Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten
![]() | (G.1) |
der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann
![]() | (G.2) |
Wir verwenden die Beziehungen
x | = r sin(θ) cos(ϕ) | (G.3) |
y | = r sin(θ) sin(ϕ) | (G.4) |
z | = r cos(θ) | (G.5) |
und leiten sie ab. Wir erhalten
ẋ | = ṙ sin(θ) cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ)![]() ![]() | (G.6) |
ẏ | = ṙ sin(θ) sin(ϕ) + r cos(θ) sin(ϕ)![]() ![]() | (G.7) |
ż | = ṙ cos(θ) - r sin(θ)![]() | (G.8) |
Wir setzen in die Gleichung G.2 die Gleichungen G.8, G.9,
G.10, G.6, G.7 und G.8 ein und ordnen nach r,
θ und
ϕ.
![]() | ẋ![]() ![]() ![]() | (G.9) | |
= | ẋ![]() | ||
+ ẏ![]() | |||
+ ż![]() | |||
= | ![]() ![]() | ||
+ ![]() ![]() | |||
+ ![]() ![]() |
Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei
Komponenten r,
θ und
ϕ getrennt. Wir beginnen mit
r.
vr = | ẋ sin(θ) cos(ϕ) + ẏ sin(θ) sin(ϕ) + ż cos(θ) | (G.10) | |
= | ![]() | ||
+ ![]() | |||
+ ![]() | |||
= | ṙ![]() | ||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | ṙ![]() | ||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | ṙ![]() | ||
+ r![]() ![]() | |||
= | ṙ![]() ![]() ![]() | ||
= | ṙ |
Wir fahren mit θ weiter.
vθ = | ẋ cos(θ) cos(ϕ) + ẏ cos(θ) sin(ϕ) -ż sin(θ) | (G.11) | |
= | ![]() | ||
+ ![]() | |||
-![]() | |||
= | ṙ![]() | ||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | ṙ![]() | ||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | ṙ![]() | ||
+ r![]() ![]() | |||
= | r![]() |
Wir schliessen mit ϕ.
vϕ = | -ẋ sin(ϕ) + ẏ cos(ϕ) | (G.12) | |
= | -![]() | ||
+ ![]() | |||
= | ṙ![]() | ||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | r![]() ![]() | ||
= | r sin(θ)![]() |
Zusammenfassend haben wir
![]() | vr![]() ![]() ![]() | (G.13) | |
= | ṙ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |