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Unterabschnitte

• Massstabsvergleich
• Uhrenvergleich
• Der transversale relativistische Dopplereffekt
• Addition der Geschwindigkeiten
• Messung der Beschleunigung
• Bewegte Masse
• Masse-Energie-Äquivalenz
  • Intersolare Reise

Relativität der Gleichzeitigkeit

Dieser Stoff wurde am 11.12.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1164]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 840])

Die zwei Novae sollen an den angegebenen Orten und Zeiten ausbrechen. ''B'' befindet sich in einem Inertialsystem, das sich mit der Geschwindigkeit $u$ gegenüber meinem Inertialsystem bewegt.

In der Abbildung stellt die horizontale Achse alle drei Raumkoordinaten zusammen dar. Am Ort $r=0$ befinde ich mich. Deshalb ist die Zeitachse mein ''hier''. Andererseits haben alle Punkte auf der ''r''-Achse die gleich Zeit wie ich, sie befinden sich also jetzt. Das hier und jetzt eines sich in einem mit der Geschwindigkeit $u$ gegenüber meinem Inertialsystem bewegenden Beobachter B sind gekippt gegenüber meinen Koordinatenachsen. B soll gleichzeitig die Explosion von je einer Nova links und rechts von ihm beobachten. Beide Novae sollen den gleichen Abstand von B haben. Sie sollen, als B's Weltlinie die meinige kreuzte ausgebrochen sein

Dies kann wie folgt eingesehen werden:

• Licht breitet sich mit $c$ in jedem Inertialsystem aus. Ich kann also, auch wenn ich nicht weiss, wie die Geschwindigkeiten in B's System zu transformieren sind, die Weltlinie des Lichtes angeben.
• Die Zeitachse von B ist seine Geschwindigkeit. Die beiden Weltlinien des Lichtes aus jedem der beiden Ereignisse müssen sich auf B's Weltlinie, seiner ct-Achse, schneiden.
• Ein Kreis mit dem Radius des Abstandes der beiden Novae von B (und von mir) zum Zeitpunkt des Ausbruchs schneidet die Weltlinien des Lichtes. Die beiden Schnittpunkte legen die jetzt-Linie von B fest.

Die beiden roten Achsen unter $45^0$ stellen die Ausbreitung des Lichtes dar: die Lichtgeschwindigkeit bei unserer Wahl der Koordinaten ist 1. Die beiden roten Linien durch die beiden Ereignisse zeigen, dass B beide Novae gleichzeitig wahrnimmt. Ich hingegen sehe zuerst die Nova 1, dann die Nova 2, da der Schnittpunkt der ersten roten Linie mit der ct-Achse unter dem der zweiten Linie liegt.

Der Begriff der Gleichzeitigkeit hängt vom betrachteten Inertialssystem ab.

Durch die Wahl der Geschwindigkeit von B ist der Winkel $\alpha$ zwischen meiner ct-Achse und der von B festgelegt. Was ist der Winkel zwischen B's r-Achse und meiner? Der Kreis um den Ursprung geht sowohl durch B's Beobachtung wie auch durch die beiden Novae. deshalb it das Dreieck gebildet durch die beiden Novae sowie B's Beobachtungszeitpunkt rechtwinklig. Es ist also

$$\pi/2 = \phi+\gamma$$

.

Da das Dreieck aus der Nova 2, B's Beobachtungszeitpunkt und dem Koordinatenursprung gleichschenklig ist, ist auch

$$\epsilon = \gamma$$

.

Damit ist auch

$$\alpha + \beta + (\pi - 2 \gamma ) = \pi/2$$

oder

$$2\gamma - \pi/2 = \alpha+\beta$$

Da die Winkel der beiden Lichtlinien zur $ct$-Achse beziehungsweise zur $r$-Achse $\pi/4$ sind, gilt auch

$$\alpha + 3\pi/4+ \phi = \pi$$

oder

$$\alpha = \pi/4-\phi$$

Ebenso liest man aus dem Dreieck Nova 1, Ursprung und der Schnittstelle der Lichtgerade mit der r-Achse

$$\delta + 3\pi/4 + \beta = \pi$$

und mit $\delta = \phi$ (da auch das zweite Dreieck gleichschenklig ist)

$$\beta= \pi/4-\phi$$

Also ist

$$\alpha = \beta$$ (7.386)

Dieser Stoff wurde am 12.12.2001 behandelt

Materialien

Folien zur Vorlesung am 12. 12. 2001 PDF

Raum und Zeit

Text (nur von uni-ulm.de aus zu sehen)

Je schneller B ist, desto mehr werden, von mir aus gesehen, seine Achsen gegen die $\pi/4$ Linie gekippt.

Die beiden Novae aus der Sicht von B.

Die Beschreibung von B ist ebenso gültig. Aus seiner Sicht ist meine Geschwindigkeit genau das negative von seiner, von mir aus gesehen. Deshalb ist mein ct-Achse um $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn geneigt.

Ereignisse, die aus B's Sicht gleichzeitig sind, sind für mich nicht gleichzeitig, und umgekehrt.

Relationen zwischen Ereignissen sind nur dann sinnvoll zu beschreiben, wenn gleichzeitig auch das Bezugssystem angegeben wird.

Massstabsvergleich

Dieser Stoff wurde am 12.12.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 841])

Massstabsvergleich

Die beiden Koordinatenursprünge (B's und meiner) sollen übereinander liegen. Zum Zeitpunkt $t=0$ (gilt für beide) ist das linke Ende je eines Massstabes genau am Ursprung. Das Ende meines Massstabes ist in $Q$ und bewegt sich weiter zu $Q'$. Das rechte Ende von B's Massstab beschreibt die Linie $P$ nach $P'$. Für mich ist zur Zeit $t=0$ das Ende von B's Massstab in $P$, für ihn ist es in $P'$. Analog sagt B, dass mein Massstab zur Zeit $t=0$ in $Q'$ ist, während es für mich in $Q$ ist. Da kein Bezugssystem bevorzugt ist, muss meine Beschreibung der Situation und seine äquivalent sein. Mein Massstab ist für B verkürzt, während seiner für mich kürzer ist. Der Verkürzungsfaktor $f$ muss für beide der gleiche sein:

$$f = \frac{\overline{0P}}{\overline{0Q}} = \frac{\overline{0Q'}}{\overline{0P'}}$$ (7.387)

und damit auch

$$f^2 = \frac{\overline{0P}\cdot \overline{0Q'}}{\overline{0Q}\cdot\overline{0P'}}$$

Nun ist

$$\frac{\overline{0Q'}}{\overline{0Q}} = \frac{1}{\cos\alpha}$$

und nach dem Sinussatz

$$\frac{\overline{0P}}{\overline{0P'}} = \frac{\sin(\pi/2-2\alpha)}{\sin(\pi/2+\alpha)}=\frac{\cos(2\alpha)}{\cos\alpha}$$

Damit ist

$$f^2 = \frac{\cos(2\alpha)}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}= 1 -\tan^2\alpha$$ (7.388)

Nun berücksichtigen wir, dass die Steigung bei einer Geschwindigkeit $v = \frac{x}{t} = \frac{c x}{ct}$ oder $\frac{v}{c} = \frac{x}{ct} = \tan\alpha$ die Steigung. Wir erhalten also

$$f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ (7.389)

Lorentz-Kontraktion

In jedem gegen das Inertialsystem des Beobachters mit $v$ bewegten Inertialsystem erscheinen die in Richtung der Bewegung zeigenden Längen um $f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ verkürzt.

Durch die Laufzeiten der Bilder entstehen zusätzliche Verzerrungen, so dass Objekte nicht einfach verkürzt erscheinen.

Uhrenvergleich

Dieser Stoff wurde am 12.12.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1164]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 842])

Uhrenvergleich. Oben die traditionelle Darstellung nach (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 842]) , unten die einsichtigere Darstellung.

Aus R, beziehungsweise R' kann das Punktereignis ''Uhr zeigt 1'' im anderen Bezugssystem rekonstruiert werden. Die Argumentation wie beim Längenvergleich erfordert⁹:

$$f = \frac{\overline{0P}}{\overline{0Q}} = \frac{\overline{0Q'}}{\overline{0P'}}$$

und damit

$$f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ (7.390)

Jeder Beobachter sieht die Uhr des anderen erst später die 1 erreichen. Bewegte Uhren gehen also langsamer wegen der Zeitdilatation.

Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige Beobachter den kürzesten Zeitabstand, der sie (soweit möglich) direkt erlebt, also für den sie beide ''hier'' sind.

Zwischen zwei Punktereignissen misst derjenige den kürzesten Abstand, für den sie gleichzeitig erfolgen (bei ihm ist der Massstab am längsten!).

Da wir keine Aussage über die Natur der Uhren gemacht haben, müssen wir schliessen, dass die obige Aussage für alle Prozesse gilt.

Der transversale relativistische Dopplereffekt

Dieser Stoff wurde am 18.12.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1171]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 843])

Materialien

Folien zur Vorlesung am 18. 12. 2001 PDF

Übungsblatt 10 vom 18. 12. 2001 (HTML oder PDF)

Der relativistische Dopplereffekt. Links ist mein Standpunkt, rechts der von B.

Die obige Skizze soll die Frage klären, welche Periode $T'$ B misst für ein Signal, das ich die Periode $P$ messe.

• B's Weltlinie läuft schräg zu der meinen.
• Sinussatz: $\overline{0Q} = \overline{0P}\frac{\sin\pi/4}{\sin(\pi/4-\alpha)}= \overline{0P}\frac{1}{\cos\alpha-\sin\alpha}$
• Die Zeitdifferenz ist durch den vertikalen Abstand gegeben: $\overline{0Q}\cos\alpha = \overline{0P}\frac{1}{1-\tan\alpha}=\overline{0P}\frac{1}{1-v/c}$
• Damit ist $T' = \frac{T}{1-v/c}$, der normale Dopplereffekt, der für $v \ll c$ gilt.
• Die Zeiteinheit ist auf B's Zeitachse um $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ grösser.
• Also muss $T' = T \frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-v/c}$
• Mit der Frequenz $\nu = 1/T$ bekommt man: $\nu' = \nu \frac{1-v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \nu \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}$

B würde anders argumentieren (rechte Seite der obigen Zeichnung)

• Ohne Berücksichtigung der Zeitdlatation: $T' = T \frac{\sin(3\pi/4 -\alpha)}{\sin(\pi/4)}=T\left(1+\frac{v}{c}\right)$
• Die Zeitdilatation, die nach B's Ansicht für mich gilt: $T' = T\frac{1+v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
• Frequenz: $\nu' = \nu\frac{\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+v/c}=\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}$

Der Dopplereffekt wird also durch die spezielle Relativitätstheorie konsistent beschrieben.

Addition der Geschwindigkeiten

Dieser Stoff wurde am 18.12.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1171]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 844])

Addition von Geschwindigkeiten

In diesem Gedankenexperiment sollen B und ich einen Meteoriten beobachten:

• B's Geschwindigkeit gegen mein Bezugssystem sei $v$.
• Die Geschwindigkeit des Meteoriten gegen mein Bezugssystem sei $u$
• Die Weltlinie des Meteoriten, die Weltlinie von B sowie meine Weltlinie kreuzen alle im Punkte 0

Im Punkte $R'$ misst B durch Rückdatierung, dass der Meteorit in $P$ und er in $R$ gewesen sind.

Die Länge einer Einheit auf B's $ct$-Achse und die Länge einer Einheit von B's Ortsachse sind gleich, unabhängig von B's Geschwindigkeit $v$. Wäre das nicht so, dann wäre eine Achse, die $ct$-Achse vor den anderen Achsen ausgezeichnet.

In dem durch $R$ gegebenen Zeitpunkt bestimmt B die Geschwindigkeit des Meteoriten durch

$$w = \frac{\overline{PR}}{\frac{\overline{0R}}{c}}= c \frac{\overline{PR}}{\overline{0R}}$$ (7.391)

Damit berechnet man

$$w = c \frac{\overline{PR}}{\overline{0R}} = c\frac{\sin(\alpha+\delta)}{\sin(\pi/2-\delta+\alpha)}$$

$$= c \frac{\sin(\alpha+\delta)}{\cos(\alpha-\delta)}$$

$$= c\frac{\sin\alpha \cos\delta + \cos\alpha\sin\delta}{\cos\alpha\cos\delta +\sin\alpha\sin\delta}$$

$$= c\frac{\tan\alpha+ \tan\delta}{1+\tan\alpha\tan\delta}$$

$$= -\frac{v+u}{1+uv/c^2}$$ (7.392)

Die relativistische Summe zweier Geschwindigkeiten ist

$$w = \frac{u+v}{1+uv/c^2}$$ (7.393)

ein Wert, der um $(1+uv/c^2)^{-1}$ kleiner ist als die klassische Geschwindigkeitsaddition.

• $u=c$: $w = \frac{u + c}{1+ uc/c^2} = c \frac{u+c}{c+u} = c$ unabhängig von $u$
• $u = v$: $w = \frac{2u}{1+u^2/c^2}$
• $u= 0$: $w = \frac{0+v}{1+0v/c^2} = v$. Dies bedeutet, dass
• Beispiel: $u=v=0.5 c$: $w = \frac{c}{1+0.25} = \frac{4}{5} c$
• Beispiel: $u=v=0.9 c$: $w = \frac{1.8 c}{1+0.81} = \frac{180}{181} c$

Messung der Beschleunigung

Dieser Stoff wurde am 18.12.2001 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 845])

Das folgende Gedankenexperiment soll zur Ableitung des Messverfahrens für relativistische Beschleunigungen dienen.

• B soll im Moment des Zusammentreffens mit A einen Körper K beschleunigen lassen.
• Nach der Zeit $\Delta t'$ misst B die Geschwindigkeit $u'$ und bestimmt die Beschleunigung zu
  $$a' = \frac{u'}{\Delta t}$$

• Für A sieht die Situation folgendermassen aus:
• Die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers $K$ ist diejenige von B, also $v$.
• Nach der Zeit $\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$
• Zur Zeit der zweiten Messung hat K für mich nach dem Additionstheorem die Geschwindigkeit
  $$w = \frac{v+u'}{1+vu'/c^2}$$

• Die Geschwindigkeit von K nimmt nach
  $$\begin{array}{ccccc}\Delta w &= &\frac{v+u'}{1+vu'/c^2}- v& \... ...} + u'\\ & = & u'\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)&&\end{array}$$

• Die Beschleunigung, die A misst, ist
  $$a = \frac{\Delta w}{\Delta t} = \frac{u'}{\Delta t}\left(1-\frac{... ...'}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}= a' \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}$$

Die von B gemessene longitudinale Beschleunigung $a'$ ist grösser als die von A gemessene Beschleunigung

$$a = a' \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}$$ (7.394)

.

Bewegte Masse

Dieser Stoff wurde am 18.12.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 846])

Gedankenexperiment zur Bestimmung der relativistischen Masse

Von dem Startturm aus werden zwei identische Raketen in kurzer Zeit auf die Geschwindigkeit $v$ oder $-v$ gebracht. Im Ruhesystem des Startturms ist klar, dass der Schwerpunkt $S$ am Ort bleibt, da wir eine bezüglich des Startturms symmetrische Situation haben.

Für den Reisenden in der Rakete $A$ sieht die Situation so aus:

• Der Startturm bewegt sich mit $v$ nach rechts.
• $B$ bewegt sich bezüglich des Startturms mit $v$ nach rechts.
• Für $A$ ist $B$'s Geschwindigkeit

  $$w = \frac{2v}{1+v^2/c^2}$$ (7.395)

  
  
  nach rechts nach Gleichung (7.8) .

Für den Reisenden in der Rakete $B$ sieht die Situation so aus:

• Der Startturm bewegt sich mit $v$ nach links.
• $A$ bewegt sich bezüglich des Startturms mit $v$ nach links.
• Für $B$ ist $A$'s Geschwindigkeit
  $$w = \frac{2v}{1+v^2/c^2}$$
  nach links nach Gleichung (7.8) .

Nach dem 1. Einsteinschen Postulat muss die Beschreibung sowohl für das Ruhesystem des Startturms wie auch für A (und für B) konsistent sein. Der Schwerpunkt S kann sich nur dann für $A$ immer über dem Startturm befinden, wenn die Masse von $B$, $m_B$, zunimmt. Der Abstand (für grosse Zeiten) von $B$ zum Startturm im Bezugssystem von $A$ geht wie

$$\ell_B = (w-v)\cdot t = \left(\frac{2v}{1+v^2/c^2}-v\right) t$$ (7.396)

Der Abstand des Startturms von $A$ ist in $A$'s Bezugssystem $\ell_A = v\cdot t$. Bezüglich des Schwerpunktes müssen die Drehmomente null sein, also

$$m_A \ell_A = m_B(w) \ell_B = m_B(w) \left(\frac{2v}{1+v^2/c^2}-v\right) t = m_A v \cdot t$$ (7.397)

Wir erhalten also

$$m_B(w) = m_A \frac{v}{\frac{2v}{1+v^2/c^2}-v}$$

$$= m_A \frac{1}{\frac{2}{1+v^2/c^2}-1}$$

$$= m_A \frac{1+v^2/c^2}{2-(1+v^2/c^2)}$$

$$= m_A \frac{1+v^2/c^2}{1-v^2/c^2}$$

$$= m_A \frac{c^2+v^2}{c^2-v^2}$$ (7.398)

Diese Gleichung sollte nun mit $w$ ausgedrückt werden. Wir verwenden den Trick, dass $c^2-v^2 = \sqrt{(c^2-v^2)^2} = \sqrt{c^4-2 c^2 v^2 +v^4}=\sqrt{c^4 + 2 c^2 v^2 + c^4 - 4 c^2 v^2} = \sqrt{(c^2+v^2)^2-4 c^2 v^2}$ ist¹⁰

$$\frac{c^2+v^2}{c^2-v^2} = \frac{1}{\frac{c^2-v^2}{c^2+v^2}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{\frac{(c^2-v^2)^2}{(c^2+v^2)^2}}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{\frac{(c^2+v^2)^2-4 c^2 v^2}{(c^2+v^2)^2}}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4 c^2 v^2}{(c^2+v^2)^2}}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4 v^2}{c^2(1+v^2/c^2)^2}}}$$ (7.399)

Nun ist aber mit der Gleichung für $w$ auf Seite gerade $\frac{4 v^2}{(1+v^2/c^2)^2} = w^2$ und damit

$$m_B(w) = m_A\frac{1}{\sqrt{1-w^2/c^2}}$$ (7.400)

Die mit der Geschwindigkeit $v$ bewegte Masse (in ihrem Ruhesystem mit $m_0$, Ruhemasse) hat den Wert

$$m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ (7.401)

Der Rechenweg mit dem Startturm diente dazu, eine Markierung für den Schwerpunkt zu haben. Der Starturm ist eine Hilfskonstruktion.

Masse-Energie-Äquivalenz

Dieser Stoff wurde am 18.12.2001 behandelt

(Siehe Tipler, Physik[Tip94, 1176]) (Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 847])

Nach Gleichung (7.16) wird die Arbeit (Kraft mal Weg), die in eine Masse gesteckt wurde, nicht nur zur Erhöhung der Geschwindigkeit, sondern auch zur Erhöhung der Masse verwendet. Wir können Gleichung (7.16) für kleine Geschwindigkeiten entwickeln

$$m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = m_0 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} \approx m_0 + \frac{m_0}{2}\frac{v^2}{c^2}+ \ldots$$ (7.402)

Diese Gleichung könnte man auch als

$$m(v) c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$= m_0 c^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$

$$\approx m_0 c^2 + \frac{m_0}{2}v^2 + \ldots$$

$$= m_0 c^2 +E_{kin,\,klassisch}+\ldots$$ (7.403)

Nach der relativistischen Mechanik entspricht einer (geschwindigkeitsabhängigen) Masse die Energie

$$E = m(v) c^2$$ (7.404)

.

