Die Beschleunigung ist in kartesischen Koordinaten
![]() | (G.1) |
Wir verwenden die Beziehungen
x = | r sin(θ) cos(ϕ) | (G.2) |
y = | r sin(θ) sin(ϕ) | (G.3) |
z = | r cos(θ) | (G.4) |
und leiten sie zweimal ab. Wir erhalten aus
ẋ = | ṙ sin(θ) cos(ϕ) + r cos(θ) cos(ϕ)![]() ![]() | ||
ẏ = | ṙ sin(θ) sin(ϕ) + r cos(θ) sin(ϕ)![]() ![]() | ||
ż = | ṙ cos(θ) - r sin(θ)![]() |
die Gleichungen
und
sowie
![]() | ![]() ![]() | (G.7) | |
-ṙ sin(θ)![]() ![]() ![]() | |||
= | ![]() ![]() ![]() ![]() |
Wir setzen in die Gleichung G.1 die Gleichungen G.8, G.9,
G.10, G.5, G.6 und G.7 ein und ordnen nach r,
θ und
ϕ.
![]() | ẍ![]() ![]() ![]() ![]() | (G.8) | |
= | ẍ![]() | ||
+ ý![]() | |||
+ ![]() ![]() | |||
= | ![]() ![]() | ||
+ ![]() ![]() | |||
+ ![]() ![]() |
Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei
Komponenten r,
θ und
ϕ getrennt. Wir beginnen mit
r.
und
aθ = | ẍ cos(θ) cos(ϕ) + ý cos(θ) sin(ϕ) -![]() | (G.11) | |
= | ![]() | ||
![]() | |||
+ ![]() | |||
![]() | |||
-![]() | |||
= | ![]() ![]() | ||
+ 2ṙ![]() ![]() | |||
+ 2ṙ![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ 2r![]() ![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | ![]() ![]() | ||
+ 2ṙ![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | ![]() ![]() | ||
+ 2ṙ![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
- r![]() ![]() | |||
= | 2ṙ![]() ![]() ![]() |
und schliesslich
aϕ = | -ẍ sin(ϕ) + ý cos(ϕ) | (G.12) | |
= | -![]() | ||
![]() | |||
+ ![]() | |||
![]() | |||
= | ![]() ![]() | ||
+ 2ṙ![]() ![]() | |||
+ 2ṙ![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ 2r![]() ![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | + 2ṙ![]() ![]() | ||
+ 2r![]() ![]() ![]() | |||
+ r![]() ![]() | |||
= | + 2ṙ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
= | ![]() ![]() ![]() |
Zusammenfassend haben wir
![]() | ar![]() ![]() ![]() | (G.13) | |
= | ![]() ![]() | ||
+ ![]() ![]() | |||
+ ![]() ![]() |
Wir teilen die Beschleunigung in drei Komponenten auf
![]() | (G.14) |
Dies ist in der angegebenen Reihenfolge die Parallelbeschleunigung, die den Betrag der Geschwindigkeit erhöht, die Zentripetalbeschleunigung und die Coriolis-Beschleunigung.
Im Einzelnen haben wir
![]() | = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | (G.15) |
![]() | = -r![]() ![]() ![]() ![]() | (G.16) |
![]() | = 2ṙ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | (G.17) |