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6.2  Allgemeine Lösung der Wellengleichung

Es gibt eine grosse Klasse von Funktionen (skalar oder vektoriell), die die Wellenleitergleichung lösen. Im Folgenden besprechen wir skalare Funktionen, die aber auch als eine Vektorkomponente aufgefasst werden können. Alle Funktionen, die nur von einer skalaren Variablen

u = k ·r −  ωt
(6.1)

abhängen lösen die Wellengleichung, wenn sie genügend oft stetig differenzierbar sind. Wir betrachten die Funktion f(u) = f(u(r,t)). und setzen sie in c2Δf(u(r,t)) = (2∕∂t2)f(u(r,t)) ein. Die Kettenregel der Differentiation ergibt für u = k·rωt = kxx + kyy + kzz ωt

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Die letzte Umformung in Gleichung (6.3) beruht auf

 2            2
∂--u(r,t) = -∂--(k x + k y + k z − ωt) = 0
∂t2         ∂t2   x     y     z

Da (∂∕∂t)u = ω ist, ist auch

 2                   2
∂--f(u(x,y, z,t)) =  ∂-f(u)· ω2
∂t2                  ∂u2
(6.4)

Analog erhalten wir für die Raumkomponente x

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Also ist wieder mit d2u2
dx = 0 und zyklisch für x,y,z

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Damit lautet die Wellengleichung mit Gleichung (6.3), Gleichung (6.6), Gleichung (6.4) und Gleichung (6.7)

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Damit können wir sagen:

Jede Funktion E(u) mit u = k·r ωt ist eine Lösung der Wellengleichung

 2               ∂2
c ΔE  (u (r,t)) =  --2E (u(r,t)),
                 ∂t
(6.9)

sofern

c =  ω--
     |k |
(6.10)

gilt.

Aus den Gleichungen (6.3) kann die Orientierung von k, E und B berechnet werden. Wir verwenden die Gleichungen (6.9) und (6.10) und schreiben alle Ableitungen nach x, y, z und t als Kettenableitungen zuerst nach u. Wenn E(u) aus der Wellengleichung bekannt ist, verwenden wir die II. Maxwellgleichung aus (6.3) und erhalten

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Wir haben dabei verwendet, dass du∕dx = kx, du∕dy = ky, du∕dz = kz und du∕dt = ω. Damit ist auch (du∕dx,du∕dz,du∕dz)T = (k x,ky,kz)T = k. Integrieren wir die Gleichung (6.11) nach u erhalten wir

k × E =  ωB
(6.12)

k, E und B bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Dreibein. Die drei Vektoren stehen paarweise rechtwinklig aufeinander.

Hätten wir die die Wellengleichung für B gelöst, hätten wir die Beziehung

            ω
k × B  =  − -2E
            c
(6.13)

bekommen. Diese Beziehung (6.13) ist aber unter Verwendung von (6.10) identisch mit (6.12).

Betragsmässig haben wir im Vakuum weiter die Beziehung

|E | = c |B |.
(6.14)



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