4.3  Leitungen

Ebene Wellen (Siehe im Anhang Abschnitt A.4) können zwischen zwei Metallplatten problemlos geführt werden. Abb. 4.138 zeigt, dass, wenn das elektrische Feld senkrecht zu den Platten steht, dies mit den Randbedingungen vereinbar ist. Der Abstand der Platten kann so klein man will gewählt werden, Leitung hat man immer noch. Die in der Abbildung gezeigte Welle heisst TEM-Plattenwelle.

TEM Wellentyp	(symmetrische) Paralleldrahtleitung (Lecherleitung)	Koaxialleitung	Streifenleitung
Leiter-Grundform
elektrische und magnetische Feldlinien
Leitungs-Wellenwiderstand	Z = · ln [Ω] für a > 2.5·d	Z = · ln [Ω]	Z = · [Ω] für w ≥h
Variationen in den Ausführungsformen	Anwendung als Antennenleitung bei hohen Frequenzen (Z = 240Ω,Z = 300Ω)	Der Aussenleiter wird meist als Drahtgeflecht ausgeführt. (Z = 50Ω,Z = 60Ω,Z = 75Ω,Z = 200Ω)

Tabelle 4.7.:

Homogene Leitungen, deren Abmessungen klein gegen die Wellenlänge sind

Tabelle 4.7 zeigt eine Zusammenstellung verschiedener Wellenleiter, bei denen die Dimensionen klein gegen die Wellenlänge sind.

4.3.1  Leitungsgleichungen

Nach Abb. 4.139 kann man Zweidrahtleitungen, Koaxialleitungen und Streifenleitungen mit folgendem phänomenologischen Ansatz[Wei95] behandeln: Die Änderung der Spannung u(x,t) und des Stromes i(x,t) längs der Leiterstrecke dx geschieht wegen

• des Längswiderstandes R = R′·dx, wobei R′ der Widerstandsbelag ist
• der Längsinduktivität L = L′·dx, wobei L′ der Induktivitätsbelag ist
• des Querleitwertes G = G′·dx, wobei G′ der Leitwertbelag ist
• des Querkapazität C = C′·dx, wobei C′ der Kapazitätsbelag ist

Dies ist das in Abb. 4.139, rechts, angegebene Ersatzschaltbild. Für die Strom-und Spannungsänderung erhalten wir

Die Leitungsgleichungen in differentieller Form lauten also

Wenn Gleichung (4.1) nach x und Gleichung (4.2) nach t abgeleitet werden, können die Gleichungen kombiniert werden zur Leitungs-Wellengleichung¹⁰ oder Telegraphengleichung.

(4.3)

oder für den Strom

4.3.1.1. Fortschreitende, gedämpfte Wellen

Lösungen der Leitungs-Wellengleichung bekommt man mit dem Ansatz u(x,t) = u(ω)·e^−γx·e^iωt + c.c. sowie i(x,t) = i(ω)·e^−γx·e^jωt + c.c.

Damit wird die Fortpflanzungskonstante

(4.4)

Setzt man den Ansatz in Gleichungen (4.1) und (4.2) ein, so sind die komplexen Amplituden

Der Quotient aus komplexer Spannungsamplitude und Stromamplitude ist der Leitungs-Wellenwiderstand

(4.5)

Bei einer verlustlosen Leitung (R′ = 0, G′ = 0) ist γ = α + jβ = jω, also rein imaginär. Die Dämpfung ist null (α = 0) und β ≡ ω∕c_ph = ω. Damit ist der Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung

(4.6)

und die Phasengeschwindigkeit der Leitungswelle

(4.7)

4.3.1.2. Wellenfeld auf einem endlichen Leitungsstück mit reflektierter Welle

Als allgemeine Lösung setzen wir eine hin- und eine herlaufende Welle an.

Man erhält diese Gleichungen, indem Gleichung (4.5) benutzt wird. Eine nach links laufende Welle kehrt dabei die Stromrichtung um.

Unter Verwendung der Koordinaten in Abb. 4.140 bekommt man für x₂

Wir können diese Gleichungen nach u_r und u_l auflösen und erhalten

Eingesetzt in unseren Ansatz ergibt sich

Diese Gleichung kann auch in Matrixschreibweise angegeben werden

(4.12)

Damit stehen die Leitungsgleichungen in Vierpol-Kettenform da (siehe auch Abb. 4.140, rechts).

4.3.1.3. Anwendung der Leitungsgleichungen

Mit den Leitungsgleichungen können

• durch ein Leitungsstück gegebener Länge ℓ Strom in Spannung oder Spannung in Strom transformiert werden.
• eine Abschlussimpedanz z_L(ω) in eine Eingangsimpedanz z₁(ω) transformiert werden.

Im zweiten Fall wendet man die Gleichung (4.12) an und erhält für die Anordnung nach Abb. 4.141

(4.13)

Für ein verlustloses Leitungsstück gilt die Gleichung (4.6), z(ω) ≡Z und die dazu führenden Überlegungen so dass die Gleichungen (4.10) und (4.11)

wird. Analog ergibt sich für die Widerstandstransformation nach Gleichung (4.13)

(4.16)

4.3.1.4. Kurzgeschlossene Leitung

Bei einer kurzgeschlossenen, verlustlosen Leitung (dann ist z_L(ω) = 0) ist die Eingangsimpedanz mit Gleichung (4.16) durch

(4.17)

gegeben. Die Schaltung und der Eingangswiderstand sind in Abb. 4.142 angegeben. Die Eingangsimpedanz wird zweckmässigerweise als Funktion von ℓ∕λ angegeben. Man findet folgendes Verhalten:

Dann wiederholt sich dieses Verhalten.

In Abb. 4.143 links ist gezeigt, dass man mit einer einzelnen Stichleitung eine konzentrierte Impedanz z₁^K erzeugen kann. Auf der rechten Seite in dieser Abbildung sieht man, dass eine ℓ = λ∕4-Leitung als verlustfreie Stütze für eine Lecherleitung dienen kann.

Wenn eine Leitung der Impedanz Z an einen Verbraucher der Impedanz z_L angeschlossen werden muss, dann kann man diese Anpassung erreichen, indem man wie in Abb. 4.144 eine Leitung variabler Länge und eine Stichleitung mit verschiebbarem Kurzschluss verwendet. Eine vollständige Anpassung an den komplexen Verbraucher z_L ist mit drei Stichleitungen im Abstand λ∕4 möglich. Dabei muss, anders als in Abb. 4.144 der Abstand zum Verbraucher nicht geändert werden. Die Berechnung erfolgt, indem man die obigen Formeln abschnittsweise anwendet. Alternativ kann man mit einem Smith-Diagram die Aufgabe graphisch lösen.

4.3.1.5. Offene Leitung

Bei einer offenen, verlustlosen Leitung (dann ist z_L(ω) = ∞) ist die Eingangsimpedanz mit Gleichung (4.16) durch

(4.18)

gegeben. Die Schaltung und der Eingangswiderstand sind in Abb. 4.145 angegeben. Die Eingangsimpedanz wird zweckmässigerweise als Funktion von ℓ∕λ angegeben. man findet folgendes Verhalten:

Dann wiederholt sich dieses Verhalten.

Wie Abb. 4.146 zeigt, kann man eine vollständige Anpassung einer Leitung mit der Impedanz Z_a an eine Leitung der Impedanz Z_b erreichen, wenn man, nach Gleichung (4.16) ein Zwischenstück der Länge λ∕4 mit dem Wellenwiderstand

(4.19)

einfügt. Ein analoges Beispiel ist die Vergütung von Linsen. Zur Entspiegelung bringt man, wie in Abb. 4.146, Mitte, gezeigt eine Schicht der Dicke λ∕4 mit dem Brechungsindex n = = . Dies ist äquivalent zur Gleichung (4.18), da für ebene elektromagnetische Wellen gilt:

(4.20)

Weiter kann man aus den obigen Gleichungen ableiten, dass bei hohen Frequenzen 50 Ω-Messkabel stets mit der Nennimpedanz abgeschlossen werden müssen. Wenn zum Beispiel ein 1-Meter-Kabel mit der Dielektrizitätszahl 𝜀 = 1 mit einem hochomigen Anschluss (z.B. ein Oszilloskop) verbunden wird, dann liegt am Eingang der Leitung bei etwa 53 MHz ein Kurzschluss vor.

Aus den Maxwellgleichungen (siehe Anhang A.1) sowie den Materialgleichungen für isotrope Materialien

erhält man die skalaren Gleichungen

Unter der Annahme, dass sich die Wellen in die x-Richtung ausbreiten (Siehe Abb. 4.147), dass eine TEM-Welle und dass eine homogene Leitung vorliegt (d.h. = e^−γx+jωt + c.c. sowie = e^−γx+jωt + c.c. mit γ = α + jβ der Fortpflanzungskonstanten, wobei α die Dämpfungskonstante und β der Wellenvektor ist) reduzieren sich die Gleichungen auf

Die Fortpflanzungskonstante γ erhalten wir durch die Kombination der Gleichungen (4.30), (4.31), (4.33) und (4.34).

(4.37)

oder

(4.38)

wobei c₀ die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist.

Weiter wird

Also ist das Amplitudenverhältnis an einem beliebigen Ort.

(4.41)

mit Z₀ = = 120π ≈ 377Ω der Wellenwiderstand des Vakuums. Also ist in einer TEM-Welle das Amplitudenverhältnis zwischen elektrischem und magnetischem Feld überall gleich dem einer ebenen Welle!

Das -Feld ist rotationsfrei in der yz-Ebene, da die x-Komponente

und da auch H_x = 0 ist.

Damit kann man das -Feld mit einem elektrostatischen Potential φ darstellen, also

(4.42)

Abbildung 4.148.:

Relative Lage von -Feld und -Feld.

Zusammen mit div = · = 0 bekommt man die Potentialgleichung

(4.43)

Also ist das -Feld bei TEM-Wellen einem statischen -Feld, beschrieben durch die Elektrostatik und die Potentialtheorie, äquivalent (Siehe auch Abb. 4.148) .

Das -Feld steht überall senkrecht zum -Feld, da

(4.44)

Jeder der beiden Koeffizienten kann mit tan α dargestellt werden. Da die -Feldlinien stets senkrecht zu den -Feldlinien stehen, verlaufen sie entlang der Potentiallinien des elektrostatischen Potentials.

Wir gehen nun zu integralen Grössen über (Die Integrationswege sind in 4.149 gezeigt). Es liegt, da aus E_x = 0 auch Ḋ_x = 0 folgt, ein reiner Leitungsstrom vor.

An der Stelle x ist er

(4.45)

Für die Spannung folgt

(4.46)

Das Vierpol-Ersatzschaltbild eines verlustfreien Leiterstückes wird durch einen Kapazitätsbelag C′ und einen Induktivitätsbelag L′ charakterisiert. Der Wellenwiderstand ist dann

(4.47)

und die Phasengeschwindigkeit

(4.48)

Zur Berechnung des Kapazitätsbelages (siehe Abb. 4.150, links) ermitteln wir auf einem Leiterstück der Länge dx die Ladung Q = Q′dx. Aus den Maxwellschen Gleichungen in Integralform

Das erste Integral ergibt (siehe Abb. 4.150, links)

Das Oberflächenintegral über A kann in drei Teile aufgeteilt werden. Die zwei Zylinderendflächen tragen nichts zum Integral bei, da dort tangential zur Oberfläche ist. Allein die Zylindermantelfläche trägt zum Integral bei. Das in Abb. 4.150, links, eingezeichnete Flächenelement hat die Seiten _xdx und d, wobei d das Linienelement entlang des Zylinderumfangs ist. Die Richtung von d folgt mit der rechten-Hand-Regel aus der Richtung von _x. Der Normalenvektor auf das Flächenelement steht senkrecht auf d und _x. Also ist der Normalenvektor

Die Fläche ist da = dsdx. Also erhalten wir

Mit C′·dx = Q′·dx∕u wird die Kapazität

(4.50)

da = ist. Weiter haben wir die Vektoridentität

verwendet. Wir setzen ≡ , ≡ _x und ≡ d und erhalten

da _x ⊥d ist.

Um den Induktivitätsbelag zu ermitteln (siehe Abb. 4.150, rechts), berechnet man den Fluss ϕ zwischen der Stelle x und x + dx

(4.51)

wobei über eine fiktive Fläche A zwischen den beiden Leitern integriert wurde. Das Flächenelement hat die Grösse da = dxdr. Der Normalenvektor wird durch

gegeben. Also ist

Da die Induktivität L längs der Strecke dx gegeben ist durch L = L′·dx = ϕ ·dx∕i(x,ω) folgt für den Induktivitätsbelag

(4.53)

weil = ist.

Für den Leitungswellenwiderstand erhalten wir

Weiter ist die Phasengeschwindigkeit

(4.55)

4.3.2  Elektrische Leitungen bei hohen Frequenzen

Die Leitung von elektromagnetischen Wellen bei hohen Frequenzen ist mit gewöhnlichen Kabeln nicht mehr möglich. Üblich für die niedrigeren Frequenzen sind Hohlleiter und für die ganz hohen Frequenzen Streifenleiter.

Einige Bauformen sind in der Abb. 4.151 dargestellt. Prinzipiell sind alle Bauformen möglich. In der Praxis werden jedoch nur

• Rechteck-Hohlleiter mit einem Seitenverhältnis von 2:1 und
• Rundhohlleiter verwendet.

Die letzteren werden aber nur für sehr spezielle Leitungsprobleme verwendet, unter anderem da durch ihre hohe Symmetrie keine Polarisationserhaltung garantiert ist.

Aus den Maxwell-Gleichungen und den üblichen Randbedingungen lassen sich leicht die möglichen Wellenleitermoden bestimmen. Da die -Felder an den Wänden eine Knotenlinie haben müssen, muss transversal mindestens eine halbe Wellenlänge in den Hohlleiter passen. Deshalb gibt es eine untere Grenzfrequenz, unter der eine Wellenführung nicht möglich ist¹¹ . Die unterste Mode (die mit der längsten Wellenlänge) in einem rechteckförmigen Wellenleiter wird die TE₁₀-Mode oder auch die H₁₀-Mode genannt. Die erste Bezeichnung stammt daher, dass das -Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht, also transversal ist. Die zweite Bezeichnung besagt, dass das -Feld eine longitudinale Komponente hat, eine Komponente die nur in einer geführten Welle existieren kann. Bei beiden gibt der erste Index die Zahl der halben Sinusbögen über der längeren Seite an, der zweite die Zahl der halben Sinusbögen über der kürzeren Seite. Abb. 4.152 zeigt die dazugehörigen Feldlinienbilder.

Durch die Wechselwirkung mit den Wänden ist die Wellenausbreitung in einem Wellenleiter dispersiv. Abb. 4.153 zeigt die Phasengeschwindigkeit als Funktion der Wellenlänge. Unterhalb der unteren Grenzfrequenz ω_gr, bei der λ₀∕2 = a ist, gibt es keine Wellenausbreitung. Die Amplitude wird exponentiell gedämpft. Oberhalb der der Grenzfrequenz wird die Wellenausbreitung durch die Wandströme und deren resistive Verluste gedämpft. Die Verluste sind für die Grundmode TE₁₀ minimal. Die beste Transmission erreicht man mit supraleitenden Wellenleitern. Ab 2ω_gr wird die TE₂₀-Mode auch geführt. Typischerweise verwendet man bei Wellenleitern nicht den ganzen möglichen Bereich, in dem nur die Grundmode geführt wird, sondern nur 1.25·ω_gr…1.9·ω_gr. Die untere Grenzfrequenz rührt von den divergierenden Verlusten für ω → ω_gr⁺ her, die obere von der Tatsache, dass auch unterhalb von 2ω_gr die TE₂₀-Mode eine merkbare Amplitude bekommt. Weiter ist in diesem Bereich die Änderung der Phasengeschwindigkeit minimal, die Dispersion also gering¹² .

Für die Wellenlänge λ_L im Hohlleiter gilt die Formel

(4.56)

wobei λ_gr die zur Grenzfrequenz ω_gr gehörige Wellenlänge ist.

Elektromagnetische Wellen werden einerseits durch die in den Hohlleitern vorhandene Luft, andererseits aber auch durch die Absorption in den Metallwänden der Hohlleiter oder in den Metallstreifen der Streifenleiter gegeben. Abb. 4.154 zeigt das Absorptionsspektrum in Luft. Bei tiefen Frequenzen ist es vor allem die Absorption durch Wasser und durch Sauerstoff (mit magnetischem Dipolmoment!), die dominiert. Im Infrarotbereich kommt die Absorption durch CO₂ hinzu. Zwischen 14 und 8 μm ist ein Absorptionsfenster, wie auch zwischen 1100 und 300 nm.

Die Absorption steigt in Metall-Hohlleitern stark mit der Frequenz an. Zwei Gründe gibt es:

• Die effektive Leiterdicke nimmt wegen des Skineffektes mit 1∕ ab. Dadurch wird die Wellenleitereigenschaft des Metalls schlechter (Siehe Abb. 4.155).
• Um auch bei höheren Frequenzen als einzige geführte Mode nur die Grundmode zu haben, muss die lineare Dimension des Wellenleiters proportional zur Wellenlänge sein. Da dadurch die zur Führung beitragende Oberfläche des Wellenleiters proportional zu 1∕ω ist, nimmt die Dämpfung entsprechend zu.

Insgesamt ergibt sich eine zu ω^3∕2 proportionale Dämpfung¹³ .

