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G.  Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [?, pp. 146])

pict Dreieck

halber Dreiecksumfang
s = a+b+c
--2--
Radius des Umkreises
R = --a--
2sinα = --b--
2sinβ = -c---
2sinγ
Radius des Inkreises
r = ∘ (s−a)(s−b)(s−c)
        s = s tan α2- tan β2 tan γ2 = 4R sin α2- β2γ2
Flächeninhalt
S = 1
2ab sin γ = 2R2 sin α sin β sin γ = rs =
∘ ---------------------
  s(s − a)(s − b)(s − c)
Sinussatz
sinaα = sbinβ- = sicnγ- = 2R
R ist der Umkreisradius
Projektionssatz
c = a cos β + b cos α
Kosinussatz oder Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck
c2 = a2 + b2 2ab cos γ
Mollweidsche Gleichungen
(a + b) sin γ
2 = c cos ( α−β)
  -2--
(a b) cos γ
 2 = c sin (   )
 α−β-
  2
Tangenssatz
a+b
a−-b = tan α+-β
tan-α−2β
    2
Halbwinkelsatz
tan α-
2 = ∘ ---------
  (s−b)(s−c)
    s(s−a)
Tangensformeln
tan α =  asin β
c−acosβ =  asin γ
b−acosγ
Beziehungen für halbe Winkel
sin α-
2 = ∘ ---------
  (s−b)(s−c)
     bc
cos α2 = ∘ s(s−-a)-
  --bc-

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [?, pp. 148])

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gegeben Formeln



1.
1 Seite und 2 Winkel (a,α,β)
γ = παβ, b = assiinnαβ, c = assiinnαγ, S = 1
2ab sin γ



2.
2 Seiten und der eingeschlossene Winkel (a,b,γ)
tan α−β-
 2 = a−-b
a+b cot γ
 2 α+β-
 2 = π
2 γ
2 α und β werden aus α +β und αβ berechnet. c = asinγ
sin-α-, S = 12ab sin γ



3.
2 Seiten und der einer von ihnen gegenüberliegende Winkel (a,b,α)
sin β = bsianα- Für a b ist β < π2 und eindeutig bestimmt. Für a < b sind die folgenden Fälle möglich:
  1. β hat für b sin α < a zwei Werte β2 = π β1
  2. β hat genau einen Wert (π
 2) für b sin α = a
  3. Für b sin α > a ist es unmöglich, ein Dreieck zu konstruieren.

γ = π αβ c = a-sinγ
 sinα S = 1
2ab sin γ




4.
3 Seiten (a,b,c)
r = ∘ (s−-a)(s−b)(s−-c)-
        s, tan α-
2 = -r-
s−a, tan β2 = sr−b, tan γ2 = sr−c, S = rs = ∘ ---------------------
  s(s − a)(s − b)(s − c)



Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke

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