(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 98])
Versuch zur Vorlesung: | |
Fadenstrahlrohr (Versuchskarte EM-11) | |
Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die magnetische Feldstärke oder die magnetische Induktion ein. Ein magnetisches Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz
|
beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft L heisst Lorentz-Kraft.
Durch den Vergleich von Gleichung (3.1) und Gleichung (3.22) kann man für die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben
| (3.2) |
| (3.3) |
ermöglicht es Gleichung (3.2) kompakter zu schreiben
| (3.4) |
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_____________________________________________________________________
Die magnetische Induktion bildet eine Rechtsschraube um den Strom I (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung der magnetischen Induktion). |
Versuch zur Vorlesung: | |
Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50) | |
Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist der Strom. |
Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden. Mit
| (3.5) |
wobei q2 eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit n2 der Ladungsträgerdichte im Leiter 2, ℓ die betrachtete Länge, A2 der Querschnitt des Leiters und = , bekommt man
| (3.6) |
Der Strom im Leiter 2 ist nun aber
| (3.7) |
Damit ist
| (3.8) |
Wenn wir Gleichung (3.4) einsetzen, bekommen wir
| (3.9) |
Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im SI-System verwendet.
|
Die Einheit der magnetischen Induktion ist
| (3.11) |
Manchmal wird die magnetische Induktion auch als magnetische Flussdichte bezeichnet.
Die magnetische Induktion wurde so definiert, dass in Gleichung (3.9) alle Faktoren bis auf den Strom I2 und die Länge ℓ durch B(r) symbolisiert werden. Diese Wahl ist willkürlich. Wir hätten genau so gut ein Feld durch
| (3.12) |
definieren können. heisst magnetisches Feld oder magnetische Feldstärke. Das magnetische Feld hat die Einheit
Das magnetische Feld H ist unabhängig von der
Materie die den betrachteten Raum erfüllt. Die
magnetische Induktion B hängt vom den Raum
füllenden Material ab. |
| (3.13) |
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.
__________________________________________________________________________
Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.
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Der Betrag des Vektors d, der senkrecht auf d und senkrecht auf d steht, ist
| (3.14) |
wobei n die Dichte der Ladungsträger und ϕ der Winkel zwischen und d ist. Mit der Stromdichte = n··q erhalten wir
| (3.15) |
Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach
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Folien zur Vorlesung vom 28. 05. 2009: PDF | |
Aufgabenblatt 07 für das Seminar vom 03. 06. 2009 (Ausgabedatum 38. 05. 2009): (HTML oder PDF) | |
| (3.17) |
Das Linienintegral im homogenen -Feld kann wie folgt berechnet werden:
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Vom Linienelement d aus Gleichung (3.17) trägt nur die Komponente d⊥ senkrecht zu zum Integral bei (wegen dem Kreuzprodukt in der Gleichung). Abbildung 1 zeigt auf der rechten Seite die Leiterschlaufe projiziert auf die Ebene senkrecht zu .
Also kann Gleichung (3.17) umgeschrieben werden:
| (3.18) |
d⊥ über s summiert oder integriert ergibt null, da damit eine geschlossene Kurve beschrieben wird, bei der anfangs- und Endpunkt übereinstimmen, also durch einen Vektor der Länge Null verbunden sind.
d steht immer senkrecht auf d⊥ (wieder wegen dem Kreuzprodukt). Die Länge von d ist um den konstanten Faktor I· gegenüber d⊥ geändert. Damit beschreibt d einen geometrisch ähnlichen geschlossenen Weg, um π∕2 gedreht und gedehnt. Damit ist für eine geschlossene Leiterschlaufe im homogenen magnetischen Feld
| (3.19) |
Link zur Vorlesung: | |
(Elektromotor) | |
Versuch zur Vorlesung: | |
Lorentz-Kraft (Versuchskarte EM046) | |
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Wir betrachten dazu die rechteckige Leiterschlaufe aus Abbildung 2. Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das infinitesimale Drehmoment
In Gleichung (3.20) enthält das Differential die Beiträge der oberen linken Seite plus die Beiträge der oberen rechten Seite plus die Beiträge der unteren linken Seite plus die Beiträge der unteren rechten Seite. Das gesamte Drehmoment bekommt man, indem man über die halbe Seite a integriert.(3.21) |
Wenn 1 die Kraft auf die ganze obere Seite ist (und 2 entsprechend für die untere Seite), ist
| (3.22) |
Damit ist
| (3.23) |
Das Drehmoment liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn ϕ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und ist, gilt mit F1 = a·I·B:
| (3.24) |
Wir definieren das magnetische Moment so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass = Fläche·Strom = a·b·I ist. Damit ist
| (3.25) |
Die Einheit des magnetischen Momentes ist
Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.
