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G.1  Geschwindigkeiten

Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten

     (  )
      x
r =  |(y |) = xex +  yey + zez
      z
(G.1)

der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann

           ( dx)    (  )
     dr      dt       ˙x
v =  ---=  |( ddyt|) =  |( ˙y|) =  ˙xex + ˙yey + z˙ez
     dt      dz       ˙z
             dt
(G.2)

Wir verwenden die Beziehungen

x = r sin(θ) cos(ϕ) (G.3)
y = r sin(θ) sin(ϕ) (G.4)
z = r cos(θ) (G.5)

und leiten sie ab. Wir erhalten

= sin(θ) cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ)θ˙ - r sin(θ) sin(ϕ)ϕ˙ (G.6)
= sin(θ) sin(ϕ) + r cos(θ) sin(ϕ)˙
θ + r sin(θ) cos(ϕ) ˙
ϕ (G.7)
ż = cos(θ) - r sin(θ) ˙
θ (G.8)

Wir setzen in die Gleichung G.2 die Gleichungen G.8, G.9, G.10, G.6, G.7 und G.8 ein und ordnen nach er, eθ und eϕ.

v = ex + ey + żez (G.9)
= [sin(θ)cos(ϕ)er + cos(θ)cos(ϕ)e θ - sin(ϕ)eϕ]
+ [sin (θ )sin (ϕ )er + cos(θ) sin (ϕ )eθ + cos(ϕ )eϕ]
+ ż[cos(θ)er - sin(θ)eθ]
= [˙xsin(θ)cos(ϕ ) + y˙sin (θ )sin (ϕ ) + z˙cos(θ)] er
+ [˙xcos(θ)cos(ϕ ) + y˙cos(θ)sin(ϕ) - ˙zsin(θ)] eθ
+ [-x˙sin (ϕ) + ˙ycos(ϕ)] eϕ

Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er, eθ und eϕ getrennt. Wir beginnen mit er.

vr = sin(θ) cos(ϕ) + sin(θ) sin(ϕ) + ż cos(θ) (G.10)
= [                                                ]
 ˙rsin(θ)cos(ϕ ) + r cos(θ)cos(ϕ)˙θ - rsin(θ)sin(ϕ)ϕ˙ sin(θ) cos(ϕ)
+ [                                                ]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ)sin(ϕ)θ˙+ r sin(θ) cos(ϕ ) ˙ϕ sin(θ) sin(ϕ)
+ [                  ]
 ˙rcos(θ) - rsin(θ)˙θ cos(θ)
= [sin (θ)cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ)sin(θ)sin(ϕ) + cos(θ)cos(θ)]
+ rθ˙[cos(θ )cos(ϕ)sin(θ)cos(ϕ) + cos(θ)sin(ϕ) sin(θ)sin(ϕ) - sin(θ)cos(θ)]
+ rϕ˙[- sin (θ)sin (ϕ)sin(θ)cos(ϕ) + sin (θ)cos(ϕ)sin(θ)sin(ϕ)]
= [                                        ]
 sin2(θ)cos2(ϕ) + sin2(θ) sin2(ϕ ) + cos2(θ)
+ rθ˙[         2                     2                       ]
 cos(θ)cos (ϕ)sin(θ) + cos(θ)sin (ϕ)sin(θ) - sin(θ) cos(θ)
+ r ˙
ϕ[     2                     2               ]
 - sin (θ)sin(ϕ)cos(ϕ ) + sin (θ)sin(ϕ)cos(ϕ)
= [   2   (   2         2   )      2  ]
 sin (θ) cos (ϕ) + sin  (ϕ ) +  cos(θ)
+ rθ˙[            [                ]               ]
 cos(θ)sin(θ) cos2(ϕ) + sin2(ϕ ) - sin(θ)cos(θ)
= [                ]
 sin2(θ) + cos2(θ) + r˙θ[cos(θ)sin(θ) - sin(θ) cos(θ)]
=

Wir fahren mit eθ weiter.

vθ = cos(θ) cos(ϕ) + cos(θ) sin(ϕ) -ż sin(θ) (G.11)
= [                                                ]
 ˙rsin(θ)cos(ϕ ) + r cos(θ)cos(ϕ)˙θ - rsin(θ)sin(ϕ)ϕ˙ cos(θ) cos(ϕ)
+ [                                                ]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ)sin(ϕ)θ˙+ r sin(θ) cos(ϕ ) ˙ϕ cos(θ) sin(ϕ)
-[                  ]
 ˙rcos(θ) - rsin(θ)˙θ sin(θ)
= [sin (θ)cos(ϕ)cos(θ) cos(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ) cos(θ)sin (ϕ ) - cos(θ) sin(θ)]
+ r˙θ[cos(θ)cos(ϕ)cos(θ) cos(ϕ ) + cos(θ) sin(ϕ )cos(θ)sin (ϕ) + sin(θ) sin(θ)]
+ r˙ϕ[- rsin(θ)sin(ϕ)cos(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)cos(ϕ) cos(θ)sin (ϕ)]
= [                                                        ]
 sin(θ)cos(θ)cos2(ϕ ) + sin(θ)cos(θ)sin2(ϕ) - cos(θ)sin(θ)
+ r˙θ[   2      2         2      2        2   ]
 cos (θ)cos (ϕ) + cos (θ)sin  (ϕ ) + sin (θ)
+ r˙
ϕ[- rsin(θ)sin(ϕ)cos(θ)cos(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ) cos(θ) cos(ϕ)]
= [sin (θ)cos(θ) - cos(θ )sin (θ )]
+ r˙
θ[   2        2   ]
 cos (θ) + sin (θ)
= r˙θ

Wir schliessen mit eϕ.

vϕ = - sin(ϕ) + cos(ϕ) (G.12)
= -[                                                ]
 ˙rsin(θ)cos(ϕ ) + r cos(θ )cos(ϕ)˙θ - rsin(θ)sin(ϕ)ϕ˙ sin(ϕ)
+ [                              ˙                ˙]
 ˙rsin(θ)sin(ϕ) + rcos(θ) sin(ϕ )θ + r sin(θ) cos(ϕ)ϕ cos(ϕ)
= [- sin(θ)cos(ϕ) sin(ϕ ) + sin(θ)sin(ϕ)cos(ϕ )]
+ r˙
θ[- cos(θ)cos(ϕ) sin(ϕ ) + cos(θ)sin(ϕ) cos(ϕ )]
+ r˙ϕ[sin(θ)sin(ϕ)sin(ϕ) + sin (θ )cos(ϕ)cos(ϕ)]
= r˙
ϕ[        2               2   ]
 sin(θ) sin (ϕ) + sin (θ)cos (ϕ)
= r sin(θ)˙ϕ

Zusammenfassend haben wir

v = vrer + vθeθ + vϕeϕ (G.13)
= er + r˙
θeθ + r sin(θ)˙
ϕeϕ



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