Up: Grundkurs IIIb für Physiker
Übungsblatt 06
Grundkurs IIIb für Physiker
Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)
20. 1. 2003 oder 27. 1. 2003
Quellenfreiheit, Hall-Effekt,
Lorentztransformation, das Faradaysche Induktionsgesetz,
Energie des Magnetfeldes, PDF-Datei
- Ein Koaxialkabel bestehe aus zwei sehr dünnwandigen Zylindern mit den Radien (innen) und (aussen).
Der Strom fliesse im inneren Zylinder hin und im äusseren Zylinder zurück.
- verwenden Sie das Ampèresche Gesetz, um zu berechnen. Zeigen Sie, dass ist,
ausser zwischen den Leitern.
- Zeigen Sie, dass die magnetische Energiedichte zwischen den Zylindern
ist.
- Berechnen Sie die magnetische Energie in einem Zylinderschalen-Volumenelement
der Länge mit dem Volumen
, und zeigen Sie durch Integration, dass
die gesamte magnetische Energie im Volumen der Länge
ist.
- Verwenden Sie das Resultat von 1c und die Beziehung um zu zeigen,
dass die Selbstinduktivität pro Längeneinheit
ist.
- Die Schaltung
habe einen Widerstand von
sowie . Wenn der Schalter im Kreis 1
geschlossen wird, fliesst im Kreis 2 die Gesamtladung
durch das Galvanometer. Nach
langer Zeit betrage die Stromstärke im ersten kreis . Berechnen Sie die Gegeninduktivität der beiden
Spulen.
- Der Stab in der Abbildung
habe den Widerstand und der Widerstand der Schienen sowie die Kontaktwiderstände seien
vernachlässigbar. An die Punkte und werde eine Spannungsquelle mit vernachlässigbarem
Innenwiderstand so angeschlossen, dass der Strom im Stab nach unten fliesst. Zum Zeitpunkt sei
der Stab in Ruhe.
- Bestimmen Sie die Kraft auf den Stab als Funktion der Geschwindigkeit und formulieren Sie das
zweite Newtonsche Gesetz für den Stab, wenn er die Geschwindigkeit hat.
- Zeigen Sie, dass der Stab eine endliche Endgeschwindigkeit erreicht, und stellen sie für diese eine
Beziehung auf.
- Wie gross ist die Stromstärke, wenn der Stab seine Endgeschwindigkeit erreicht?
- Magnetfeld einer Leiteranordnung
- Bestimmen Sie das Magnetfeld am Punkt im Abstand vom stromdurchflossenen Leiter.
- Verwenden Sie das Resultat um die Feldstärke in der Mitte eines Polygons mit Seiten zu
berechnen.
- Zeigen Sie, dass für grosse , die Lösung in diejenige für ein Magnetfeld in der Mitte
eines stromdurchflossenen Kreises übergeht.
- In Elektromotoren schaltet man bisweilen einen Widerstand in Reihe zum Rotor, um den Anfangsstrom zu begrenzen, wenn
der Motor seine Nenndrehzahl noch nicht erreicht hat. Der Widerstand wird abgeschaltet, wenn der Motor
mit normaler Drehzahl läuft.
- Ein Motor habe den Widerstand und nehme bei auf. Wie gross muss der
Zusatzwiderstand bemessen sein, damit der Anfangsstrom nicht überschreitet?
- Wie gross ist die Gegeninduktionsspannung, wenn der Motor seine Nenndrehzahl erreicht hat
und der Widerstand abgeschaltet ist?
- Zeigen Sie: Durch eine Spule mit Windungen und dem Widerstand fliesst stets die gesamte Ladung
, wenn sich der Fluss von auf ändert, unabhängig davon
wie dies geschieht.
- Ein unendlich langer Draht ist wie
gebogen. Der ringförmige Teil habe den Radius und sei vom geraden Teil entfernt.
- Wie gross muss
, so dass im Kreismittelpunkt das Magnetfeld verschwindet?
- Wie gross ist der Magnetfeldgradient in die Richtung des eingezeichneten Vektors am
Kreismittelpunkt?
-
- Für ist das magnetische Feld null, weil hier kein Strom fliesst.
Für einen Kreis mit dem Radius
ist der resultierende Strom, der durch die Kontur fliesst, gleich null;
damit ist auch gleich null. Für ergibt sich aus dem Ampère-Gesetz
und damit
.
- Die magnetische Energiedichte ist
.
- Die gesamte magnetische Energie im Volumen zwischen den Zylindern ist
.
- Für die magnetische Energie können wir auch schreiben
. Daraus folgt
.
- Aufgrund der Definition der Gegeninduktivität können wir für den zweiten Stromkreis schreiben
. Wir integrieren beide Seiten dieser Gleichung über die Zeit. Für den ersten
Term ergibt sich
.
Entsprechend gilt für den zweiten Term
Schliesslich erhalten wir für den dritten Term
.
Daraus folgt
.
-
- Wir berechnen zunächst den durch den Stab fliessenden Strom. Die Spannungsquelle
liefert eine Spannung , und
der Stab induziert aufgrund seiner Bewegung eine Gegenspannung mit dem Betrag . Also ist die
resultierende Spannung . Daraus folgt
. Wegen dieses Stromes im Stab
wirkt auf ihn durch das magnetische Feld die Kraft
.
- Die Endgeschwindigkeit tritt auf, wenn ist, also wenn gilt
. Daraus folgt
.
- Bei der Endgeschwindigkeit ist der Strom im Stab
.
-
- Die unendlich langen geraden Abschnitte tragen zum Feld nichts bei, weil sie auf Geraden verlaufen, die durch
den Beobachtungspunkt gehen. Für den
kurzen Abschnitt gilt
und damit
.
- Wir stellen uns den kurzen Abschnitt als eine Seite eines regelmässigen N-Ecks vor. Dann ist, vom Mittelpunkt
des Vielecks aus gesehen, der Winkel über jedem Abschnitt gleich . Der gesamte Winkel im Vieleck ist
. Für ein -Eck folgt daraus
und . Das Feld im Mittelpunkt des
N-Ecks ist dann
.
Der erste Faktor rührt daher, dass jede der N Seiten den gleichen Beitrag zum Feld liefert. Für sehr grosses N
ist der Winkel sehr klein; dann gilt
und damit
, genau wie im Mittelpunkt einer kreisförmigen Schleife.
-
- Anfangs liegt keine Gegeninduktionsspannung vor, und der Strom ist . Mit ist
. Daher ist der Widerstand, der in Reihe zum Motor zu schalten ist,
.
- Bei normaler Drehzahl ist der Spannungsabfall über dem Motor
. Weil der Motor mit 230 V betrieben wird, entsteht eine Gegenspannung von 224 V.
- Wenn sich der Fluss ändert, wird ein Strom induziert, für den gilt
. Wegen ist die Ladung, die die Spule passiert, gegeben durch
.
Dies gilt unabhängig davon, wie sich der Fluss von einem Wert zum anderen ändert.
-
- Das gesamte Feld in diesem System entsteht durch Überlagerung der Felder eines geraden Leiters und einer Schleife.
Das Feld des geraden Leiters hat den Betrag
und weist aus der Papier-Ebene
heraus. Für den kreisförmigen Teil ist das Feld
;es weist in die Papier-Ebene hinein.
Hier ist cm der Radius der Schleife. Damit die Felder einander aufheben, muss gelten
bzw. cm.
- Das Feld des Kreises mit dem Radius für einen Punkt ausserhalb des Zentrums ist
Wir parametrisieren den Kreis mit
und setzen das
neue Zentrum zu
Dann ist
und
Der vom Kreis herrührende Strom erzeugt das Magnetfeld
Das gesamte Magnetfeld ist dann
oder
mit
und mit
- Elliptisches Integral erster Art
-
- Elliptisches Integral zweiter Art
-
Wir leiten nach ab und erhalten
Übungsblatt 06
Grundkurs IIIb für Physiker
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm