(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 570]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 367]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 514])
Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten.
Zwei Wellen heissen kohärent, wenn sie, bis auf eine Phase die gleiche Zeitabhängigkeit haben. |
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Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.
Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite
, dann ist die Kohärenzzeit
und
.
Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite ), dann gibt es nur im Winkelbereich
eine kohärente Überlagerung.
Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die
beiden Wellenzüge mit den Amplituden und
kohärent oder nicht sind.
Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied und den Amplituden
und
ist die resultierende Amplitude
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 431]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 293]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 513])
Wenn wir eine nach links laufende Welle
und
eine nach rechts laufende Welle
zur
Interferenz kommen lassen, erhalten wir
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(5..7) |
Stehende Wellen als Resultat zweier gegenläufiger Wellen gibt es in jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren. |
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 596]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 360]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1114])
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Aufbau des Michelson-Interferometers.
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Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei
Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei
, der zum beweglichen
. Deshalb ist der gesamte
Weglängenunterschied
. Immer wenn
ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge
ist, tritt konstruktive
Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um
verschoben, ändert
sich
um
, dann haben wir destruktive Interferenz.
Wenn wir das Interferometer mit einer Intensität von betreiben
und wenn wir eine Intensitätsänderung von
noch messen können, dann
können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt
berechnen:
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(5..8) |
oder umgeschrieben
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(5..9) |
Die Ableitung dieser Gleichung ist
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(5..10) |
Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit ist
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(5..11) |
Wir können also die Distanz
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(5..12) |
Wenn zum Beispiel
ist und
ist, ist
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 212]) (Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 609]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 399])
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Stokessche Behandlung von Reflexion und Brechung (nach Hecht
[Hec])
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Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude , die vom oberen
Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor
reflektiert wird,
sowie mit dem Faktor
gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle
ist dann
, die der reflektierten Welle
. Das Fermatsche
Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch
realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine
realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die
einfallende Welle mit der Amplitude
und diejenige mit
eine
reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für
die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor
und der
Transmissionsfaktor
. Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der
in (b), wenn gilt
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(5..13) |
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Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht
[Hec] )
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Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer
Glasplatte mit dem Brechungsindex mit planparallelen Oberflächen. Im
Aussenraum sei auf beiden Seiten
. Die Abbildung zeigt die reflektierten
und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (5.14)
verwendet wurde. Die reflektierten strahlen interferieren in dem weit
entfernten Punkt
, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt
. Wenn das Etalon die Dicke
hat und der Winkel der Strahlen zur
Normalen im Inneren des Etalons
ist, dann ist der Gangunterschied
zweier benachbarter Strahlen
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(5..15) |
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(5..16) |
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(5..17) |
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(5..18) |
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(5..19) |
Der zweite Spezialfall ist
. Dann
sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass
und dass die innere Phase
ist, die Phasenverschiebung
,
ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für
die skalare Amplitude
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(5..20) |
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(5..21) |
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(5..22) |
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(5..23) |
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(5..24) |
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(5..25) |
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(5..26) |
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(5..30) |
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(5..33) |
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(5..38) |
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(5..39) |
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Transmission durch ein Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der
Finesse
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Reflexion an einem Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse
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Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch
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(5..40) |
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(5..41) |
Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist
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(5..42) |
Othmar Marti