Die relativistische kinetische Energie ist

$$E_{kin,\,rel} = E - m_0 c^2 = m_0 c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right)$$ (7.405)

Dieser Stoff wurde am 8. 1. 2002 behandelt

Materialien

Übungsblatt 11 vom 8. 1. 2002 (HTML oder PDF)

Folien zur Vorlesung am 08. 01. 2002 PDF

Der relativistische Impuls ist analog zum klassischen Impuls definiert:

$$\vec{p}= m(v) \vec{v}= \frac{m_0 \vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ (7.406)

Die relativistische Kraft ist analog zum 2. Newtonschen Axiom durch

$$\vec{F}= \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d m(v)\vec{v}}{dt}$$ (7.407)

Die Gesamtenergie $E$ kann wie folgt umgeformt werden

$$E = m(v) c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt {\frac{m_0^2 c^4}{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt{\frac{m_0^2 c^4 - m_0^2 c^2 v^2 + m_0^2 c^2 v^2}{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt{\frac{m_0^2 c^4\left(1 - v^2/c^2\right) + m_0^2 c^2 v^2}{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt{m_0^2 c^4 + \frac{m_0^2 c^2 v^2}{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt{m_0^2 c^4 + c^2\frac{m_0^2 v^2}{1-v^2/c^2}}$$

$$= \sqrt{m_0^2 c^4 + c^2 p^2}$$ (7.408)

Dieses Resultat nennt man den relativistischen Energiesatz

Relativistischer Energiesatz

$$E = \sqrt{m_0^2 c^4 + c^2 p^2}$$ (7.409)

Intersolare Reise

Dieser Stoff wurde am 8.1.2002 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 849])

Wir wollen ausrechnen, wie sich eine Rakete beschleunigt, und verwenden das 2. Newtonsche Axiom

$$F = const = \frac{dp}{dt} = \frac{d m(v) v}{dt} = \frac{d m(v)}{dt}v+m(v)\frac{dv}{dt}$$ (7.410)

Nun ist

$$\frac{d m(v)}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$= -\frac{1}{2}\frac{m_0}{\left(1-v^2/c^2\right)^{3/2}}\frac{dv}{dt}$$ (7.411)

und damit

$$F = const = \left(\frac{m_0 v}{c^2\left(1-v^2/c^2\right)^{3/2}} v + \frac{m_0}{\left(1-v^2/c^2\right)^{1/2}}\right)\frac{dv}{dt}$$

$$= m_0 \frac{v^2/c^2+ 1 - v^2/c^2}{\left(1-v^2/c^2\right)^{3/2}} \frac{dv}{dt}$$

$$= \frac{m_0}{\left(1-v^2/c^2\right)^{3/2}} \frac{dv}{dt}$$ (7.412)

Diese Gleichung kann umgestellt werden. Wir erhalten

$$\frac{F}{m_0} dt = \frac{dv}{\left(1-v^2/c^2\right)^{3/2}}$$ (7.413)

Integration liefert

$$\int_0^t \frac{F}{m_0}d\tau = \frac{F}{m_0} t = \int_0^v \frac{d\... ... {\left(1-\upsilon^2/c^2\right)^{3/2}} = \frac{v}{\left(1-v^2/c^2\right)^{1/2}}$$ (7.414)

Aufgelöst nach $v$ erhalten wir

$$v = c \sqrt{\frac{A^2}{1+A^2}}\hspace{2cm}\textrm{mit}\;\; A = \frac{F t}{m_0 c}$$ (7.415)

Verlauf der Geschwindigkeit bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Die folgenden Approximationen können gemacht werden:

$$v \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{F t}{m_0 c} & \textrm{f... ...ight)^{-2} & \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \\ \end{array}\right.$$ (7.416)

Die Beschleunigung ist im System der Rakete konstant $a' = \frac{F}{m_0}$. Nach Gleichung (7.9) ist

$$a(v(t)) = a'\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}$$ (7.417)

Durch Einsetzen von Gleichung (7.30) ( $v^2/c^2 = \frac{A^2}{1+A^2}$) erhalten wir

$$a(t) = a' \left(1 - \frac{A^2}{1+A^2}\right)^{3/2} = \frac{a'}{\left(1+ A^2\right)^{3/2}} \hspace{2cm} \textrm{mit}\;\; A = \frac{F t}{m_0 c}$$ (7.418)

oder

$$a(t) = \frac{F}{m_0 \left(1+ \left(\frac{F t}{m_0 c}\right)^2\right)^{3/2}}$$ (7.419)

Verlauf der Beschleunigung bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Wir erhalten wieder die Approximationen

$$a(t) \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{F}{m_0} & \textrm{f{... ...\right)^3 & \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \\ \end{array} \right.$$ (7.420)

Sowohl bei der Geschwindigkeit wie auch bei der Beschleunigung ist $t \ll \frac{m_0 c}{F}$ der klassische Newtonsche Bereich.

Der Impuls selber nimmt linear mit der Zeit zu, unabhängig, ob eine relativistische oder eine klassische Betrachtung durchgeführt wird. Im klassischen Fall beruht die Impulszunahme auf der Zunahme der Geschwindigkeit, im relativistischen Fall auf der Zunahme der Masse.

Die kinetische Energie ist durch Gleichung (7.20) gegeben. Setzen wir Gleichung (7.30) ( $v^2/c^2 = \frac{A^2}{1+A^2}$), so erhalten wir

$$E_{kin} = m_0 c^2\left(\frac{1}{\left(1 - \frac{A^2}{1+A^2}\right)^{1/2}}-1\right) = m_0 c^2 \left(\left(1+A^2\right)^{1/2}-1\right)$$ (7.421)

oder

$$E_{kin} = m_0 c^2 \left(\left(1+\left(\frac{F t}{m_0 c}\right)^2\right)^{1/2}-1\right)$$ (7.422)

Verlauf der kinetischen bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Die Approximation ergibt

$$E_{kin} \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}\frac{F^2 t^... ... \\ F c t & \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \\ \end{array}\right.$$ (7.423)

Die kinetische Energie nimmt im relativistischen Falle nur linear mit der Zeit zu.

Mit Gleichung (7.30) kann auch die Distanz als Funktion der Zeit berechnet werden. Wir integrieren

$$x(t) = \int_0^t v(\tau)d\tau = c \int_0^t \frac{\frac{F t}{m_0 c}}{\left(1+\left(\frac{F t}{m_0 c}\right)^2\right)^{1/2}}d\tau$$ (7.424)

Wir substituieren $A=\frac{F t}{m_0 c}$ und bemerken, dass $dA = \frac{F}{m_0 c} dt$ ist, oder auch $dt = \frac{m_0 c}{F} dA$.

$$x(t) = c \frac{m_0 c}{F} \int_0^{F t/(m_0 c)} \frac{A}{\sqrt{1+A^2}} dA$$

$$= \left.\frac{m_0 c^2}{F}\left(\sqrt{1+A^2}-1\right)\right\vert _0^{F t/(m_0 c)}$$

$$= \frac{m_0 c^2}{F}\left(\sqrt{1+\left(\frac{F t}{m_0 c}\right)^2}-1\right)$$ (7.425)

Verlauf der zurückgelegten Distanz bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Wir können wieder approximieren

$$x(t) \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}\frac{F}{m_0}t^... ...F} \\ c t & \textrm{f{\uml u}r} & t \gg \frac{m_0 c}{F} \\ \end{array}\right.$$ (7.426)

Verlauf der Eigenzeit bei konstanter Kraft im klassischen (rot) und relativistischen (grün) Fall.

Zurückgelegte Strecke als Funktion der Eigenzeit.

 Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter