Unterabschnitte

Phasendifferenz und Kohärenz




(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 570]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 367]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 514])

Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten.

Zwei Wellen heissen kohärent, wenn sie, bis auf eine Phase die gleiche Zeitabhängigkeit haben.

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Kohärenz (Versuchskarte O-051)

Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.

Kohärenzzeit
Jede Quelle hat ein beschränktes Phasengedächtnis. Dies bedeutet, dass die Wellenzüge, die vor einer Zeit grösser als die Kohärenzzeit $ \tau$ emittiert wurden, keine definierte Phasenbeziehung mehr haben. Der Phasenunterschied wird eine stochastische Grösse.
Kohärenzlänge
Die Kohärenzzeit $ \tau$ kann in eine Kohärenzlänge $ L$ umgerechnet werden. Ist der Weglängenunterschied grösser als $ L$, gibt es keine Kohärenz mehr.

Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite $ \Delta\omega$, dann ist die Kohärenzzeit $ \tau \approx \omega^{-1}$ und $ L
\approx c\tau \approx \frac{c}{\omega}$.

Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite $ b$), dann gibt es nur im Winkelbereich $ \sigma < \frac{\lambda}{4b}$ eine kohärente Überlagerung.

Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden $ E_1$ und $ E_2$ kohärent oder nicht sind.

bei kohärenten Wellenzügen
$ I(x,t) =
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\mu\mu_0}}\left(E_1(x,t)+E_2(x,t)\right)^2$
bei inkohärenten Wellenzügen
$ I(x,t) =
\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\mu\mu_0}}\left[E_1(x,t)^2+E_2(x,t)^2\right]$

Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied $ \phi$ und den Amplituden $ E_1$ und $ E_2$ ist die resultierende Amplitude


$\displaystyle E(x,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_1 e^{i(kx-\omega t)}+ E_2 e^{i(kx-\omega t-\phi(x))}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_1 \left(e^{i(kx-\omega t)}+ e^{i(kx-\omega
t-\phi(x))}\right) + (E_2 - E_1)e^{i(kx-\omega
t-\phi(x))}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_1 e^{i(kx-\omega t)}\left(1+ e^{i\phi(x)}\right) + (E_2 - E_1)e^{i(kx-\omega
t-\phi(x))}$ (5..6)

Stehende Wellen




(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 431]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 293]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 513])

Wenn wir eine nach links laufende Welle $ y_1(x,t) = E \sin(kx +\omega t)$ und eine nach rechts laufende Welle $ y_2 = E\sin(kx -\omega t +\delta)$ zur Interferenz kommen lassen, erhalten wir

$\displaystyle y(x,t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y_1(x,t)+y_2(x,t)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle E \sin(kx +\omega t)+ E\sin(kx -\omega t +\delta)$  
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2E\cos\left(\omega t-\frac{\delta}{2}\right)\sin\left(kx +\frac{\delta}{2}\right)$ (5..7)

Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehende Welle.

Wenn die Amplituden der beiden Wellen nicht gleich gross ist, dann interferieren von der Welle mit der grösseren Amplitude nur die Amplitudenteile, die gleich gross wie die Amplitude der schwächeren Welle sind.

Stehende Wellen als Resultat zweier gegenläufiger Wellen gibt es in jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren.

Das Michelson-Interferometer




(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 596]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 360]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1114])

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Michelson-Interferometer (Versuchskarte O-031)





\includegraphics[width=0.6\textwidth]{michelson}
Aufbau des Michelson-Interferometers.




Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei $ \ell_1$, der zum beweglichen $ \ell_2$. Deshalb ist der gesamte Weglängenunterschied $ \Delta\ell = 2(\ell_2-\ell_1)$. Immer wenn $ \Delta\ell$ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge $ \lambda$ ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um $ \lambda/4$ verschoben, ändert sich $ \Delta\ell$ um $ \lambda /2$, dann haben wir destruktive Interferenz.

Wenn wir das Interferometer mit einer Intensität von $ I_0$ betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von $ \Delta I$ noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt berechnen:

$\displaystyle I(x) = n\frac{\epsilon_0 c}{2} E^2\cos^2\left(2\pi \frac{x}{\lambda}\right) = I_0\cos^2\left(2\pi \frac{x}{\lambda}\right)$ (5..8)

oder umgeschrieben

$\displaystyle I(x) = \frac{I_0}{2}\left[1+\cos\left(4\pi \frac{x}{\lambda}\right)\right]$ (5..9)

Die Ableitung dieser Gleichung ist

$\displaystyle \frac{dI(x)}{dx} = -\frac{2 \pi I_0}{\lambda}\sin\left(4\pi \frac{x}{\lambda}\right)$ (5..10)

Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit ist

$\displaystyle \left\vert\left(\left.\frac{dI(x)}{dx}\right\vert _{max}\right)\right\vert = \frac{2\pi I_0}{\lambda}$ (5..11)

Wir können also die Distanz

$\displaystyle \Delta x = \frac{\Delta I}{\left.\frac{dI(x)}{dx}\right\vert _{max}} = \frac{\Delta I}{2\pi I_0} \lambda$ (5..12)

Wenn zum Beispiel $ \lambda = 500 nm$ ist und $ \Delta I/I_0 = 0.01$ ist, ist $ \Delta x = 2.75 nm$


Das Fabry-Perot-Interferometer




(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 212]) (Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 609]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 399])

\includegraphics[height=10mm]{icon-exp} Versuch zur Vorlesung: Interferenz an dünnen Schichten als Beispiel für das Fabry-Perot-Interferometer (Versuchskarte O-085)





\includegraphics[width=0.9\textwidth]{stokes-reflexion-brechung}
Stokessche Behandlung von Reflexion und Brechung (nach Hecht [Hec])




Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude $ E_{01}$, die vom oberen Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor $ r$ reflektiert wird, sowie mit dem Faktor $ t$ gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle ist dann $ tE_{0i}$, die der reflektierten Welle $ rE_{0i}$. Das Fermatsche Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die einfallende Welle mit der Amplitude $ rE_{0i}$ und diejenige mit $ tE_{0i}$ eine reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor $ r'$ und der Transmissionsfaktor $ t'$. Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der in (b), wenn gilt

$\displaystyle E_{0i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle t(\alpha)t'(\beta)E_{0i}+r(\alpha)r(\alpha)E_{0i}$ (5..13)
$\displaystyle 0 $ $\displaystyle =$ $\displaystyle t(\alpha)r'(\beta)E_{0i}+t(\alpha)r(\alpha)E_{0i}$  

Damit erhält man eine Verknüpfung der Reflexions- und Brechungskoeffizienten für den Übergang vom Medium $ 1$ in das Medium $ 2$ und umgekehrt. Dabei sind $ \alpha$ und $ \beta$ die jeweiligen Einfallswinkel, die durch das Snelliussche Gesetz verknüpft sind.
$\displaystyle t(\alpha)t'(\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-r^2(\alpha)$ (5..14)
$\displaystyle r'(\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -r(\alpha)$  

Diese beiden Gleichungen heissen die Stokeschen Relationen. Die zweite Gleichung zeigt, dass wenn $ r$ für die Reflexion am dichteren Medium steht, bei der es nach den Fresnelschen Formeln einen Phasensprung von $ \pi$ gibt, dass dann bei der Reflexion am optisch dünneren Medium kein Phasensprung auftritt.





\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fabry-perot-etalon}
Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht [Hec] )




Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer Glasplatte mit dem Brechungsindex $ n_G$ mit planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten $ n=1$. Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (5.14) verwendet wurde. Die reflektierten strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt $ P$, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt $ P'$. Wenn das Etalon die Dicke $ d$ hat und der Winkel der Strahlen zur Normalen im Inneren des Etalons $ \beta$ ist, dann ist der Gangunterschied zweier benachbarter Strahlen

$\displaystyle \Lambda = 2n_G d \cos\beta$ (5..15)

Bei den Strahlen, die in $ P$ interferieren, ist die Anzahl der inneren Reflexionen ungerade. Für den Spezialfall des senkrechten Einfalls, oder bei senkrechter Polarisation, ergeben die Reflexionen keine Phasenänderung. Wenn $ \Lambda = m\lambda$ ist, haben in $ P$ alee Wellen die gleiche Phase, ausser der ersten, deren Phase wegen $ r'=-r$ um $ \pi$ ändert. Also ist die reflektierte Amplitude

$\displaystyle E_{0r} = rE_0+\left(t'r'tE_0+t'r'^3tE_0+t'r'^5tE_0+\ldots\right)$ (5..16)

Da $ \Lambda = m\lambda$ und damit die innere Phasenverschiebung 0 ist, ersetzen wir $ r'$ mit $ -r$ und erhalten

$\displaystyle E_{0r}= E_0\left[r-t'rt\left(1+r^2+r^4+\ldots\right)\right]$ (5..17)

Diese geometrische Reihe konvergiert bei $ r^2<1$ gegen $ 1/(1-r^2)$, so dass wir

$\displaystyle E_{0r} =E_0\left[r-\frac{t'rt}{1-r^2}\right] = E_0 r \left(1-\frac{tt'}{1-r^2}\right)$ (5..18)

Nach den Stokeschen Relationen ist $ tt'=1-r^2$ und damit die reflektierte Amplitude

$\displaystyle E_{0r} = 0$ (5..19)

Also wird im Falle $ \Lambda=m\lambda=2n_G d \cos\beta$ oder $ d\cos\beta =
\frac{m\lambda}{2n_G}$ alles licht transmittiert.

Der zweite Spezialfall ist $ \Lambda=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda)$. Dann sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass $ r'=-r$ und dass die innere Phase $ \pi$ ist, die Phasenverschiebung $ \pi$, ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für die skalare Amplitude

$\displaystyle E_{0r} = rE_0 + t'rtE_0 -t'r^3tE_0+t'r^5tE_0-\ldots$ (5..20)

oder

$\displaystyle E_{0r} = E_0\; r\left[1+t't\left(1-r^2+r^2-\ldots\right)\right]$ (5..21)

Die Reihe in der Klammer konvergiert gegen $ 1/(1+r^2)$. Wir erhalten also

$\displaystyle E_{0r}=E_0\; r\left[1+\frac{t't}{1+r^2}\right]$ (5..22)

Mit $ t't=1-r^2$ erhalten wir

$\displaystyle E_{0r}=E_0\;r\left[1+\frac{1-r^2}{1+r^2}\right]= E_0\;r\frac{1+r^2+1-r^2}{1+r^2}=E_0\frac{2r}{1+r^2}$ (5..23)

Damit wird die reflektierte Intensität maximal, nämlich

$\displaystyle I_r = \sqrt{\frac{\epsilon\epsilon_0}{\mu\mu_0}}\frac{E_{0r}^2}{2...
...epsilon\epsilon_0}{\mu\mu_0}}\frac{4r^2}{\left(1+r^2\right)^2}\frac{E_{0}^2}{2}$ (5..24)

Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle $ \tilde{E}_0(t)=E_0e^{i\omega t}$ angeregten reflektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung $ \delta =
k_0\Lambda$ sind
$\displaystyle \tilde{E}_{1r}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_0\;re^{i\omega t}$ (5..25)
$\displaystyle \tilde{E}_{2r}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_0\;t'r'te^{i(\omega t-\delta)}$  
$\displaystyle \tilde{E}_{3r}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_0\;t'r'^3te^{i(\omega t-2\delta)}$  
$\displaystyle \tilde{E}_{4r}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_0\;t'r'^5te^{i(\omega t-3\delta)}$  
$\displaystyle $   $\displaystyle \vdots$  
$\displaystyle \tilde{E}_{Nr}(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_0\;t'r'^{(2N-3)}e^{i(\omega t-(N-1)\delta)}$  
$\displaystyle $ $\displaystyle \vdots$ $\displaystyle $  

Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen

$\displaystyle \tilde{E}_r = \tilde{E}_{1r}+\tilde{E}_{2r}+\tilde{E}_{3r}+\tilde{E}_{4r}+\ldots$ (5..26)

Eingesetzt ergibt sich

$\displaystyle \tilde{E}_r = E_0\;re^{i\omega t}+E_0\;t'r'te^{i(\omega t-\delta)}+E_0\;t'r'^3te^{i(\omega t-2\delta)} +E_0\;t'r'^5te^{i(\omega t-3\delta)}+\ldots$ (5..27)

Zusammengefasst ergibt sich
$\displaystyle \tilde{E}_r$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_0e^{i\omega t}\left\{r+t'r'te^{-i\delta}\left[1+r'^2te^{-i\delta}
+r'^4e^{-i2\delta}++r'^6e^{-i3\delta}+\ldots\right]\right\}$ (5..28)
$\displaystyle $ $\displaystyle =$ $\displaystyle E_0e^{i\omega t}\left\{r+t'r'te^{-i\delta}\left[1+\left(r'^2te^{-...
...^2te^{-i\delta}\right)^2+\left(r'^2te^{-i\delta}\right)^3+\ldots\right]\right\}$  

Für $ \left\vert r'^2e^{-i\delta}\right\vert<1$ konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten

$\displaystyle \tilde{E}_r = E_0e^{i\omega t}\left[r+\frac{t'r'te^{-i\delta}}{1-r'^2e^{-i\delta}}\right]$ (5..29)

Mit den Stokeschen Relationen $ r'=-r$ und $ t't=1-r^2$ bekommt man

$\displaystyle \tilde{E}_r = E_0e^{i\omega t}\left[r-\frac{r(1-r^2)e^{-i\delta}}...
...ight]= E_0e^{i\omega t}\left[\frac{r(1-e^{-i\delta})}{1-r^2e^{-i\delta}}\right]$ (5..30)

Die reflektierte optische Intensität ist $ I_r = \tilde{E}_r\tilde{E}_r^*/2$ und somit

$\displaystyle I_r = \sqrt{\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\mu\mu_0}}\frac{E_0^2...
...-r^2e^{+i\delta}}\right) = I_i\frac{2r^2(1-\cos\delta)}{(1+r^4)-2r^2\cos\delta}$ (5..31)

Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität

$\displaystyle I_t = I_i \frac{(1-r^2)^2}{(1+r^4)-2r^2\cos\delta}$ (5..32)

da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt. Mit $ \cos\delta=1-2\sin^2(\delta/2)$ werden $ I_i$ und $ I_r$
$\displaystyle I_r$ $\displaystyle =$ $\displaystyle I_i\frac{\left[\frac{2r}{1-r^2}\right]^2\sin^2(\delta/2)}{1+\left[\frac{2r}{1-r^2}\right]^2\sin^2(\delta/2)}$ (5..33)
$\displaystyle I_t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle I_i \frac{1}{1+\left[\frac{2r}{1-r^2}\right]^2\sin^2(\delta/2)}$  

Wir haben dabei angenommen, dass keine Energie absorbiert wird5.1. Dann ist $ I_i=I_t+I_r$. Ein Maximum in der Transmission erhält man, wenn der Nenner möglichst klein, das heisst, dass $ \cos\delta =1$ ist. Dann ist

$\displaystyle \left.I_t\right\vert _{max} = I_i$ (5..34)

und

$\displaystyle \left.I_r\right\vert _{min} = 0$ (5..35)

Umgekehrt ist die Transmission minimal, wenn der Nenner bei $ I_t$ maximal ist, also wenn $ \cos\delta = -1$ ist

$\displaystyle \left.I_t\right\vert _{min} = I_i\frac{(1-r^2)^2}{(1+r^2)^2}$ (5..36)

und

$\displaystyle \left.I_r\right\vert _{max}=I_i\frac{4r^2}{(1+r^2)^2}$ (5..37)

Es hat sich eingebürgert, dass Fabry-Perot-Interferometer mit der Kennzahl Finessefaktor charakterisiert werden:

$\displaystyle F = \left(\frac{2r}{1-r^2}\right)^2$ (5..38)

Dann gilt für die Intensitätsverhältnisse
$\displaystyle \frac{I_r}{I_i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {F\sin^2(\delta/2)}{1+F\sin^2(\delta/2)}$ (5..39)
$\displaystyle \frac{I_t}{I_i}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{1+F\sin^2(\delta/2)}$  

wobei die Funktion $ \left[1+F\sin^2(\delta/2)\right]^{-1}=\mathcal{A}(\delta)$ auch Airy-Funktion genannt wird5.2.





\includegraphics[width=0.7\textwidth]{fabry-perot-trans}
Transmission durch ein Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse $ F$. Von oben nach unten sind die Transmissionskurven für $ F=1$, $ F=2$, $ F=4$, $ F=8$, $ F=16$, $ F=32$, $ F=64$, $ F=128$ und $ F=256$ dargestellt.








\includegraphics[width=0.7\textwidth]{fabry-perot-refl}
Reflexion an einem Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse $ F$. Von unten nach oben sind die Reflexionskurven für $ F=1$, $ F=2$, $ F=4$, $ F=8$, $ F=16$, $ F=32$, $ F=64$, $ F=128$ und $ F=256$ dargestellt.




Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch

$\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{I_t}{I_i} = \frac{1}{1+F\sin^2(\delta/2)}$ (5..40)

gegeben. Daraus folgt

$\displaystyle \delta_{1/2} = 2\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{F}}\right)$ (5..41)

Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist

$\displaystyle \mathcal{F}= \frac{\pi\sqrt{F}}{2}$ (5..42)

Die einfachsten Fabry-Perot-Spektrometer haben ein $ \mathcal{F}
\approx 30$. Werte von $ \mathcal{F} \approx 1000$ sind an der Grenze des technisch machbaren. Wenn bei dem Fabry-Perot-Spektrometer Absorption vorhanden ist, müssen kompliziertere Gleichungen, die Sie zum Beispiel in Hecht [Hec, 617] finden, verwendet werden.

Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm