©2005-2015 Ulm University, Othmar Marti, PIC
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5.10  Harmonischer Oszillator

Wenn die potentielle Energie V (x) eine quadratisch von x abhängt ist die Bewegung des Teilchens beschränkt und analog zum Fall eines klassischen harmonischen Oszillators. Der Operator ^
H hat die Form

       ℏ2 ∂2    1
^H = - --------+ --m ω2x2
      2m  ∂x2   2
(5.1)

mit der potentiellen Energie

V (x) = 1m ω2x2
        2
(5.2)

Die Lösungen der Schrödingergleichung sind stationär und haben, dem Separationsansatz entsprechend, die Form

ψ(x, t) = e- iEt∕ℏϕ(x)
(5.3)

Damit können wir die zeitunabhängige Schrödingergleichung verwenden

  -ℏ2-∂2ϕ-  1-   2 2
- 2m  ∂x2 + 2 m ω x ϕ =  Eϕ
(5.4)

PIC

Mögliche Energiefunktion eines harmonischen Oszillators.

Wir definieren drei Parameter und ersetzen die Variable x durch u

    ∘ ----
       -ℏ--
b =    mω

ϵ = -E-
    ℏω
u = x-
    b
(5.5)

Die Gleichung 5.4 lautet dann (siehe auch [CH67, p. 280, Kap. 5, §10])

    2
- ∂--ϕ (u) + u2 ϕ(u) = 2ϵϕ(u)
  ∂u2
(5.6)

Um die Eigenfunktionen ϕn und die Eigenwerte ϵn (oder En) zu finden, definieren wir die folgenden Operatoren:

       1 (      ∂ )     1   (       ∂ )
^a† = -√--- u - ---  =  -√--- x - b2---
        2      ∂u      b  2        ∂x
       1 (      ∂ )     1   (       ∂ )
 ^a = -√--- u + ---  =  -√--- x + b2---
        2      ∂u      b  2        ∂x
(5.7)

Die Operatoren ^a und ^a sind nicht hermitisch (also nicht selbstadjungiert). Sie sind aber adjungiert zueinander. Deshalb kann man mit

^a^aψ = 1
√---
  2(     ∂ )
 u - ---
     ∂u 1
-√---
   2(      ∂ )
  u + ---
      ∂uψ = 1
--
2(        ∂           ∂      ∂2  )
  u2ψ - --- (uψ) + u---ψ -  ---ψ
        ∂u          ∂u      ∂u
= 1
--
2(                                 )
   2           ∂       ∂      ∂2
  u ψ - ψ -  u---ψ + u --ψ  - ---ψ
              ∂u       ∂u     ∂u = 1
--
2(            )
   2       ∂2
 u  - 1 - ---
          ∂uψ

formal schreiben

        (             )
      1            ∂2
^a†^a = -- u2 - 1 - ---2
      2           ∂u
(5.8)

Also wird Gleichung (5.6)

(        )
   †    1-
  ^a ^a + 2  ϕ(u) = ϵϕ (u )
(5.9)

Die Hamiltonoperator kann mit den Operatoren ^a und ^a umgeschrieben werden

^H =  ^a†^a + 1-
           2
(5.10)

Der Kommutator der Operatoren ^a und a^ hat den Wert

[   †]     †    †
 ^a,^a  =  ^a^a -  ^a ^a = 1
(5.11)

Die Eigenschaften des Kommutators zeigen, dass

[^a,^a ] = 0
(5.12)

und

[ †  †]
^a ,^a   = 0
(5.13)

Wir wollen nun untersuchen, wie die Gleichung (5.9) sich ändert, wenn wir sie von links mit ^a oder ^a multiplizieren. Wir schreiben Gleichung (5.9) um

 †         (    1)
^a ^aϕ (u) =  ϵ - -- ϕ (u )
                2
(5.14)

Multiplizieren wir Gleichung (5.14) von links mit ^a und verwenden Gleichung (5.11) erhalten wir

^a(   )
 ^a†^aϕ(u) = ^a(    1)
 ϵ - --
     2ϕ(u)
(       )
 ^a†^a + 1(^aϕ(u)) = (      )
  ϵ - 1-
      2^aϕ(u)
^a^a(^aϕ(u)) = ( (    1)     )
   ϵ - -- -  1
       2(^aϕ(u)) (5.15)

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.14) mit dem Eigenwert (ϵ - 12) ist, ist ^aϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.14), aber mit dem Eigenwert ((ϵ - 1 ∕2) - 1). Der Operator ^a erniedrigt den Eigenwert um 1. Er wird Absteigeoperator oder Vernichtungsoperator genannt.

Multiplizieren wir Gleichung (5.14) von links mit ^a und verwenden Gleichung (5.11) erhalten wir

^a(  † )
 ^a ^aϕ(u) = ^a(     1)
  ϵ - 2-ϕ(u)
^a(    )
 ^a †^aϕ(u) = (      )
  ϵ - 1-
      2^aϕ(u)
^a(   †   )
 ^a^a - 1ϕ(u) = (      )
      1-
  ϵ - 2( †     )
 ^a ϕ (u )
^a(    )
 ^a^a†ϕ(u) = ( (    1)     )
   ϵ - -- +  1
       2(      )
 ^a†ϕ(u)
^a^a(       )
  ^a†ϕ(u) = ( (     )     )
   ϵ - 1- +  1
       2(      )
 ^a†ϕ(u) (5.16)

Wenn ϕ(u) eine Lösung der Gleichung (5.14) mit dem Eigenwert (ϵ - 12) ist, ist ^aϕ(u) eine Lösung der gleichen Gleichung (5.14), aber mit dem Eigenwert ((ϵ - 1 ∕2) + 1 ). Der Operator ^a erhöht den Eigenwert um 1. Er wird Aufsteigeoperator oder Erzeugungsoperator genannt.

Wenn wir eine endliche Energieskala haben, muss es eine kleinste Energie und damit auch einen kleinsten Eigenwert geben. Das heisst, es muss eine Ortswellenfunktion ϕ0(u) geben, auf die angewandt der Vernichtungsoperator ^a eine Nullfunktion ergibt.

^aϕ0(u) = 0
(5.17)

Wir verwenden die Definition von ^a und erhalten

√1--
  2(        )
      ∂--
  u + ∂uϕ0(u) = 0
(        )
  u + -∂-
      ∂uϕ0(u) = 0
0(u) = - ∂
---
∂uϕ0(u)
u = ---1---
ϕ0(u)∂--
∂uϕ0(u) = --∂-
∂u ln (ϕ (u))
  0
1
--
2u2 = - ln (ϕ0(u)) + ˜C
ϕ0(u) = C exp (      )
 - 1u2
   2 (5.18)

Die Konstante C ergibt sich aus der Normalisierungsbedingung

 ∞
 ∫   *                          -1∕4
    ϕ0(u)ϕ0(u)du =  1 = ⇒ C = π
-∞

Die normierte Wellenfunktion des Grundzustandes des harmonischen Oszillators in den Koordinaten u und x ist

                 (      )             (     )1∕4    (        )
ϕ (u) = --1- exp  - 1u2   =⇒  ϕ (x) =   m-ω-    exp  - m-ω-x2
 0      π1 ∕4        2          0        ℏπ              2ℏ
(5.19)

Ausgehend von ϕ0(u) können wir nun durch die wiederholte Anwendung von ^a auf ϕ 0(u) alle Lösungen generieren.

