2.2  Kinetische Gastheorie

Die kinetische Gastheorie berechnet für System ausser in Stössen nicht wechselwirkender Teilchen thermodynamische Grössen aus den Bewegungseigenschaften. Wir nehmen an, dass Gase aus einzelnen sich ungeordnet bewegenden Teilchen bestehen.

Die Orte der Teilchen sind weniger relevant. Deshalb konzentrieren wir uns auf die Geschwindigkeiten. Ein einzelnes Teilchen hat die vektorielle Geschwindigkeit

(2.1)

wobei

(2.2)

Dabei bedeutet zum Beispiel v_x die Geschwindigkeitskomponente entlang der x-Koordinate (die durch den Einheitsvektor _x repräsentiert wird.

Jedes Atom (oder Molekül) hat seine eigene Geschwindigkeit v_x, die auch mit der Zeit variieren kann. Charakterisiert wird die Geschwindigkeitsverteilung, das heisst, die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Geschwindigkeit zu finden, durch statistische Kennzahlen wie den Mittelwert, den Mittelwert des Geschwindigkeitsbetrages und den Mittelwert des Geschwindigkeitsquadrates

Da die Koordinaten x, y und z gleichwertig sind, gilt

(2.3)

Aus Gleichung (2.2) folgt auch, dass die entsprechenden Mittelwerte summiert werden, um den Mittelwert zu bekommen.

(2.4)

Nach Känzig[Kän78] muss man berücksichtigen, dass der Betrag der Geschwindigkeit durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung w() beschrieben wird, wobei ∫ ₀^∞w()d = 1 ist.

Stösst nun ein Atom (oder Molekül) elastisch mit der Wand, die bei x = 0 senkrecht zu _x steht, so ist nach Newton die Kraft dieses Stosses aus dem Gesetz für Kraftstösse für ein Teilchen der Masse m, das mit v_x sich auf die Wand zu bewegt

(2.5)

Welche Teilchen können mit der Wand stossen? Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall der Geschwindigkeitsbeträge zu finden, ist w()d. Diese Teilchen stossen im Zeitintervall dt mit der Wand, wenn sie in einer Schicht der Dicke dt vor der Wand liegen. Da wir mit Geschwindigkeitsbeträgen gerechnet haben, trifft nur die Hälfte der Teilchen die Wand. Um die auf der Fläche A in der Zeit dτ auftretende Anzahl dΥ der Teilchen zu berechnen, benötigen wir noch die Teilchendichte n.

Die Mittelung über alle Kraftstösse ergibt die gemittelte Kraft

(2.6)

Aus (2.5) wissen wir aber auch, dass

(2.7)

ist. Die Teilchen im Intervall der Geschwindigkeitsbeträge tragen

(2.8)

zum Druck bei. Dabei ist w() die Gewichtsfunktion. Der Druck wird

(2.9)

Nun ist aber nach der Definition gewichteter Mittelwerte

(2.10)

Aus (2.9), (2.10) und (2.4) erhalten wir

(2.11)

Dabei haben wir verwendet, dass für reelle Zahlen ² = v _x² ist. Gleichung (2.11) ist bekannt unter dem Namen Grundgleichung von D. Bernoulli.

Wir wissen, wie das zeitliche Mittel _t mit der kinetischen Energie zusammenhängt.

Mit dieser Gleichung wird Gleichung (2.11)

(2.12)

Schreiben wir die Teilchendichte n = aus, bekommen wir (2.13) die Zustandsgleichung des idealen Gases.

Bitte beachten Sie, dass wir in der Herleitung die folgenden Annahmen gemacht hatten:

• Es gibt keine Wechselwirkung zwischen den Teilchen.
• Die Teilchen sind punktförmig, haben also kein Eigenvolumen
• Die Teilchen stossen elastisch miteinander.

In der Wärmelehre ist es auch üblich, die ideale Gaskonstante

(2.14)

zu verwenden. Gleichung (2.13) lautet dann

(2.15)

wobei ν die Anzahl Mole, auch Molzahl genannt, ist.

Aus dem Gesetz für das ideale Gas, Gleichung (2.13) bekommt man drei weitere Gesetze

Gesetz von Boyle-Mariotte		p	∝		(T = const.)	(2.16)
Gesetz von Gay-Lussac		p	∝ T		(V = const.)	(2.17)
Gesetz von Charles		V	∝ T		(p = const.)	(2.18)

Diese drei Gesetze sind älter als das ideale Gasgesetz Gleichung (2.13). deshalb werden sie häufig vor diesem behandelt. Es ist jedoch müssig, diese Gesetze zu lernen, sie sind einfache Folgerungen aus dem idealen Gasgesetz.