Wechselstromkreise, Impedanzen

Dieser Stoff wurde am 3. 2. 2005 behandelt

Materialien Folien zur Vorlesung vom 03. 02. 2005: PDFSeminar vom 03. 02. 2004: Aufgabenblatt 07 (HTML oder PDF)

In diesem Abschnitt betrachten wir die Wirkung von cosinusförmigen Wechselspannungen

$$U \equiv U(t) = U_0 \cos\left(\omega t - \varphi\right)$$ (4.338)

Die Zeitskala für die Wechselspannung wird so gewählt, dass $\varphi=0$ ist. Weiter setzen wir voraus, dass die zeitliche Änderung aller Grössen so gering sind, dass wir wie im stationären Falle rechnen können. Wir dies den quasistationären Fall.

Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen

Da bei Wechselspannungen a priori keine Stromrichtung vorgegeben ist, definiert man, zum Beispiel wie in der Abbildung oben, die Stromrichtung zu einem bestimmten Zeitpunkt, hier für $t=0$. Zu jedem Zeitpunkt muss die Spannung im Stromkreis insgesamt null sein. Also ist

$$U-U_R = 0$$ (4.339)

und mit dem Ohmschen Gesetz

$$U_0\cos(\omega t)-I\cdot R=0$$ (4.340)

oder

$$I(t) = \frac{U_0}{R}\cos(\omega t)=I_0\cos(\omega t)$$ (4.341)

Der Strom und die Spannung erreichen immer dann einen Extremwert, wenn $\omega t$ ein ganzzahliges Vielfaches von $\pi$ ist. Der durch einen Widerstand fliessende Strom ist in Phase mit der Spannung.

Die momentane Leistung am Widerstand ist

$$P(t) = U(t)\cdot I(t) = U_0\cos(\omega t) \cdot \frac{U_0}{R}\cos(\omega t) = \frac{U_0^2}{R}\cos^2(\omega t)=I_0^2R\cos^2(\omega t)$$ (4.342)

Der Mittelwert der Leistung ist ( $\left<\cos^2\omega t\right>_t=1/2$)

$$\left<P(t)\right>= \frac{1}{2}\frac{U_0^2}{R}=\frac{1}{2}I^2R$$ (4.343)

Unter dem Effektivwert der Spannung (des Stromes) versteht man diejenige Gleichspannung, die an einem Ohmschen Widerstand die gleiche Verlustleistung erzeugt. Also ist für sinusförmige Spannungen

$$U_{eff} = \frac{1}{\sqrt{2}}U_0$$ (4.344)

beziehungsweise

$$I_{eff}=\frac{1}{\sqrt{2}}I_0$$ (4.345)

Für beliebige Spannungsverläufe (Stromverläufe) ist der Effektivwert (auch rms-Wert von ''Root Mean Square'')

$$U_{eff}=U_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_t^{t+T} U^2(\tau)d\tau}$$ (4.346)

wobei $T$ eine Zeit ist, die bei periodischen Signalen der Periodendauer entspricht und bei zufälligen Signalen lang gegenüber der charakteristischen Zeitdauer der Schwankungen sein muss. Für Ströme gilt die analoge Formel

$$I_{eff}=I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int\limits_t^{t+T} I^2(\tau)d\tau}$$ (4.347)

Versuch zur Vorlesung: Wechselstromwiderstand (Versuchskarte EM053)

Spule mit Wechselspannung

Wir verwenden Gleichung (4.25) um die Spannung über der Spule zu berechnen. Die induzierte Spannung ist der Flussänderung entgegengesetzt. Sie wirkt so, dass die Zunahme des Stromes bei zunehmender Anregungsspannung gebremst wird. Deshalb ist

$$U-U_L = 0 = U-L\frac{dI}{dt}$$ (4.348)

Setzen wir $U= U_0\cos(\omega t)$ ein, erhalten wir

$$\frac{dI}{dt} = \frac{U_0}{L}\cos(\omega t)$$ (4.349)

und damit

$$I(t) = \frac{U_0}{L}\int\limits_0^t\cos(\omega\tau)d\tau = \frac{U_0}{L\omega}\sin(\omega t) = \frac{U_0}{L\omega}\cos(\omega t-\frac{\pi}{2})$$ (4.350)

Der Strom hat also den Scheitelwert

$$I = \frac{U_0}{\omega L} = \frac{U_0}{X_L}$$ (4.351)

wobei $X_L = \omega L$ die Impedanz oder der induktive Widerstand der Spule ist. Die Einheit der Impedanz ist gleich wie die Einheit des Widerstandes, das Ohm. Der Strom folgt der Spannung mit einer Phasenverschiebung von $-\pi/2$. Für die Effektivwerte gilt $I_{eff}= U_{eff}/X_L$, da für sinusförmige Spannungen und Ströme der gleiche Faktor zur Umrechnung von Scheitelwerten zu Effektivwerten verwendet werden muss.

Die momentan dissipierte Leistung an einer Spule ist

$$P(t) = U(t)\cdot I(t) = U_0\cos(\omega t) \cdot \frac{U_0}{\omega... ...os(\omega t-\frac{\pi}{2})= \frac{U_0^2}{\omega L} \cos(\omega t)\sin(\omega t)$$ (4.352)

Die dissipierte Leistung kann sowohl positiv wie auch negativ sein. Die mittlere dissipierte Leistung ist

$$\left<P\right>_t= \frac{U_0^2}{\omega L} \left<\cos(\omega t)\sin(\omega t)\right>_t = 0$$ (4.353)

Im Mittel wird also keine Leistung an einer Spule dissipiert.

Kondensator mit Wechselspannung

Beim Kondensator ist $U_C = q/C$. Diese Spannung muss gleich der treibenden Spannung sein.

$$U-U_C = 0 = U-\frac{q}{C}$$ (4.354)

Wir setzen $U$ ein und erhalten

$$q = C\cdot U_0 \cos(\omega t)$$ (4.355)

Der Strom ist dann für den Strom

$$I = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}C\cdot U_0 \cos(\omega t)=-C\omega\cdot U_0 \sin(\omega t)=C\omega\cdot U_0 \cos(\omega t+\frac{\pi}{2})$$ (4.356)

Wir nennen

$$X_C = \frac{1}{\omega C}$$ (4.357)

die Impedanz des Kondensators. Der Scheitelwert des Stromes ist

$$I_0 = \omega C U_0$$ (4.358)

Analog wie bei der Spule gilt die Gleichung $I_{eff} = U_{eff}/X_C$ mit der gleichen Begründung auch für Kondensatoren. Die momentan dissipierte Leistung ist

$$P(t) = \omega C U_0^2 \cos(\omega t)\sin(\omega t)$$ (4.359)

Sie ist, analog wie bei der Spule, positiv oder negativ. Deshalb ist die mittlere dissipierte Leistung

$$\left<P(t)\right>_t = \omega C U_0^2 \left<\cos(\omega t)\sin(\omega t)\right>_t = 0$$ (4.360)

Versuch zur Vorlesung: Elektrischer Schwingkreis (Versuchskarte Em056)

Schwingkreis

Der Kondensator soll zur Zeit $t=0$ auf die Spannung $U_{C,0}$aufgeladen sein. Zur Zeit $t=0$ wird der Schalter geschlossen. Die Differentialgleichung dieser Schaltung lautet:

$$L\frac{dI}{dt} + \frac{Q}{C}=0$$ (4.361)

Wir differenzieren einmal und bekommen

$$\frac{d^2I}{dt^2}+\frac{1}{LC}I = 0$$ (4.362)

Dies ist die aus der Mechanik bekannte Schwingungsdifferentialgleichung. Durch Analogieschluss sieht man, dass die Resonanzfrequenz

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}}$$ (4.363)

ist.

Schwingkreis mit Widerstand

Der gedämpfte Schwingkreis enthält neben dem Kondensator und der Spule auch einen Widerstand. Die Differentialgleichung des gedämpften Schwingkreises ist

$$L\frac{dI}{dt} + R\cdot I +\frac{Q}{C}=0$$ (4.364)

Wir differenzieren einmal und bekommen

$$\frac{d^2I}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dI}{dt}+\frac{1}{LC}I = 0$$ (4.365)

Analog zur Mechanik ist die $\frac{R}{L}$ der Dämpfungsterm. Das in der Mechanik berechnete Verhalten eines schwingungsfähigen Systems gilt auch für den elektrischen Schwingkreis.

Wenn der elektrische Schwingkreis von einer Wechselspannungsquelle getrieben wird, ergeben sich die gleichen Phänomene wie bei einem getriebenen Pendel, also auch eine Resonanz.

Anwendungen

• Schwingkreise zur Signalfilterung in Radioempfängern
• Verhalten von langen Leitungen
• Verhalten elektrischer Maschinen