Die ersten nicht normierten Funktionen sind

˜ϕ 0(u) = exp (   u2)
  - ---
    2
˜ϕ 1(u) = ( √ --)
    2u exp (     )
   u2
 - ---
    2
˜
ϕ 2(u) = (   2    )
 2u  -  1 exp (     )
    u2-
  - 2
˜ϕ 3(u) = ( √2u- (2u2 - 3)) exp (    2)
 - u--
    2
.
.. = .
..
˜
ϕ n(u) = (  †)
 ^anϕ 0(u) (5.20)

Mit der Normalisierungsbedingung, dass das Integral über der Wahrscheinlichkeitsdichte gleich eins sein soll, bekommen wir

ϕ0(u) =  1
-1∕4
π exp (  u2)
 - ---
    2
ϕ1(u) =  1
-1∕4
π( √ --)
    2u exp (     )
   u2
 - ---
    2
ϕ2(u) = -1--
π1∕4(2u2---1)
   √2-- exp (     )
   u2-
 -  2
ϕ3(u) = -1--
π1∕4      2
(u-(2u√----3))
       3 exp (    2)
  - u--
    2
.
.. = .
..
ϕn(u) = -1---
√ --
  n!( †)
 ^anϕ 0(u) (5.21)

Aus ^aϕ0(u) = 0 und Gleichung (5.14) folgt, dass

ϵ0 - 1-= 0  =⇒    ϵ0 = 1-
    2                  2
(5.22)

Allgemein ist also

          1
ϵn = n +  -- ∀n ∈ ℕ ∪ {0}
          2
(5.23)

Wir erinnern uns an die Substitutionen in Gleichung (5.5). Deshalb sind die


Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators
      (     1)
En  =  n +  -- ℏω  ∀n ∈ ℕ  ∪ {0}
            2
(5.24)


Die gleichabständigen Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators sind für diesen charakteristisch. Der kleinste Energieeigenwert E0 hat den Wert ω∕2. Es ist nicht möglich, einen harmonischen Oszillator in Ruhe zu haben. Die minimale Energie E0 ist die Nullpunktsenergie. Sie bewirkt, dass harmonische Oszillatoren immer Energie enthalten, egal wie tief die Temperatur sinkt. Das heisst, die Boltzmannverteilung aus der klassischen Thermodynamik gilt nicht mehr.

5.10.1  Hermite-Polynome und der harmonische Oszillator

Die Lösungen von Gleichung (5.14) können mit Hermite-Polynomen ausgedrückt werden.[CH67, p. 77, Kap. 2, §9, 4.]

                                (    2)
ϕn (u ) = ∘--1√---√-1--Hn (u)exp  - u--
           n!  π   2n               2
(5.25)

mit

                   (  )   n     (    )
H  (u ) = (- 1)n exp  u2  ∂---exp  - u2
  n                     ∂un
(5.26)

Die ersten (nicht normierbaren) Hermite-Polynome sind

H0 (u) = 1
H  (u) = 2u
  1         2
H2 (u) = 4u  - 2
H3 (u) = 8u3 - 12u
             4      2
H4 (u) = 16u  - 48u  +  12
H5 (u) = 32u5 - 160u3  + 120u
(5.27)

Die Normierungsbedingung ist erfüllt, da

 ∫∞            ∫∞     1              (    )
    ϕ2n (u )du =    -----√---H2n(u )exp  - u2 du =  1 ∀n ∈ ℕ ∪{0 }
- ∞            -∞ 2nn!   π

ist. Hermite-Polynome haben die folgenden Eigenschaften

Hn (- u ) = (- 1)nHn (u)
(5.28)

∫ +∞               -u2                  n  √ --
 -∞  Hm  (u)Hn (u)e   du = Hm  ·Hn  = 2  n!  πδmn
(5.29)

PIC

Die ersten acht Hermite-Polynome.

5.10.2  Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

Wenn wir die Substitutionen aus Gleichung (5.5) rückgängig machen, erhalten wir

ϕ0(x) = (m-ω-)
  ℏπ14 exp (  m-ω- 2)
 -  2ℏ x
ϕ1(x) = (    )
 m-ω-
  ℏπ14( ∘ ------)
(   2m-ω- )
      ℏ  x exp (        )
    m-ω- 2
  - 2ℏ x
ϕ2(x) = (m ω )
 ----
  ℏπ14(          )
 2mω-x2 - 1
--ℏ-√--------
      2 exp (  m ω   )
 - ----x2
    2ℏ
ϕ3(x) = (    )
 m-ω-
  ℏπ14(∘ ---- (          ) )
   2m-ωx  2mωx2 - 3
-----ℏ---√-ℏ-----------
           3 exp (        )
 - m-ω-x2
    2ℏ
..
.
ϕn(x) = √-1----
  2nn!(    )
 m-ω-
  πℏ14H n( ∘----  )
    m-ωx
     ℏ exp (        )
 - m-ω-x2
    2ℏ (5.30)
ϕn(x) = -1---
√ n!(     )
  m-ω-
   ℏ14(  †)
  ^anϕ 0(x)
=  1
√----
  n!( m ω )
  ----
   πℏ14(   )
  ^a†n exp (  m ω   )
 - ----x2
    2ℏ (5.31)

Die Normierungsbedingung ist

∫
  +∞   *
 - ∞ ϕ m(x)ϕn (x)dx = ϕm · ϕn = δmn
(5.32)

PIC

Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

PIC

Wahrscheinlichkeitsdichte der Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators

5.10.3  Teilchen im endlichen Potentialtopf

PIC

Potentialtopf.

Der Fall eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf ist etwas komplizierter als der Fall des unendlichen. Die Wellenfunktion verschwindet nicht am Rand des Topfes. Wir müssen zwei Fälle betrachten: wenn die Energie höher als die Potentialwälle ist, also E > V 0 und wenn sie kleiner ist. Im ersten Falle haben wir zum Beispiel eine von links einlaufende Welle, die sich an den Diskontinuitäten des Potentials reflektiert. Diese Lösung müsste aus der Lösung des Potentialwalls ablesbar sein. Im zweiten Falle haben wir lokalisierte Wellenfunktionen.

5.10.3.1. Potentialtopf, E > V 0

PIC

Transformation einer Potentialschwelle in einen Potentialtopf

Die Lösungen sind in Gleichung (5.4) angegeben und werden hier nochmals wiederholt.

A1 =     A1 (k1 - k2)(k1 + k2)sin (ak2)
---2----2----------------------------
((k1 + k2))sin(ak2) + 2ik1k2cos (ak2)
A2 = --------2A1k1-(k1-+-k2)--------
- (k  + k )2 + e2iak2 (k - k )2
    1    2            1    2
A2 =             2iak
-----2A1k1e----2 (k1---k2)----
- (k1 + k2)2 + e2iak2 (k1 - k2)2
A3 = -               -ia(k1-k2)
------4A1k1k2e----------------
- (k1 + k2)2 + e2iak2 (k1 - k2)2

A1 stellt die einfallende Welle dar. der Wert ist frei wählbar. Die Energiewerte müssen aus Gleichung (5.5)

          ∘ ------
             2mE--
k1 = k3 =     ℏ2       für   x < 0 ∨ x > a

und Gleichung (5.6)

       -------------
     ∘
k2 =    2m-(E----V0)-     für   0 ≤ x ≤  a
            ℏ2

werden umskaliert mit E E - V 0 ausserhalb und E - V 0 E im Topf. Wir erhalten

          ∘ -------------
            2m-(E----V0)
k1 = k3 =        ℏ2          für   x < 0 ∨ x > a
(5.33)

und

      ∘ ------
k2 =    2mE--     für   0 ≤ x ≤ a
         ℏ2
(5.34)

Daraus folgen die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten T und R

     |  |
     ||A ′1||2                 8E (V0 - E )
R =  ||--|| =  --2(--------(--√--√-----a))------------+  1
     A1      V0   1 - cos 2  2   Em  ℏ  +  8E (EV0 )
(5.35)

und

T = k3 + k*3
------*
k1 + k1(A3 )
 ---
 A1* (A3 )
 ---
 A1
= |   |
||A3-||
|A1 |2 = ---(--------(-----∘8E(E----V0)--))---------------
V 2  1 - cos 2 √2-  m (E - V ) a  +  8E (E - V  )
 0                           0 ℏ               0 (5.36)
Die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten sind also gleich wie bei einer Barriere, sofern E > V 0 ist. Eine kurze Kontrolle zeigt, dass R + T = 1 ist, wir also keine Teilchen verlieren. Sowohl die Reflexion wie auch die Transmission oszillieren mit der Breite der Barriere a. Die Gleichungen können noch vereinfacht werden:
                   4E(V0 - E )
R = --------(∘--------------)--------------- + 1
    V02 sin2    2m (E  - V0)aℏ  + 4E  (E  - V0)
(5.37)

und

    |   |2
    ||A3-||    -------(-∘----4E-(E----V0))---------------
T = |A1 | =  V 2sin2   2m  (E  - V )a  + 4E  (E  - V )
              0                  0 ℏ              0
(5.38)

PIC

Transmission über einen Potentialtopf.

Abbildung 5.10.3.1 zeigt den Transmissionskoeffizienten und den Reflexionskoeffizienten als Funktion der Energiedifferenz von E zu V 0.

5.10.3.2. Potentialtopf, E < V 0

Wenn die Energie des Teilchens E kleiner ist als die potentielle Energie der Wände E < V 0, kann die Schrödingergleichung mit dem allgemeinen Ansatz

            ik1x    ′ - ik1x
ϕ1(x) = A1e     + A1e
ϕ2(x) = A2eik2x + A′2e- ik2x
            ik3x    ′ - ik3x
ϕ3(x) = A3e     + A3e
(5.39)

gelöst werden. Hier ist k1 = k3. Für x = 0 und x = a sind die Randbedingungen

 ϕ1 (x)|x=0 =  ϕ2(x)|x=0
       ||             ||
∂ϕ1(x-)||   =  ∂ϕ2(x-)||
  ∂x   |x=0      ∂x   |x=0
(5.40)

sowie

 ϕ2 (x)|x|=a =  ϕ3(x)|x=a|
∂ϕ2(x )||      ∂ϕ3(x )||
-------||   =  -------||
  ∂x   x=a      ∂x   x=a
(5.41)

Von links und rechts kommen keine Wellen, also ist A1 = A3 = 0. A2 oder A2 können frei gewählt werden. Wir lassen A2 als freien Parameter. Dann ist bei x = 0

      ′          ′
    A 1 = A2 + A 2
- k1A ′1 = k2(A2 - A ′2)
(5.42)

und bei x = a

        ik a    ′ - ik a      ik a
    A2e  2 +  A2e   2 =  A3e  1
k (A  eik2a - A ′e- ik2a) = k A eik1a
 2   2         2          1 3
(5.43)

Beide Gleichungssysteme können gelöst werden und ergeben eine Beziehung zwischen A1, A2 als Funktion von A2 beziehungsweise für A3 und A2 als Funktion von A2.

A1 = --2k2--
k2 - k1A2 A2 = k2-+-k1
k2 - k1A2 (5.44a)
A3 =   2k2
-------
k2 + k1 A2 = k2 - k1
-------
k2 + k1e2ik2aA 2 (5.44b)

Die beiden Lösungen für A2 müssen identisch sein, das heisst die Gleichung

(        )2
  k2-+-k1   =  exp(2ik2a)
  k2 - k1
(5.45)

muss gelten. Da k2(E) und k1(E,V 0) beides Funktionen von E sind, ist Gleichung (5.45) eine Bestimmungsgleichung für die erlaubten Werte von E. Mit k2 = √ -----
  2mEund k1 = i∘ ------------
  2m (V0 - E )(da E < V 0 ist) wird Gleichung (5.45)

( √E--+  i√V-----E-)2       ( √ -----   )
  √-------√--0-----   = exp  i  8mEa  ∕ℏ
    E -  i  V0 - E
(5.46)

Gleichung (5.46) ist nicht analytisch lösbar. Bei den Lösungen muss sowohl der Realteil gleich sein wie auch der Imaginaärteil. Diese sind

8E2 - 8EV0  + V 20
-------V-2--------
        0 = cos ( √ -----a )
    8mE  ℏ- (5.47a)
            ∘ -----------
4(2E  - V0)   E(V0 - E )
------------2------------
           V0 = sin ( √ -----a)
    8mE  --
         ℏ (5.47b)

