(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 570]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 367]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 514])
Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten.
Zwei Wellen heissen kohärent, wenn sie, bis auf eine Phase die gleiche Zeitabhängigkeit haben. |
Versuch zur Vorlesung: Kohärenz (Versuchskarte O-051) |
Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.
Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite , dann ist die Kohärenzzeit und .
Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite ), dann gibt es nur im Winkelbereich eine kohärente Überlagerung.
Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden und kohärent oder nicht sind.
Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied und den Amplituden und ist die resultierende Amplitude
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 431]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 293]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 513])
Wenn wir eine nach links laufende Welle
und
eine nach rechts laufende Welle
zur
Interferenz kommen lassen, erhalten wir
(5..7) |
Stehende Wellen als Resultat zweier gegenläufiger Wellen gibt es in jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren. |
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 596]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 360]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1114])
Versuch zur Vorlesung: Michelson-Interferometer (Versuchskarte O-031) |
Aufbau des Michelson-Interferometers.
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Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei , der zum beweglichen . Deshalb ist der gesamte Weglängenunterschied . Immer wenn ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um verschoben, ändert sich um , dann haben wir destruktive Interferenz.
Wenn wir das Interferometer mit einer Intensität von betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt berechnen:
(5..8) |
oder umgeschrieben
(5..9) |
Die Ableitung dieser Gleichung ist
(5..10) |
Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit ist
(5..11) |
Wir können also die Distanz
(5..12) |
Wenn zum Beispiel ist und ist, ist
(Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 212]) (Siehe Hecht, Optik [Hec, pp. 609]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 399])
Versuch zur Vorlesung: Interferenz an dünnen Schichten als Beispiel für das Fabry-Perot-Interferometer (Versuchskarte O-085) |
Stokessche Behandlung von Reflexion und Brechung (nach Hecht
[Hec])
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Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude , die vom oberen
Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor reflektiert wird,
sowie mit dem Faktor gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle
ist dann , die der reflektierten Welle . Das Fermatsche
Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch
realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine
realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die
einfallende Welle mit der Amplitude und diejenige mit eine
reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für
die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor und der
Transmissionsfaktor . Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der
in (b), wenn gilt
(5..13) | |||
Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht
[Hec] )
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Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer Glasplatte mit dem Brechungsindex mit planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten . Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (5.14) verwendet wurde. Die reflektierten strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt , die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt . Wenn das Etalon die Dicke hat und der Winkel der Strahlen zur Normalen im Inneren des Etalons ist, dann ist der Gangunterschied zweier benachbarter Strahlen
(5..15) |
(5..16) |
(5..17) |
(5..18) |
(5..19) |
Der zweite Spezialfall ist . Dann sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass und dass die innere Phase ist, die Phasenverschiebung , ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für die skalare Amplitude
(5..20) |
(5..21) |
(5..22) |
(5..23) |
(5..24) |
(5..25) | |||
(5..26) |
(5..27) |
(5..28) | |||
(5..29) |
(5..30) |
(5..31) |
(5..32) |
(5..33) | |||
(5..34) |
(5..35) |
(5..36) |
(5..37) |
(5..38) |
(5..39) | |||
Transmission durch ein Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der
Finesse . Von oben nach unten sind die Transmissionskurven für ,
, , , , , , und dargestellt.
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Reflexion an einem Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse . Von unten nach oben sind die Reflexionskurven für ,
, , , , , , und dargestellt.
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Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch
(5..40) |
(5..41) |
Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist
(5..42) |
Othmar Marti