Abb. 4.156 zeigt die Dämpfungseigenschaften für Wellenleiter. Das für viele physikalische Experimente wichtigste Frequenzband ist das X-Band zwischen 8.2 und 12.4GHz.

Für höhere Frequenzen verwendet man oft Streifenleiter. Sie können mit photolithographischen Verfahren hergestellt werden, sind also in kleinen Abmessungen wesentlich präziser herzustellen als die Hohlwellenleiter. Die Dämpfung ist im Allgemeinen höher bei Streifenleitern als bei Hohlleitern. Andererseits hat dies, zum Beispiel bei der Mobilkommunikation, wegen den geringen Grössen der Geräte, kaum einen Einfluss. Zusammen mit SMD-Bauteilen (Surface Mounted Device) lassen sich sehr effizient Mikrowellenschaltungen industriell herstellen. Der Streifenleiter in der Abb. 4.157 hat die folgenden Eigenschaften:

• Es gibt zwei benachbarte Leiteroberflächen, die unterschiedliche Ladungen tragen, also den Anfang und das Ende von -Feldlinien darstellen.
• Es gibt Grenzflächen zwischen verschiedenen Dielektrika, die von Feldlinien durchsetzt sind.

Im Gegensatz zu Hohlleitern gibt es bei Streifenleitern sowohl beim -Feld als auch beim -Feld longitudinale Komponenten. Dies rührt daher, dass an Grenzflächen neben der Normalkomponente von auch die Tangentialkomponente von stetig sein muss. Man spricht deshalb von Quasi-TEM-Moden oder von Hybrid-Moden.

4.3.3  Optische Leitungen

Bei dielektrischen Wellenleitern, zu denen auch optische Fasern gehören, werden Wellen im Medium mit dem grössten Brechungsindex geführt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von der Brechzahl ab, also c_n = c₀∕n. Beim Übergang vom optisch dichteren Medium mit n₁ nach dem optisch dünneren Medium mit n₂ < n₁ kann bei flachem Einfall Totalreflexion auftreten. Das Snellius’sche Brechungsgesetz (siehe auch Abb. 4.158) lautet

für den gebrochenen sowie den reflektierten Strahl. Nach diesem Prinzip wird Licht in Multimoden-Wellenleitern geführt. Die unterschiedlichen Brechungsindizes werden mit Dotierstoffen erreicht. So vergrössert, zum Beispiel, eine Dotierung mit Ge den Brechungsindex. Eine Dotierung mit F verringert ihn.

4.3.3.1. Verlustmechanismen in Wellenleitern

Optische Wellenleiter werden in der Kommunikationstechnik vor allem wegen ihren geringen Verlusten¹⁴ (für eine Übersicht über den Dämpfungsverlauf siehe Abb. 4.159) und ihrer geringen Anfälligkeit auf externe Störungen. An der Universität Ulm hat ein Wellenleiter, der mitten durch einen Brand führte, während dem Brand anstandslos Daten übertragen!

Die Dämpfung bewirkt einen exponetiellen Abfall der übertragenen Leistung. Üblicherweise wird die Dämpfung α in dB (deziBel) angegeben. Der Leistungsabfall ist also

(4.60)

wobei P₀ die Leistung am Eingang der Faser ist und α der Dämpfungsfaktor in dB. Die Dämpfung setzt sich aus drei Komponenten zusammen:

• der Streuung
• der Absorption
• der Biegedämpfung

zusammen. Die Biegedämpfung rührt von der Krümmung der Glasfaser her und ist, zumindestens für Licht das über Totalreflexion geleitet wird, einfach zu verstehen. Wird das Kabel in einer zu engen Schleife gelegt, so ist die Bedingung der Totalreflexion nicht mehr erfüllt und die Verluste steigen. Zusätzlich zu dieser Makrodämpfung kommt die Mikrodämpfung, deren Ursache Spannungen in der Faser und Schwankungen in der Materialzusammensetzung, zum Beispiel durch eine nicht konstante Dichte der Dotierstoffe, sind.

Die Absorption hängt von der Reinheit des Materials ab. Insbesondere störend ist die OH⁻-Bande bei 1380 nm und bei 1240 nm sowie die Infrarotabsorption über 1600 nm.

Der hauptsächliche Dämpfungsmechanismus ist jedoch die Rayleigh-Streuung, die bis zu 95% der gesamten Dämpfung ausmacht. Sie rührt daher, dass im Glas mikroskopische Dichteschwankungen existieren, die sich aus Gründen der Thermodynamik auch nicht komplett eliminieren lassen, sowie wegen der notwendigen Dotierstoffe.

Abb. 4.160 zeigt Dämpfungsspektren von Gradientenfasern und von Einmodenfasern. Die Einmodenfaser (auch Monomode-Faser genannt) hat eine geringere Dämpfung, da ihr Kern weniger dotiert werden muss. Der starke anstieg der Dämpfung unter 1250 nm Wellenlänge rührt daher, dass die Faser für kurze Wellenlängen nicht mehr einmodig ist, dass also die Führungseigenschaften nicht mehr so perfekt sind. Infrarotabsorption, Rayleigh-Streuung und Wasserabsorption (OH⁻-Absorption) sind bei beiden Typen zu erkennen.

4.3.3.2. Typen von optischen Wellenleitern

Es sind drei Typen von optischen Wellenleitern üblich (siehe auch Abb. 4.161)

• Stufenindexfasern
• Gradientenindexfasern
• Einmodenfasern

Bei allen dreien kann das Indexprofil mit

(4.61)

angegeben werden. Dabei ist a der Kernradius, r der Abstand vom Fasermittelpunkt und n₁ der Brechungsindex im Kern. Δ ist die relative Brechzahldifferenz zwischen Kern und Mantel. Ausserhalb des Kerns, also für r > a hat man

(4.62)

Diese allgemeine Funktion, die auch über den ganzen Faserquerschnitt gilt, ist für eine Stufenindexfaser

(4.63)

Stufenindexfaser

In der Stufenindexfaser werden alle Lichtstrahlen, für die sin α₁ ≥N₂∕n₁ gilt total reflektiert, das heisst geführt[Pér96a]. Diese aus Abb. 4.162 ablesbare Bedingung kann auch als

(4.64)

geschrieben werden. Strahlt man aus der Umgebung mit dem Brechungsindex n₀ Licht unter dem Winkel Θ₀ ein, so gilt an der Eintrittsfacette n₀ sin Θ₀ = n₁ cos α₁. Daraus folgt n₀ sin Θ₀ ≤ und somit

(4.65)

Damit werden alle Lichtstrahlen, für die die obige Bedingung gilt, geführt. Diese Bedingung ist aber auch äquivalent zur Definition der Numerischen Apertur eines Objektivs. Also sagt man, dass

(4.66)

sei die numerische Apertur der Faser. Der maximale Wert von Θ₀ heisst der Akzeptanzwinkel und ist

(4.67)

Für einen Brechungsindex des Kerns n₁ = 1.57 und einen Brechungsindex des Mantels n₂ = 1.51 in Luft (n₀ = 1) ergibt sich N.A. = 0.43 und damit der Akzeptanzwinkel Θ₀ = 25.5⁰.

Wenn es darum geht, Licht aus einem räumlich eng begrenzten Gebiet mit einer relativ hohen numerischen Apertur zu sammeln, ohne dass eine Abbildung gewünscht wird, kann man vielfach anstelle von Linsen Fasern mit ähnlichen oder sogar grösseren numerischen Aperturen verwenden. Mit einigen Fasern lässt sich so sehr viel effizienter emittiertes Licht sammeln als mit einer einzelnen Linse.

Gradientenindexfaser

In Gradientenindexfasern gilt für die Indexfunktion nach Gleichung (4.61) analog zu Gleichung (4.63)

(4.68)

Dabei ist r der Abstand vom Kernzentrum. Der Unterschied im Brechungsindex in Gleichung (4.61) ist meistens klein, d.h. Δ « 1. Der Exponent ist andererseits häufig α = 2. Also kann für den Brechungsindex als Funktion der Position näherungsweise angenommen werden

(4.69)

wobei ρ ≡a∕ ist. Zur Berechnung der Bahnkurve nehmen wir an, dass n₁ entlang der Faser nicht variiert.

Um den Lichtweg, wie er in Abb. 4.163 angegeben ist, zu berechnen, gehen wir nach Pérez[Pér96a] von der vektoriellen Gleichung

(4.70)

Mit der Gaussschen Näherung ds ∼dz erhält man für eine radiale Achse x

(4.71)

Mit

und da n₁ nicht entlang der Faser (z!) nicht ändert, bekommt man

(4.72)

Da bei den meisten Glasfasern Δ « 1 ist ist auch n ≈n₁. Deshalb erhält man schliesslich für die Differntialgleichung des Lichtweges

(4.73)

Der Lichtweg durch eine Gradientenindexfaser mit paraboloidem Indexprofil wird durch eine der Schwingungsgleichung ähnliche Gleichung beschrieben. Die allgemeine Lösung ist also

(4.74)

Zur Berechnung der Schwingungsform nehmen wir an, dass ein Lichtstrahl im Abstand x_e von der Faserachse mit der Steigung x_e′ = dx_e∕dz in die Faser eintritt. Dann haben wir im Innern der Faser

Nach Pérez[Pér96a] kann damit die optische Transfermatrix bestimmt werden. Die Lösung für den speziellen Fall x_e = 0 und n₁x_e′⇔ 0 ist

(4.77)

wobei p = 2πρ gesetzt wurde. Man ersieht aus Gleichung (4.77), dass alle Lichtstrahlen in Achsennähe sich periodisch im Abstand p schneiden¹⁵ .

Die numerische Apertur einer Gradientenfaser ist eine Funktion von a, n₁ und ρ = a∕, also von der maximalen Differenz des Brechungsindexes Δ. An der Eintrittsfläche haben wir

Die Bedingung, dass ein Lichtstrahl nicht aus dem Kernbereich herausläuft, also dass |x(z)|< a ∀z ist wegen |x| = |ρx_e′ sin(z∕ρ)| ≤ |ρx_e′| immer dann erfüllt, wenn |ρx_e′|≤a ist. Dann gilt

(4.78)

Damit ist die Numerische Apertur berechnet. Für eine Beispielfaser mit n₁ = 1.57, einem Kerndurchmesser von a = 40μm und einem Indexsprung von Δ = 0.06 erhält man ρ = 115μm und damit die numerische Apertur N.A. = 0.54. Zur Illustration zeigt Abb. 4.163 ein gemessenes Brechzahlprofil. Der Knick unten links und rechts zeigt den Durchmesser des Kerns an. Der Dip in der Mitte ist produktionsbedingt.

Einmodenfasern Da die Kerne bei den Gradientenfasern und den Stufenindexfasern meistens so weit sind, dass mehrere Moden übertragen werden, können sie kurze Impulse im ns-Bereich oder kürzer nicht über lange Strecken übertragen. Lichtstrahlen, die unter verschiedenen Winkeln eintreten, legen unterschiedlich lange Wege zurück. damit verbreitern sich Impulse proportional zu der Länge der Faser. Wenn nun der Kerndurchmesser auf wenige Mikrometer verkleinert werden, kann die Faser nur noch eine Mode übertragen. Die Lösung des Laufzeitproblems erkauft man sich mit grossen Schwierigkeiten bei der Justage von Faserspleissen.

Einkopplung in optische Wellenleiter Zur Charakterisierung der Einkopplung verwendet man einerseits den Kopplungswirkungsgrad η_K = P₂∕P₁, der das Verhältnis von eingekoppelter Leistung zu angebotener Leistung anzeigt, oder, andererseits, die Kopplungsdämpfung α_K = 10 lg(P₂∕P₁), die in dB gemessen wird.

Wenn eine Laserdiode oder eine LED in eine Faser gekoppelt wird, setzt man für P₁ die Leistung des Senders ein. P₂ ist dann die in der Faser transportierte Leistung. Der Kopplungswirkungsgrad zwischen optischem Sender und dem optischen Lichtwellenleiter hängt von folgenden Grössen ab:

• Strahlungscharakteristik des Senders
• lokaler Akzeptanzwinkel des optischen Wellenleiters
• Abstand zwischen dem Sender und dem optischen Wellenleiter
• Versatz der optischen Achsen von Sender und optischem Wellenleiter
• Neigung der optischen Achsen von sender und Wellenleiter.

Als Beispiel betrachten wir die Kopplung einer flächigen LED an einen Wellenleiter[BBH98]. Die LED wird als Lambert-Strahler modelliert.

(4.79)

wobei r_LED der Radius der emittierenden Fläche der LED ist, L_LED die Strahldichte der LED und Ω₀ der Raumwinkel, in den sie abstrahlt. Die in eine Gradientenfaser mit dem Profilparameter α eingestrahlte Leistung ist

(4.80)

dabei ist

Wie weiter oben eingeführt ist a der Radius des Wellenleiterkerns, N.A. die numerische Apertur und α der Profilparameter. Aus den obigen Gleichungen errechnet man, dass der Koppelwirkungsgrad

(4.81)

Wenn der Durchmesser des LED-Chips an den Durchmesser des Wellenleiters angepasst ist, erhält man

(4.82)

Damit bekommt man

Wellenleitertyp	Kopplungswirkungsgrad
Stufenindexfaser (α →∞)	ηK = N.A.2
Gradientenindexfaser (α = 2)	ηK =

Man ersieht daraus, dass der Kopplungswirkungsgrad bei angepassten Durchmessern für Stufenprofilfasern mit N.A. = 0.5 η_K = 0.25 und für N.A. = 0.24 η_K = 0.0576 ist. Für Gradientenindexfasern mit dem gleichen Kerndurchmesser ist die Einkoppeleffizient jeweils halb so gross.

Der Kopplungswirkungsgrad kann über ein sogenanntes Phasenraumdiagramm wie in Abb. 4.165 gezeigt, abgeschätzt werden. Bei diesem wird der Sinus des Enfallswinkels relativ zur numerischen Apertur quadriert (² gegen die Fläche der LED relativ zur Fläche des Wellenleiterkerns aufgetragen. Man ersieht aus dem Diagramm, dass für den Fall dass der Kerndurchmesser sehr gross wird, die Gradientenindexfaser fast den gleichen

Kopplungswirkungsgrad hat wie die Stufenindexfaser.

Folgende Regeln können abgeleitet werden:

• Die numerische Apertur der Faser sollte so gross wie möglich sein
• Der Kerndurchmesser des optischen Wellenleiters sollte so gross wie möglich sein, mit der Nebenbedingung, dass die Modendispersion ein vorher festgelegtes Mass nicht überschreiten darf.
• Der Profilparameter α sollte so gross wie möglich sein, also eine Stufenindexfaser¹⁶ .

Neben der direkten End-zu End-Kopplung werden auch Koppeloptiken verwendet. Die Koppeldämpfungen der gebräuchlichsten Bauarten sind in der Tabelle 4.8 zusammengefasst.

Die Abbildung 4.166 zeigt den Einfluss von Fehlern auf die Koppeldämpfung dargstellt ist

Kernversatz

Unter dieser Grösse ist der Abstand der Symmetrieachsen der beiden optischen Wellenleiter zu verstehen. Die Darstellung zeigt, dass um die Dämpfung klein zu halten dieser Fehler kleiner als ein zehntel des Kerndurchmessers sein muss. Dies heisst für Multimodefasern eine radiale Positioniergenauigkeit von etwa 2 μm und für Einmodenfasern von etwa 200 nm!

Axialer Versatz

Unter dieser Grösse versteht man den Abstand der beiden Faserendflächen. Dieser parameter ist weniger kritisch. Für den gleichen Fehler wie beim Kernversatz darf der Abstand bei Multimodefasern etwa 15 μm und bei Einmodenfasern 1.5 μm betragen.

Winkelfehler

Mit dieser Grösse ist die Verkippung der Faserachsen gegeneinander gemeint. Um den gleichen Fehler wie beim Kernversatz oder beim axialen Abstand zu haben, muss der Winkelfehler kleiner 1⁰ sein.

Modenverteilung bei Glasfasern

Abb. 4.167 zeigt das Modenprofil eines Einmoden-Wellenleiters. Die Breite bei 1∕e ist hier etwa 10 μm. Abb. 4.168 zeigt den Felddurchmesser als Funktion desr Wellenlänge. Sehr schön sieht man den Einmodenbereich rechts mit einem Minimum kurz bevor die Faser zweimodig wird.

4.3.3.3. Bragg-Gitter und Bragg-Sensoren

Wenn durch germaniumdotierte optische Wellenleiter hohe Leistungen gesandt werden kann das Licht Modulationen des Brechungsindexes im Faserkern erzeugen. Diese periodischen Störungen des Brechungsindexes wirken wie ein Bragg-Gitter, analog zur Streuung von Röntgenstrahlen in Kristallen. Heutzutage werden Faser-Bragg-Gitter als Sensoren und Spiegel verwendet[Oth97].

Herstellung Die Herstellung von Bragg-Gittern in Quarz-Fasern beruht auf der Lichtempfindlichkeit von Germanium-dotiertem Quarz. Ein einzelnes Photon (λ = 146nm) kann eine Indexändrung auslösen. Man glaubt, dass oxidierte Germanium-Dimere (O₃Ge −GeO₃) durch das Licht aufgespalten werden und dass sich so ein Farbzentrum bildet. Wichtig ist dabei, dass ein Sauerstoffdefizit um dieses Farbzentrum herrscht.

Die Photoempfindlichkeit kann gesteigert werden, indem die Faser mit Wasserstoff beladen wird, indem sie mit einer Wasserstoffflamme erhitzt werden und indem Bor zusätzlich zum Germanium dotiert wird.

In einem von verschiedenen diskutierten Modellen wird die Indexvariation im nahen Infrarot auf Absorptionsänderungen im ultravioletten zurückgeführt. Die dielektrische Funktion eines Materials besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil

(4.83)

Dabei ist n der Brechungsindex und κ die Absorptionskonstante. Aus der Kausalität der Physik hatten Kramers und Kronig ihre Beziehung

(4.84)

zwischen dem Real- und dem Imaginärteil abgeleitet. Wenn nun in einem Frequenzbereich der Imaginärteil (oder auch der Realteil) sich ändert, hat dies einen Einfluss auf den Realteil (oder Imaginärteil) bei allen anderen Frequenzbereichen. daraus kann man schliessen, dass ein Farbzentrum im UV-Bereich (ändert κ) den Brechungsindex im Infraroten beeinflusst. Da der Effekt im Imaginärteil über einen weiten Frequenzbereich im Realteil ausgeschmiert wird ist die Änderung des Brechungsindexes gering.

In einem anderen Modell wird angenommen, dass die durch die Photoionisation der Ge-Ge-Bindung freiwerdenenden Elektronen in der Nähe getrappt werden und so Dipolfelder erzeugen. Durch das statische elektrische Feld würden die Suszeptibilität dritter Ordnung moduliert werden und so die Variation des Brechungsindexes hervorrufen.

Ein drittes Modell nimmt an, dass durch die Wechselwirkung mit dem laserlicht die Dichte des Materials des Faserkerns verändert wird. Dadurch würden plastische Verformungen entstehen, die nicht mehr relaxieren könnten.

Ein viertes Modell schliesslich führt die Indexmodulation auf Spannungen zurück, die durch die UV-Beleuchtung entstanden seien. Dabei würde Zugspannung den Brechungsindex erniedrigen und Druckspannung ihn erhöhen.

Bauformen

Bragg-Gitter können entweder extern oder intern geschrieben werden. Eine häufige Methode bei der externen Generierung ist die Interferometrie. Abbildung 4.169 zeigt, wie man mit einem aufgespaltenen Strahl das Gitter herstellen kann. Die Bragg-Giterkonstante hängt vom halben Öffnungswinkel der beiden Strahlen φ sowie von der Wellenlänge λ_w des Schreibstrahls ab und ist

(4.85)

Die Bragg-Wellenlänge in der Faser ist λ_B = 2nΛ. Weiter der Abstand der Indexmaxima in der Faser gleich wie ausserhalb, da die Flächen gleicher Intensität senkrecht zur Faser stehen. Zusammenfassend ergibt sich für die Bragg-Wellenlänge also

(4.86)

Bei einer Schreibwellenlänge von λ_W = 157nm, einem Winkel φ = 45°⁰ und einem Brechungsindex n = 1.5 wäre die Bragg-Wellenlänge λ_B = 333nm. Die interferometrische Methode nach Abb. 4.169 hat zum Vorteil, dass die Wellenlänge sehr leicht geändert werden kann. Nachteilig ist, dass der gesamte Aufbau interferometrische Stabilität benötigt.

Die in der Abb. 4.170 gezeigten Interferometer haben die notwendige Stabilität. Beide Interferometer sind sehr stabil, einfach herzustellen und haben einen einstellbaren Einfallswinkel. Anders als beim Prismenspektrometer geht das Licht beim Lloyd-Spektrometer nicht durch ein Dielektrikum. Dieses Spektrometer ist also weitgehend frei von Dispersionseffekten. Beide Spektrometer können nur Gitter von sehr beschränkter Länge in die Fasern einschreiben. Dies ist ihr hauptsächlicher Nachteil.

Wenn man Gitter mit variabler Tiefe oder Periode der Indexmodulation schreiben will, bedient man sich Häufig der Phasenmasken (Siehe auch abb. 4.171). Diese diffraktiven Masken können entweder holographisch oder lithographisch hergestellt werden. Die Phasenmasken werden so konstruiert, dass der Interferenzstrahl nullter Ordnung unterdrückt wird (Seine Intensität ist weniger als 5%) . Man versucht etwa 35 % der Intensität in die beiden ersten Ordnungen zu transferieren. Das Nahfeld-Interferenzmuster hat so eine Periode von der Hälfte der Periode der Phasenmaske (Talbot-Effekt). Eine Einführung in den Talboteffekt findet man in der Doktorarbeit von Eero Noponen¹⁷ [Nop94]. Durch die Fresnel-Beugung werden periodische Strukturen in ganzzahligen Vielfachen der Talbotdistanz

(4.87)

exakt abgebildet. Neben dem ganzzahligen Talboteffekt existiert auch der gebrochenzahlige. Mehrfache Bilder des ursprünglichen Gitters werden bei den Distanzen

(4.88)

gebildet. Dabei sind n, p und q ganzzahlig. Zum Beispiel erhält man in der Distanz z = z_T ∕(2 ∗ 2) = z_T ∕4 zwei um eine halbe Gitterperiode gegeneinander verschobene Phasengitter, wenn das ursprüngliche Gitter ein Amplitudengitter war. Analog erhält man in diesem Abstand zwei um eine halbe wellenlänge gegeneinander verschobene Amplitudengitter, wenn das ursprüngliche Gitter ein Phasengitter war. Zum Beispiel würde ein Gitter der Periode d = 1μm, beleuchtet mit λ = 500nm eine Talbotdistanz von z_T = 4μm haben. Das heisst, Im Abstand z = z_T ∕4 = 1μm befindet sich nun ein Gitter mit der Periode 500nm.

Durch eine Verkippung der Maske kann man, in Grenzen, die Periodendauer einstellen.

Die umfassendste Kontrolle über die Form des Gitters hat man, wenn man dieses mit einem konfokalen Laser-Scanning-Mikroskop schreibt. Dort kann man die Lage und die Modulationstiefe von jedem einzelnen Strahl einstellen. Abb. 4.172 zeigt ein Reflexionsspektrum eines so hergestellten Gitters.

Berechnung Die Streuung an Faser-Bragg-Gittern wird analog zur Braggstreuung in Kristallen behandelt[Oth97]. Die Energieerhaltung sagt, dass die Frequenz des einfallenden Lichtes ω_i und jene des reflektierten Lichtes ω_r gleich sein müssen. Die Impulserhaltung andererseits liefert die Bedingung, dass

(4.89)

sein muss. Dabei ist der Gittervektor mit || = 2π∕Λ, wobei Λ die Periodenlänge des Gitters ist.

Da in einer optischen Faser die Ausbreitungsrichtungen vorgegeben sind (entlang einer Achse) erhält man aus Gleichung (4.89)

(4.90)

oder, vereinfacht

(4.91)

wobei λ_B die Wellenlänge des Lichtes im Vakuum und n der Brechungsindex der Faser im Kern ist. Wir nehmen nun an, dass das Bragg-Gitter über die Länge l die Brechzahlmodulation

(4.92)

sei, wobei die Modulation Δn typischerweise 10⁻⁵…10⁻⁷ ist. Die Reflektivität des Bragg-Gitters ist nun

(4.93)

Die Reflektivität R(ℓ,λ) ist eine Funktion der Gitterlänge ℓ und der Wellenlänge λ. Ω ist die Kopplungskonstante, Δk = k −π∕λ ist der Wellenvektor der Verstimmung, k = 2πn₀∕λ ist der Wellenvektor des Lichtes und s = . Die Kopplungskonstante ist

(4.94)

Hier ist η(V ) ≈ 1 − 1∕V ², V ≥ 2.4, ist eine Funktion des Faserfüllfaktors V , der angibt, wieviel der Faserintensität der Grundmode im Kern (mit dem Bragg-Gitter) lokalisiert ist. Abb. 4.173 zeigt ein berechnetes Reflexionsspektrum. Auf der Mittenfrequenz des Bragg-Gitters ist Δk = 0. Also ist die Reflektivität

(4.95)

Die Halbwertsbreite des Reflexionsmaximums ist gegeben durch[Oth97]

(4.96)

Abb. 4.174 zeigt, dass Bragg-Gitter die in sehr empfindliche Fasern geschrieben werden, die also eine starke Modulation des Brechungsindexes haben, auf der höherfrequenten seite des Bragg-Peaks ein ausgeprägtes Spektrum haben, das von Mantelmoden herrührt. Die spektralen Eigenschaften werden von Licht, das die Faser seitwärts verlässt, bestimmt.

Anwendungen als Sensor

Die Mittenfreqquenz des Faser-Bragg-Gitters hängt vom Brechungsindex und der Periodenlänge ab. Beide Grössen werden jedoch durch externe Parameter verändert. Sowohl die Temperatur wie auch Zug auf die Faser können die Mittenfrequenz verschieben. Aus Gleichung (4.91) ermöglicht eine Berechnung der Verschieb3ung der Mittenwellenlänge des Gitters.

(4.97)

Der erste Summand in Gleichung (4.97) stellt den Einfluss von Zugspannungen dar (Eine Messung ist in Abb. 4.175 zu sehen). Man kann diesen Effekt auch als

(4.98)

darstellen. In dieser Gleichung ist p_e die effektive spannungsoptische Konstante. Sie ist wie folgt definiert:

(4.99)

Dabei sind p₁₁ und p₁₂ Komponenten des spannungsoptischen Tensors. n ist der Brechungsindex im Kern der Faser und ν ist die Poisson-Zahl. Bei einer typischen optischen Faser ist nach Othonos[Oth97] p₁₁ = 0.113, p₁₂ = 0.252, ν = 0.16 und n = 1.482. Man erwartet dann eine Empfindlichkeit von 0, 001pm für eine Spannung von 10⁻⁶.

Der zweite Teil von Gleichung (4.97) beschreibt den Einfluss der Temperatur. Einerseits ändert die Temperatur den Abstand der Indexschwankungen, also die Periodenlänge, und andererseits ändert sich der Brechungsindex. Wir können für die Änderung der Bragg-Wellenlänge schreiben:

(4.100)

Dabei ist α = (1∕Λ)(∂Λ∕∂T) der thermische Ausdehnungskoeffizient¹⁸ und ζ = (1∕n)(∂n7∂T) der thermo-optische Koeffizient¹⁹ . Der Temperatureffekt ist also durch die Änderung des Brechungsindexes dominiert. Der Zahlenwert für Quarzglas ist 14 pm/°⁰C. Abb. 4.176 zeigt den Einfluss der Temperatur auf die Bragg-Wellenlänge eines Bragg-Gitters.

Die Änderung der Temperatur bewirkt nicht nur eine Verschiebung der Bragg-Wellenlänge, sondern auch eine Erniedrigung der Reflektivität, wie es schön aus Abbildung 4.177 ersichtlich ist.

Da jedes Bragg-Gitter in einer Faser mit mehreren Sensorstellen eine eigene, klar von den anderen trennbare Resonanzfrequenz haben kann, können einzelne Temperatur- oder Spannungssensoren über eine Auswahl der Wellenlänge adressiert werden.

Abb. 4.178 zeigt einen Fabry-Perot-Resonator in einer Faser. Der rechte Teil der Abbildung zeigt, dass dieses Fabry-Perot in einer Faser eine exzellente Linienbreite hat.

Abb. 4.179 zeigt, dass man bei Faser-Bragg-Gittern mehrere Gitter übereinander einbringen kann. Dies ist einsichtig, wenn man bedenkt, dass ein Faser-Bragg-Gitter eigentlich mit Hologrammen verwandt ist. Auch bei Hologrammen können mehrere von ihnen in der gleichen Fotoschicht gespeichert werden. Mit Faser-Bragg-Gittern lassen sich so ganz neuartige Interferometer aufbauen.