Wir verwenden die barometrische Höhenformel (siehe Vorlesungssskript zur Mechanik[Mar14, Seite 231])
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| (2.1) |
Wir modifizieren den Exponenten wie folgt:
 | (2.2) |
Hier ist M = ρ0V 0 die Masse des Gases. Beziehen wir alles auf ein Mol, dann ist M = NAm und p0V 0 = NAkT, wobei m die Masse eines Teilchens ist. Der Exponent wird dann
 | (2.3) |
Die barometrische Höhenformel ist
 | (2.4) |
Mit mgh = Epot der potentiellen Energie bezogen auf ein Molekül haben wir auch
 | (2.5) |
Boltzmann hat diese Gleichung verallgemeinert, indem er für jede thermodynamische, von der Energie abhängige Grösse G postuliert hat
Diese Funktion ist die Boltzmannsche Verteilungsfunktion. Verwendet man anstelle der potentiellen Energie ein Potential φ(z), lautet die Boltzmannverteilung
 | (2.7) |
Die Teilchendichte ist entsprechend mit der Höhe Boltzmann-verteilt.
 | (2.8) |
Dabei ist m die Masse eines einzelnen Teilchens. Mit dem Potential φ(z) ausgedrückt ist
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Betrachtung von Teilchenströmen Nℓ von links nach rechts und Nr von rechts nach links.
Wir betrachten einen Teilchenstrom aus dem Volumen
links von der Fläche A nach rechts. Im ganzen Gebiet,
sowohl links wie rechts von A, soll die Teilchendichte n
eine Funktion von z sein. Die Abhängigkeit von den
anderen Koordinaten können wir vernachlässigen, wenn A
genügend klein ist. In der Nähe von z, an den Stellen z ∓ ℓ
können wir die Teilchenzahldichte n(z ∓ ℓ) abschätzen,
indem wir die Steigung 
an der Stelle z zur Schätzung
verwenden.
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Analog kann der Wert der gemittelten Geschwindigkeit
N an den Stellen z ∓ ℓ bestimmt werden.
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Die Teilchen sollen jedes eine individuelle Geschwindigkeit 
i
haben. Wenn wir zum Mittel über alle Geschwindigkeitsbeträge
wechseln, wird nur ein Teil der Teilchen sich durch die Fläche
A bewegen. Wenn wir die Fläche A als eine Seite eines
Würfels betrachten, in dem sich die Teilchen mit gleicher
Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen bewegen, dann wird 1∕6
aller Teilchen die Fläche A durchstossen. Der Teilchenfluss
durch A in der Zeit dt ist dann
| dNℓ | =  n  dt | (2.9) |
| dNr | =  n  dt | (2.10) |
Diese beiden Ausdrücke können mit Hilfe der Taylorentwicklung umgeschrieben werden:
| dNℓ | =  ![[ dn(z) ]
n (z) - -----ℓ
dz](td-2015323x.png) ![[ d ⟨v(z)⟩ ]
⟨v (z )⟩ - --------ℓ
dz](td-2015324x.png) dt | ||
=  ![[ ]
d ⟨v(z)⟩ dn(z) dn (z)d ⟨v (z)⟩ 2
n (z)⟨v(z)⟩ - n (z)--------ℓ - ⟨v(z)⟩ -----ℓ + --------------ℓ
dz dz dz dz](td-2015326x.png) dt | |||
| dNr | =  ![[ ]
dn(z)-
n (z) + dz ℓ](td-2015328x.png) ![[ ]
d-⟨v(z)⟩
⟨v (z )⟩ + dz ℓ](td-2015329x.png) dt | ||
=  ![[ ]
n (z)⟨v(z)⟩ + n (z ) d-⟨v(z)⟩ℓ + ⟨v(z)⟩ dn(z)ℓ + dn-(z-)d-⟨v-(z)⟩ℓ2
dz dz dz dz](td-2015331x.png) dt |
Der Netto-Teilchenstrom durch A in der Zeit dt ist
| dNℓ - dNr | = - ![[ d⟨v (z)⟩ dn(z) ]
2n(z) --------ℓ + 2⟨v(z)⟩ -----ℓ
dz dz](td-2015333x.png) dt | ||
= - ![[ ]
d⟨v (z)⟩ dn (z)
n(z) --------+ ⟨v (z)⟩------
dz dz](td-2015335x.png) ℓdt |
Wir nehmen an, dass die Temperatur konstant sei. Dann ist
die innere Energie konstant und damit die gemittelte
kinetische Energie der Teilchen damit ist aber auch 
konstant (und die Ableitung nach dem Ort null). Also
ist
 | (2.11) |
Die Grösse D heisst Diffusionskoeffizient. Die Einheit von D ist
![m2
[D ] = ---
s](td-2015338x.png) |
Wir können Gleichung (2.11) in eine Differentialgleichung umschreiben.
 | (2.12) |
Die transportierte Masse ist
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und die Dichteänderung
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wobei mmol die Molmasse und M die Masse eines Teilchens ist. Dann erhält man das
In drei Dimensionen lautet das 1.Ficksche Gesetz
 | (2.14) |
wobei 
A der Normalenvektor auf die kleine Fläche ΔA
ist.
| Durch die Diffusion wird Masse transportiert |
Das 1. Ficksche Gesetz wird oft auch mit der
Teilchenstromdichte 
formuliert. Mit den Beziehungen
| n | =  | ||
 n | =    ΔA |
wobei M die Teilchenmasse ist. Das erste Ficksche Gesetz lautet dann
 | (2.15) |
Aus der Massenerhaltung ṁ = -div 
oder der
Erhaltung der Teilchenzahl ṅ = -div 
n folgt das zweite
Ficksche Gesetz
 | (2.16) |
Analog zur obigen Rechnung können die Gesetze der Viskosität (Impulstransport) und der Wärmeleitung (Energietransport) hergeleitet werden.
Teilchenströme jsink und jDiff hervorgerufen durch die Gravitationskraft und die Diffusion
Wenn ein Teilchen, das einer Kraft F ausgesetzt ist, sich durch ein Medium mit Streuzentren bewegt, verliert es immer wieder Impuls an die Streuzentren. Seine Geschwindigkeit wird zuerst wachsen und mit der Zeit einen konstanten Wert annehmen, der proportional zu F ist.
 | (2.17) |
Die Proportionalitätskonstante μ heisst Beweglichkeit. Ihre Einheit ist
![m s
[μ] = ----= ---
sN kg](td-2015357x.png) |
Die Geschwindigkeit der sinkenden Teilchen ist
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Daraus resultiert mit der Teilchendichte n die Teilchenstromdichte
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Der Diffusionsstrom ist nach dem 1. Fickschen Gesetz (siehe Gleichung (2.13)) durch
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gegeben. Im Gleichgewicht müssen sich die beiden Ströme gerade kompensieren
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Die Lösung dieser Differentialgleichung ist
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Diese Gleichung, hergeleitet aus der Betrachtung der Diffusion und die isotherme barometrische Höhenformel und die daraus abgeleitete Boltzmannverteilung beschreiben die gleiche Situation. Deshalb müssen die Exponenten gleich sein.
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