Addiert man die quadrierte Gleichung (5.47a) zur quadrierten Gleichung (5.47b), so erhält man 1 = 1. Es reicht also, die numerische Lösung von Gleichung (5.47a) zu bestimmen. Mit E∕V 0 = x2 und κ(V 0,a) = (         )
 √8mV----a
        0ℏ wird Gleichung (5.47a)

8x4 - 8x2 + 1 = cos(κx )
(5.48)

Die linke Seite der Gleichung ist invariant. x hat den Wertebereich [0, 1). Die rechte Seite hängt von a√---
 V0 ab.

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Darstellung von 8x4 - 8x2 + 1 gegen cos(κx) in Abhängigkeit von κ

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die linke und die rechte Seite der Gleichung 5.48. Die Schnittpunkte mit der roten Linie sind die Lösungen xi. Wenn κ zunimmt, gibt es mehr gebundene Lösungen. Ein zunehmendes κ bedeutet, dass entweder die Potentialtiefe V 0 zugenommen hat, oder aber die Breite des Topfes a.

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Nullstellen von 8x4 - 8x2 + 1 - cos(κx) = 0 in Abhängigkeit von κ

Abbildung 5.10.3.2 zeigt einen vergrösserten Ausschnitt zur Bestimmung der Nullstellen der Gleichung (5.48).

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Relative Energieniveaus des Potentialtopfs als Funktion der Topfbreite a.

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem V 0 als Funktion der Topfbreite a. Bei kleinem a existieren nur zwei Niveaus, E0 = 0 und E1 V 0. Wenn a zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Bei a = 4 a.u. sieht man, dass sich zwei Energieniveaus kreuzen. Bei einer vollen Betrachtung würde an dieser Stelle sich eine Bandlücke öffnen.

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Energieniveaus des Potentialtopfs als Funktion der Wandhöhe V 0.

Abbildung 5.10.3.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem a als Funktion der Wandhöhe V 0. Bei kleinem V 0 existieren nur zwei Niveaus, E0 = 0 (hier nicht angezeigt) und E1 V 0. Wenn V 0 zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Die erste Kreuzung von energieniveaus sieht man bei V 0 = 16 a.u.

5.10.4  Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden: entartete Zustände

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2D unendlicher Potentialkasten.

Die Energieeigenwerte eines zweidimensionalen Potentialtopfs sind ähnlich quantisiert wie in dem Fall eines eindimensionalen Potentialtopfs mit unendlich hohen Wänden (siehe Abschnitt 5.7). Wenn der Topf die Dimensionen a und b hat (siehe Abbildung 5.10.4) sind die Energieeigenwerte

              (         )
         ℏ2 π2  n2x    n2y
Enx,ny = -----  -2-+  -2-       nx,ny ∈ ℕ ∪ {0}
          2m    a     b
(5.49)

Die Eigenfunktionen lauten

               (      )    (      )
                     x-         y-
ϕ (x,y) = C sin  nxπ a  sin  ny πb
(5.50)

Wenn a∕b oder b∕a ganzzahlig sind, treten unterschiedliche Eigenfunktionen mit dem gleichen Energieeigenwert auf. Man sagt, die Eigenwerte seien entartet. Wenn zum Beispiel a∕b = 1 ist, dann sind die Energien zu den Eigenwerten (nx,ny) = (7, 1) und (nx,ny) = (5, 5) gleich.

                  2 2
E    = E   =  50-ℏ-π--
  7,1     5,5     2ma2
(5.51)

Beim eindimensionalen Potentialtopf mit endlichen Wandhöhen treten für gewisse Kombinationen von Topfbreiten a und Topfhöhen V 0 Kreuzungen von Niveaus auf. Dies führt wie gezeigt auch zu einer Entartung. Beim zweidimensionalen Potentialtopf mit endlich hohen Wänden tritt der gleiche Effekt auch auf.



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