Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten
| (G.1) |
der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann
| (G.2) |
Wir verwenden die Beziehungen
x | = r sin(θ) cos(ϕ) | (G.3) |
y | = r sin(θ) sin(ϕ) | (G.4) |
z | = r cos(θ) | (G.5) |
und leiten sie ab. Wir erhalten
ẋ | = ṙ sin(θ) cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ) - r sin(θ) sin(ϕ) | (G.6) |
ẏ | = ṙ sin(θ) sin(ϕ) + r cos(θ) sin(ϕ) + r sin(θ) cos(ϕ) | (G.7) |
ż | = ṙ cos(θ) - r sin(θ) | (G.8) |
Wir setzen in die Gleichung G.2 die Gleichungen G.8, G.9, G.10, G.6, G.7 und G.8 ein und ordnen nach r, θ und ϕ.
= | ẋx + ẏy + żz | (G.9) | |
= | ẋ | ||
+ ẏ | |||
+ ż | |||
= | r | ||
+ θ | |||
+ ϕ |
Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten r, θ und ϕ getrennt. Wir beginnen mit r.
vr = | ẋ sin(θ) cos(ϕ) + ẏ sin(θ) sin(ϕ) + ż cos(θ) | (G.10) | |
= | sin(θ) cos(ϕ) | ||
+ sin(θ) sin(ϕ) | |||
+ cos(θ) | |||
= | ṙ | ||
+ r | |||
+ r | |||
= | ṙ | ||
+ r | |||
+ r | |||
= | ṙ | ||
+ r | |||
= | ṙ + r | ||
= | ṙ |
Wir fahren mit θ weiter.
vθ = | ẋ cos(θ) cos(ϕ) + ẏ cos(θ) sin(ϕ) -ż sin(θ) | (G.11) | |
= | cos(θ) cos(ϕ) | ||
+ cos(θ) sin(ϕ) | |||
- sin(θ) | |||
= | ṙ | ||
+ r | |||
+ r | |||
= | ṙ | ||
+ r | |||
+ r | |||
= | ṙ | ||
+ r | |||
= | r |
Wir schliessen mit ϕ.
vϕ = | -ẋ sin(ϕ) + ẏ cos(ϕ) | (G.12) | |
= | - sin(ϕ) | ||
+ cos(ϕ) | |||
= | ṙ | ||
+ r | |||
+ r | |||
= | r | ||
= | r sin(θ) |
Zusammenfassend haben wir
= | vrr + vθθ + vϕϕ | (G.13) | |
= | ṙr + rθ + r sin(θ)ϕ |