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Schematische Darstellung des Flächenladungsversuches.
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In der Abbildung 2.28 wird der Messprozess schematisch gezeigt. Eine Kugel mit dem Radius wird auf die Spannung aufgeladen. Die kleine Kugel mit dem Radius wird mit der grossen Kugel in Kontakt gebracht. Nach kurzer Zeit haben beide Kugeln gegen Erde (unendlich) das Potential . Wenn wir annehmen, dass die kleine Kugel eine unwesentliche Störung der grossen Kugel ist, ist die Kapazität der beiden Kugeln
Die Flächenladungsdichte der beiden Kugeln im Kontakt ist durch
Die Kugel hat nach der Trennung ein anderes Potential gegen unendlich, nämlich
Aus Gleichung (2.105) und Gleichung (2.106) erhalten wir
Die Kugel wird schliesslich auf das Ladungsmessgerät (eigentlich ein Strom-Integrierer) aufgebracht. Die gemessene Ladung ist proportional zu und damit proportional zu gemeinsam.
Das Vektorpotential
ergibt das magnetische Feld für einen in der -Richtung laufenden Strom
In Zylinderkoordinaten gehört zum Magnetfeld
das Vektorpotential
Nun bezieht sich die Rotation nur auf , nicht aber auf . Deshalb kann sie unter das Integral gezogen werden.
Nun gilt für die Rotation eines Produktes (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM00, pp. 468])
Hier ist der Vektor bezüglich der Rotation eine Konstante, da er nur von und nicht von abhängt. Weiter darf die Ableitung irgend eines Punktes nicht davon abhängen dass das Koordinatensystem um einen Konstanten Vektor verschoben wurde. Wir rechnen deshalb die Ableitungen in der Rotation, beziehungsweise im Gradienten, nicht bezüglich sondern bezüglich des verschobenen Koordinatensystems aus. Es bleibt also
Wir betrachten nun einen infinitesimal dünnen Strom . ist ein Einheitsvektor entlang des Drahtes. Da überall null ist ausser auf dem eindimensionalen Draht, wird aus dem Volumenintegral ein eindimensionales Integral. Wieder ist es für die Integration egal, ob wir von oder von abhängen lassen.
Diese Gleichung ist bekannt als das Gesetz von Biot-Savart. Mit ihm kann man das Feld einer beliebigen Leiteranordnung berechnen.
Auch wenn sie physikalisch keine Bedeutung hat, kann es sinnvoll sein in Zwischenschritten die differentielle Formulierung zu verwenden, nämlich die Formel von Laplace.
Da konstant ist, schreiben wir und als Funktion des Winkels
Der Strom soll im Gegenuhrzeigersinn umlaufen, also in positiver Richtung. Ein Längenelement entlang des Kreisringes ist
Das Vektorprodukt ergibt
Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die - und -Polarisation.
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Im Grenzfall müssen die Resultate für die - und -Polarisation übereinstimmen. Lässt man in Gleichung (6.99) gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte elektrische Feld . Andererseits ist der Grenzwert des elektrischen Feldes für gegen Null bei Gleichung (6.87) negativ. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.16 die Vektoren für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte und sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der reflektierten Wellen identisch.
Wenn in der Gleichung Gleichung (6.99) für der Nenner ist, divergiert der Nenner, Wir erhalten also . Dies ist der Brewster-Winkel.
Othmar Marti