5.11  Teilchen im endlichen Potentialtopf

Der Fall eines Teilchens in einem endlichen Potentialtopf ist etwas komplizierter als der Fall des unendlichen. Die Wellenfunktion verschwindet nicht am Rand des Topfes. Wir müssen zwei Fälle betrachten: wenn die Energie höher als die Potentialwälle ist, also E > V ₀ und wenn sie kleiner ist. Im ersten Falle haben wir zum Beispiel eine von links einlaufende Welle, die sich an den Diskontinuitäten des Potentials reflektiert. Diese Lösung müsste aus der Lösung des Potentialwalls ablesbar sein. Im zweiten Falle haben wir lokalisierte Wellenfunktionen.

5.11.1  Potentialtopf, E > V ₀

Die Lösungen sind in Gleichung (5.4) angegeben und werden hier nochmals wiederholt.

A₁ stellt die einfallende Welle dar. der Wert ist frei wählbar. Die Energiewerte müssen aus Gleichung (5.5)

und Gleichung (5.6)

werden umskaliert mit E → E − V ₀ ausserhalb und E − V ₀ → E im Topf. Wir erhalten

(5.1)

und

(5.2)

Daraus folgen die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten T und R

(5.3)

und

Die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten sind also gleich wie bei einer Barriere, sofern E > V ₀ ist. Eine kurze Kontrolle zeigt, dass R + T = 1 ist, wir also keine Teilchen verlieren. Sowohl die Reflexion wie auch die Transmission oszillieren mit der Breite der Barriere a. Die Gleichungen können noch vereinfacht werden:

(5.5)

und

(5.6)

Abbildung 5.11.1 zeigt den Transmissionskoeffizienten und den Reflexionskoeffizienten als Funktion der Energiedifferenz von E zu V ₀.

5.11.2  Potentialtopf, E < V ₀

Wenn die Energie des Teilchens E kleiner ist als die potentielle Energie der Wände E < V ₀, kann die Schrödingergleichung mit dem allgemeinen Ansatz

(5.7)

gelöst werden. Hier ist k₁ = k₃. Für x = 0 und x = a sind die Randbedingungen

(5.8)

sowie

(5.9)

Von links und rechts kommen keine Wellen, also ist A₁ = A′₃ = 0. A₂ oder A′₂ können frei gewählt werden. Wir lassen A₂ als freien Parameter. Dann ist bei x = 0

(5.10)

und bei x = a

(5.11)

Beide Gleichungssysteme können gelöst werden und ergeben eine Beziehung zwischen A′₁, A′₂ als Funktion von A₂ beziehungsweise für A₃ und A′₂ als Funktion von A₂.

Die beiden Lösungen für A′₂ müssen identisch sein, das heisst die Gleichung

(5.13)

muss gelten. Da k₂(E) und k₁(E,V ₀) beides Funktionen von E sind, ist Gleichung (5.13) eine Bestimmungsgleichung für die erlaubten Werte von E. Mit k₂ = ∕ℏ und k₁ = i∕ℏ (da E < V ₀ ist) wird Gleichung (5.13)

(5.14)

Gleichung (5.14) ist nicht analytisch lösbar. Bei den Lösungen muss sowohl der Realteil gleich sein wie auch der Imaginaärteil. Diese sind

Addiert man die quadrierte Gleichung (5.15a) zur quadrierten Gleichung (5.15b), so erhält man 1 = 1. Es reicht also, die nummerische Lösung von Gleichung (5.15a) zu bestimmen. Mit E∕V ₀ = x² und κ(V ₀,a) = wird Gleichung (5.15a)

(5.16)

Die linke Seite der Gleichung ist invariant. x hat den Wertebereich [0, 1). Die rechte Seite hängt von a ab.

Abbildung 5.11.2 zeigt die linke und die rechte Seite der Gleichung 5.16. Die Schnittpunkte mit der roten Linie sind die Lösungen x_i. Wenn κ zunimmt, gibt es mehr gebundene Lösungen. Ein zunehmendes κ bedeutet, dass entweder die Potentialtiefe V ₀ zugenommen hat, oder aber die Breite des Topfes a.

Abbildung 5.11.2 zeigt einen vergrösserten Ausschnitt zur Bestimmung der Nullstellen der Gleichung (5.16).

Abbildung 5.11.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem V ₀ als Funktion der Topfbreite a. Bei kleinem a existieren nur zwei Niveaus, E₀ = 0 und E₁ ≈ V ₀. Wenn a zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Bei a = 4 a.u. sieht man, dass sich zwei Energieniveaus kreuzen. Bei einer vollen Betrachtung würde an dieser Stelle sich eine Bandlücke öffnen.

Abbildung 5.11.2 zeigt die Energieniveaus bei konstantem a als Funktion der Wandhöhe V ₀. Bei kleinem V ₀ existieren nur zwei Niveaus, E₀ = 0 (hier nicht angezeigt) und E₁ ≈ V ₀. Wenn V ₀ zunimmt, gibt es mehr Niveaus. Die erste Kreuzung von energieniveaus sieht man bei V ₀ = 16 a.u.