Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten.
Zwei Wellen heissen kohärent, wenn sie, bis auf
eine Phase die gleiche Zeitabhängigkeit haben. |
Versuch zur Vorlesung: | |
Kohärenz (Versuchskarte O-051) | |
Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.
Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite Δω, dann ist die Kohärenzzeit τ ≈ ω-1 und L ≈ cτ ≈.
Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite b), dann gibt es nur im Winkelbereich σ < eine kohärente Überlagerung.
Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden E1 und E2 kohärent oder nicht sind.
Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied ϕ und den Amplituden E1 und E2 ist die resultierende Amplitude
Wenn wir eine nach links laufende Welle y1(x,t) = E sin(kx+ωt) und eine nach rechts laufende Welle y2 = E sin(kx - ωt + δ) zur Interferenz kommen lassen, erhalten wir
Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme
Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehende Welle.
Stehende Wellen als Resultat
zweier gegenläufiger Wellen gibt es in jedem
Resonator, insbesondere in Laserresonatoren. |
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Aufbau des Mach-Zehnder-Interferometers.
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Abbildung 5.1.2 zeigt den schematischen Aufbau eines Mach-Zehnder-Interferometers. Licht aus der Quelle trifft auf den halbdurchlässigen Spiegel S1 und spaltet sich in die zwei Wege s1 und s2 auf. Der Weg ´s1 läuft vom Spiegel S1 über S3 nach S4, der Weg s2 vom Spiegel S1 über S2 nach S4. Am Spiegel S4 werden die Lichtwellen vereinigt und gelangen interferierend auf den Detektor.
Die relative Phase des Lichtes für die beiden Wege s1 und s2 kann aus dem Brechungsindexverlauf entlang der Wege berechnet werden. Die Geschwindigkeit ist durch c(s) = c0∕n(s) gegeben. Dann ist
| (5.3) |
Die Phasendifferenz von Licht mit der Vakuumwellenlänge λ0 und damit der Frequenz ω = 2πν = 2πc0∕λ0 ist
(5.4) |
Das heisst, dass das Ausgangssignal des Mach-Zehnder-Interferometers nicht nur von der geometrischen Weglängendifferenz, sondern auch von Unterschieden der Brechungsindizes abhängt. Das Licht läuft in beiden Armen mit einer definierten Richtung. Das heisst, dass der Ausgang des Mach-Zehnder-Interferometers abhängig zum Beispiel von der Fliessrichtung eines Mediums mit dem Brechungsindex n ist. Mach-Zehnder-Interferometer werden kaum zur Distanzmessung aber oftmals zur Messung von Brechungsindexdifferenzen verwendet.
Versuch zur Vorlesung: | |
Michelson-Interferometer (Versuchskarte O-031) | |
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Aufbau des Michelson-Interferometers.
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Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei ℓ1, der zum beweglichen ℓ2. Analog zum Mach-Zehnder-Interferometer (siehe Abschnitt 5.1.2) kann die Phase wie folgt geschrieben werden:
(5.5) |
Die Phase hängt also sowohl vom Weglängenunterschied wie auch von Unterschieden im Brechungsindex ab. Anders als beim Mach-Zehnder-Interferometer wird jeder Weg zweimal und zwar gegenläufig durchlaufen. Bewegungseffekte mitteln sich so in erster Näherung heraus.
Der gesamte Weglängenunterschied ist bei konstantem ni(s) = n0 durch Δℓ = 2(ℓ2 - ℓ1) gegeben. Immer wenn Δℓ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um λ∕4 verschoben, ändert sich Δℓ um λ∕2, dann haben wir destruktive Interferenz.
Wenn wir das Interferometer mit einer Intensität von I0 betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von ΔI noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt berechnen:
| (5.6) |
oder umgeschrieben
| (5.7) |
Die Ableitung dieser Gleichung ist
| (5.8) |
Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit ist
| (5.9) |
Wir können also die Distanz
| (5.10) |
Wenn zum Beispiel λ = 500 nm ist und ΔI∕I0 = 0.01 ist, ist Δx = 2.75 nm.
Das Michelson-Interferometer wird häufig zur Messung von Distanzen verwendet.
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Sagnac-Interferometer. Rechts nach einer Laufzeit.
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Beim Sagnac Interferometer läuft das Licht links- und rechts herum und interferiert dann. Die Lichtwege sind identisch, das Verschieben eines Spiegels erzeugt kein Signal. Wenn man das Sagnac-Interferometer jedoch mit der Kreisfrequenz Ω dreht, dann sind die Umlaufzeiten mit und gegen die Drehrichtung unterschiedlich. Die Behauptung ist, dass der Laufzeitunterschied zwischen der links- und der rechtsläufigen Welle
| (5.11) |
ist. Dabei ist Ω die Winkelfrequenz, mit der das Interferometer rotiert, A die vom Licht eingeschlossene Fläche (in Abbildung 5.1.4 die Fläche des Dreieckes) und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Sagnac-Interferometer werden heute als Gyroskope verwendet. Sie messen zum Beispiel die Drehraten von Flugzeugen und werden so zur magnetfeldunabhängigen Navigation herangezogen.
Wir betrachten ein Interferometer aus n Seiten. Die Fläche des n-Ecks is n-,mal die Fläche eines einzelnen Dreiecks, und dessen Fläche AD = ah∕2. Beim n-Eck ist die Höhe h = R cos und die Grundlinie a = 2R sin . Damit ist
| (5.12) |
Wir brauchen nun die Strecke PA(t0)PB(t0 + Δt). Diese ist die Grundlinie in einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Spitzenwinkel
| (5.13) |
Mit ± können beide Fälle gleichzeitig behandelt werden. Wir brauchen noch den Winkel an der Grundlinie (zweimal der gleiche Winkel β±
| (5.14) |
Mit dem Sinussatz für beliebige Dreiecke bekommen wir die Länge der Grundlinie
= | |||
= | (5.15) | ||
ℓ± | = R | ||
= R + O(Δt±2) | (5.16) |
Die Zeit Δt± ist sowohl die Laufzeit von PA(t0) nach PB(t0 + Δt±) wie auch die Zeit, in der sich das Interferometer dreht. Wir haben also die Gleichungen
| (5.17) |
welche gelten wenn « gilt. Die Lösungen sind
| (5.18) |
Damit ist der Laufzeitunterschied (und daraus kann die Phase berechnet werden)
| (5.19) |
Auch dieser Ausdruck kann entwickelt werden wenn « ist. Wir erhalten die linearisierte Gleichung,
| (5.20) |
und, wennn wir die Fläche A(n) des n-Ecks einsetzen
| (5.21) |
Diese Gleichung müsste eigentlich mit der allgemeinen Relativitätstheorie hergeleitet werden. Für langsame Drehungen ist das Resultat jedoch korrekt. Bei einem kreisförmigen Sagnac-Interferometer (z.B. mit whispering gallery modes) ist
genau so gross. Mit c = Δs∕Δt folgt
| (5.22) |
Beispiel: Mit Ω = 2π s-1, A(n) = 0.01 m2 und λ = 632 nm (HeNe-Laser) erhält man N = 0.00132648 Dies ist eine kleine Zahl, kann aber mit Modulationstechniken problemlos gemessen werden.
Versuch zur Vorlesung: | |
Interferenz an dünnen Schichten als Beispiel für das Fabry-Perot-Interferometer (Versuchskarte O-085) | |
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Stokessche Behandlung von Reflexion und Brechung (nach Hecht [Hec05])
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Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude E01, die vom oberen Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor r reflektiert wird, sowie mit dem Faktor t gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle ist dann tE0i, die der reflektierten Welle rE0i. Das Fermatsche Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die einfallende Welle mit der Amplitude rE0i und diejenige mit tE0i eine reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor r′ und der Transmissionsfaktor t′. Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der in (b), wenn gilt
Damit erhält man eine Verknüpfung der Reflexions- und Brechungskoeffizienten für den Übergang vom Medium 1 in das Medium 2 und umgekehrt. Dabei sind α und β die jeweiligen Einfallswinkel, die durch das Snelliussche Gesetz verknüpft sind.
Diese beiden Gleichungen heissen die Stokeschen Relationen. Die zweite Gleichung zeigt, dass wenn r für die Reflexion am dichteren Medium steht, bei der es nach den Fresnelschen Formeln einen Phasensprung von π gibt, dass dann bei der Reflexion am optisch dünneren Medium kein Phasensprung auftritt.
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Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht [Hec05])
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Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer Glasplatte mit dem Brechungsindex nG mit planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten n = 1. Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (5.24) verwendet wurde. Die reflektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt P, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt P′.
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Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Pérez [Pér96, p. 392])
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Für das transmittierte Licht ist der Weglängenunterschied durch den Unterschied der optischen Wege UV und UXW, Λ = UXW -UV der relevante Unterschied. Die Strecke UXW ist im Medium mit dem Brechungsindex nG, im Glas. Der optische Weg ist dann
|
Weiter ist die Strecke UV durch UW sin α gegeben. Weiter ist aber auch UW = 2d tan β, eine rein geometrische Überlegung, die keine optischen Wege beinhaltet. Zusammen bekommen wir
|
Damit ist Λ für ein Etalon der Dicke d
Λ | = UXW -UV | ||
= 2nG - 2d tan β sin α = | |||
mit sin β = sin α∕nG (Brechungsgesetz) | |||
= | |||
Λ | = 2nGd cos β | (5.25) |
Der Gangunterschied für die Reflexion Δ kann aus dem Gangunterschied für die Transmission abgeleitet werden, wobei ein Phasensprung von π berücksichtigt werden muss. Wir haben mit ZUX = UXW und ZY = UV
| (5.26) |
Bei den Strahlen, die in P interferieren, ist die Anzahl der inneren Reflexionen ungerade. Für den Spezialfall des senkrechten Einfalls, oder bei senkrechter Polarisation, ergeben die Reflexionen keine Phasenänderung. Wenn Λ = mλ ist, haben in P alle Wellen die gleiche Phase, ausser der ersten, deren Phase wegen r′ = -r um π ändert. Also ist die reflektierte Amplitude
| (5.27) |
Da Λ = mλ und damit die innere Phasenverschiebung 0 ist, ersetzen wir r′ mit -r und erhalten
| (5.28) |
Diese geometrische Reihe konvergiert bei r2 < 1 gegen 1∕(1 - r2), so dass wir
| (5.29) |
Nach den Stokeschen Relationen ist tt′ = 1 - r2 und damit die reflektierte Amplitude
| (5.30) |
Also wird im Falle Λ = mλ = 2nGd cos β oder d cos β = alles Licht transmittiert.
Der zweite Spezialfall ist Λ = λ). Dann sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass r′ = -r und dass die innere Phase π ist, die Phasenverschiebung π, ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für die skalare Amplitude
| (5.31) |
oder
| (5.32) |
Die Reihe in der Klammer konvergiert gegen 1∕(1 + r2). Wir erhalten also
| (5.33) |
Mit t′t = 1 - r2 erhalten wir
| (5.34) |
Damit wird die reflektierte Intensität maximal, nämlich
| (5.35) |
Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle Ẽ0(t) = E0eiωt angeregten reflektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung δ = k0Λ sind
Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen
| (5.37) |
Eingesetzt ergibt sich
| (5.38) |
Zusammengefasst ergibt sich
Für < 1 konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten
| (5.40) |
Mit den Stokeschen Relationen r′ = -r und t′t = 1 - r2 bekommt man
| (5.41) |
Die reflektierte optische Intensität ist Ir = ẼrẼr*∕2 und somit
| (5.42) |
Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität
| (5.43) |
da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt. Mit cos δ = 1 - 2 sin 2(δ∕2) werden Ii und Ir
Wir haben dabei angenommen, dass keine Energie absorbiert wird1 . Dann ist Ii = It + Ir. Ein Maximum in der Transmission erhält man, wenn der Nenner möglichst klein, das heisst, dass cos δ = 1 ist. Dann ist
| (5.45) |
und
| (5.46) |
Umgekehrt ist die Transmission minimal, wenn der Nenner bei It maximal ist, also wenn cos δ = -1 ist
| (5.47) |
und
| (5.48) |
Es hat sich eingebürgert, dass Fabry-Perot-Interferometer mit der Kennzahl Finessefaktor charakterisiert werden:
| (5.49) |
Dann gilt für die Intensitätsverhältnisse
wobei die Funktion -1 = A(δ) auch Airy-Funktion genannt wird2 .
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Transmission durch ein Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von oben nach unten sind die Transmissionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.
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Reflexion an einem Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von unten nach oben sind die Reflexionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.
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Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch
| (5.51) |
gegeben. Daraus folgt
| (5.52) |
Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist
| (5.53) |
Die einfachsten Fabry-Perot-Spektrometer haben ein F ≈ 30. Werte von F ≈ 1000 sind an der Grenze des technisch machbaren. Wenn bei dem Fabry-Perot-Spektrometer Absorption vorhanden ist, müssen kompliziertere Gleichungen, die Sie zum Beispiel in Hecht [Hec05, 617] finden, verwendet werden.