Bei einer beliebigen Leiterschlaufe kann das magnetische Moment berechnet werden, indem diese aus Einzelteilen zusammengesetzt wird.
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Links ist ein infinitesimales magnetisches Moment aufgezeichnet. Rechts daneben ein quadratisches infinitesimales Moment. Da alle vom gleichen Strom I umrundet werden, und im gleichen Drehsinn, kann eine endliche Fläche aus den infinitesimalen Flächen zusammengesetzt werden. Daraus folgt die Vorschrift zur Berechnung von .
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Die Ströme im Inneren heben sich dabei jeweils auf (Siehe auch Abbildung 2). Aus der differentiellen Gleichung
| (3.26) |
erhält man deshalb
| (3.27) |
| (3.28) |
Damit erhalten wir
| (3.29) |
Wenn wir Epot(ϕ = π∕2) = 0 wählen haben wir
| (3.30) |
Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.
Versuch zur Vorlesung: | |
Barlowsches Rad (Versuchskarte EM004) | |
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 104])
Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom I erzeugte Magnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke B = I charakterisiert, wobei das -Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises S, ergibt
| (3.31) |
Dieses Linienintegral ist unabhängig von r. Die Behauptung ist, das die obige Gleichung, ein einfacher Fall des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes, allgemeingültig ist.
Ampèresches Durchflutungsgesetz
|
Der Beweis geht in mehreren Schritten:
da (r) keine Komponente in die z-Richtung hat. Es ist
und damit
Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg S′′ umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben.
wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von S eine Rechtsschraube bilden, positiv zu zählen sind.
Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius R soll homogen vom Strom I durchflossen werden. Die Stromdichte und der Strom I stehen dann betragsmässig wie
in Beziehung. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Wir betrachten einen zum Strom konzentrischen Integrationsweg s. Ausserhalb des Leiters (r > R) haben wir
und daraus
Innerhalb des Leiters (r ≤ R) gilt
und damit
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Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen Linienstromes.
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Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (C.1)) kann man die Integralform des Ampèreschen Gesetzes umschreiben
| (3.33) |
Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen A(S) gelten müssen, muss auch die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten
|
Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter
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Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.
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Wir definieren eine lineare Stromdichte
([j] = A/m). In unserem Falle hängt und über
zusammen. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in der z-Richtung
| (3.35) |
Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der xy-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die x-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.
Wir betrachten weiter die Komponenten Bx(x) und By(x) des Feldes im Abstand x von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:
und damit
sein.
.
Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:
| (3.36) |
Um y zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad S symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt
Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung 3.8.3.1, Mitte).
| (3.37) |
Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den Raum zwischen den Platten beschränkt.
| (3.38) |
Die beiden Gleichungen sind einheitenmässig korrekt, da [j] = = A/m ist.
Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel, Modell für eine Spule
Folien zur Vorlesung vom 04. 06. 2009: PDF | |
Aufgabenblatt 08 für das Seminar vom 10. 06. 2009 (Ausgabedatum 04. 06. 2009): (HTML oder PDF) | |
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 111])
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.
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Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes
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Da überall auf der Integrationsfläche A gilt: ·d = 0, ist
| (3.39) |
Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grund- und Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass
ist.
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Integration über die Mantelfläche.
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An der Mantelfläche gilt mit da = h·ds
und damit
Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen
| (3.40) |
Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.1)) zeigt man
Quellenfreiheit des Magnetfeldes
oder in differentieller Form
|
Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 114])
Versuch zur Vorlesung: | |
Magnetfeld von Leitern (Versuchskarte Em021) | |
In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre (Siehe Abschnitt 2.5). Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential U() durch
eindeutig ein elektrisches Feld () konstruiert werden kann, das dem Gesetz der Elektrostatik
genügt. Grundlage war die Vektoridentität
die für beliebige Funktionen U() gilt (siehe Gleichung (C.33)). Es gibt unter den Rechenregeln für Vektorableitungen (siehe Abschnitt C.2.4) eine weiter Identität mit dem Nullvektor, nämlich Gleichung (C.34).
Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rot = μ0 und die Quellenfreiheit div = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.4) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also nach Gleichung (C.34) ein beliebiges Vektorfeld wählen und die magnetische Induktion gleich der Rotation von setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von gewährleistet. Mit dem Vektorpotential
| (3.43) |
werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität
| (3.44) |
ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität rot = grad −Δ bekommen wir aus dem Ampèreschen Gesetz
| (3.45) |
Die Einheit des Vektorpotentials ist
Das Vektorpotential kann immer so gewählt werden, dass div = 0 gilt.
Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit div = f ⇔ 0 existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld = grad ϕ mit
mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent zur Elektrostatik. Wir definieren ein VektorpotentialWegen Gleichung (3.47) gilt dann
Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche -Feld erzeugt wie das ursprüngliche. Wegen Gleichung (3.47) gilt auch
Zu jedem Vektorpotential kann ein Vektorpotential ′ gefunden werden, so dass div ′ = 0 ist. |
Diese Eichung heisst Coulombeichung.
Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen Lösung von gehörenden Potentiale nennt man Eichung. |
In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man bevorzugt mit dem Vektorpotential. |
Da div = f eine beliebige zahlenwertige Funktion sein kann, kann diese zum Beispiel auch die zeitliche Ableitung des elektrischen Potentials sein, also auch
| (3.47) |
sein. Diese Lorentzeichung ist relativistisch invariant und wird deshalb gerne in der Relativitätstheorie und der Quantenfeldtheorie verwendet.
Folien zur Vorlesung vom 08. 06. 2009: PDF | |
Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung
| (3.48) |
kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik,
| (3.49) |
Aus der Beziehung rot = (Siehe Landau und Lifschitz, Klassische Feldtheorie [?, pp. 121]) bekommen wir
| (3.50) |
Nun bezieht sich die Rotation nur auf , nicht aber auf ′. Deshalb kann sie unter das Integral gezogen werden.
| (3.51) |
Nun gilt für die Rotation eines Produktes (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [?, pp. 468])
Hier ist der Vektor (′) bezüglich der Rotation eine Konstante, da er nur von ′ und nicht von abhängt. Weiter darf die Ableitung irgend eines Punktes nicht davon abhängen dass das Koordinatensystem um einen konstanten Vektor verschoben wurde. Wir rechnen deshalb die Ableitungen in der Rotation, beziehungsweise im Gradienten, nicht bezüglich sondern bezüglich des verschobenen Koordinatensystems = −′ aus. Es bleibt also
Die letzte Zeile ergibt sich, da für die Zwecke der Integration eine Konstante ist. Auch hier muss das Resultat der Integration unabhängig davon sein, dass wir das Koordinatensystem verschoben oder das Vorzeichen geändert haben. Deshalb darf man (′) = (−) = () setzen.
Wir betrachten nun einen infinitesimal dünnen Strom dIDraht(′) = = Id. Draht ist ein Einheitsvektor entlang des Drahtes. Da überall null ist ausser auf dem eindimensionalen Draht, wird aus dem Volumenintegral ein eindimensionales Integral. Wieder ist es für die Integration egal, ob wir von ′ oder von abhängen lassen.
| (3.53) |
Diese Gleichung ist bekannt als das Gesetz von Biot-Savart. Mit ihm kann man das Feld einer beliebigen Leiteranordnung berechnen.
Auch wenn sie physikalisch keine Bedeutung hat, kann es sinnvoll sein in Zwischenschritten die differentielle Formulierung zu verwenden, nämlich die Formel von Laplace.
| (3.54) |
Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung!
Beispiel:
Wir hatten in Abbildung 3.8.3.1 gesehen, dass ein homogener Strom in die +z-Richtung homogene magnetische Induktionen links und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form
| (3.55) |
Für x = 0 ist By nicht definiert.
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Darstellung von in einer (x = const)-Ebene. Die Strom-Ebene liegt bei x = 0.
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Das zu Gleichung (3.55) gehörige Vektorpotential ist
Wieder ist für x = 0 nicht definiert. Aus = rot bekommt man
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z-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in z-Richtung in der (x = 0)-Ebene.
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Beispiel:
Das Vektorpotential
ergibt das magnetische Feld für einen in der z-Richtung laufenden Strom I
In Zylinderkoordinaten (r,𝜃,z) gehört zum Magnetfeld
das Vektorpotential