einer Vektorfunktion

(x,y) in drei Dimensionen

∂fx-(x,y,z-) ∂fy(x,y,z)- ∂fz(x,y,z)- div f(x,y,z) = ∂x + ∂y + ∂z

C.5.3 Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

( f (x,y) ) | x | f (x,y ) = ( fy(x,y) )

Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation

Wir nehmen nun an, dass die durch (x,y) definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die z-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

Rydx = fy(x + dx,y) - fy(x,y)

und

Rxdy = - (fx(x,y + dy) - fx(x,y))

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei R_x ein „-“ eingefügt. Die Stärke der Drehung ist also

Rotation in zwei Dimensionen

R = ∂fy(x,y)-- ∂fx(x,y-) ∂x ∂y

Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

( fx(x,y,z) ) | f (x,y,z) | f (x,y,z) = || y || ( fz(x,y,z) )

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also

Rotation in drei Dimensionen

( ) ∂fz(x∂,yy,z)- ∂fy(∂xz,y,z) || ∂fx(x,y,z) ∂fz(x,y,z)|| rot f(x,y,z) = || ∂fy(∂xz,y,z)- ∂f ∂(xx,y,z)|| |( ---∂x---- --x∂y---|)

Man kann sich die Berechnung gut merken mit

Gedankenstütze für Rotation

(-∂ ) ( ) |∂x | fx(x,y,z) ||∂∂y || || fy(x,y,z )|| rot f (x,y,z) = |(-∂ |) × |( fz(x,y,z )|) ∂z

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