2.6  Stösse von Molekülen, Brownsche Bewegung

2.6.1  Mittlere freie Weglänge

Zwei Teilchen mit Radius r stossen sich, wenn ihre Mittelpunkte weniger als 2a senkrecht zur Relativgeschwindigkeit auseinander liegen. Damit kann man Stösse so behandeln, wie wenn die beteiligten Teilchen sich wie punktförmige Teilchen bewegen würden, sich aber mit der Querschnittsfläche σ, dem Stossquerschnitt stossen.

Der Stossquerschnitt ist

In der Röhre mit der Länge x und dem Querschnitt σ, also dem Volumen σx gibt es bei einer Teilchenzahldichte n

Teilchen.

Ein Stoss tritt dann auf, wenn ein Teilchen in der Röhre ist, also wenn

Die mittlere freie Weglänge für ein Teilchen, das auf ein Ensemble von ruhenden Teilchen trifft, ist dann

Eine detailiertere Betrachtungsweise (nach [LS96]) betrachtet ein Volumen der Oberfläche A und der Dicke dz mit der Teilchenzahldichte n und dem Streuquerschnitt der einzelnen Teilchen σ. Die Teilchen in dem Volumen seien in Ruhe. Bei einer dünnen Schicht überdecken die Teilchen dann die Fläche

Die Wahrscheinlichkeit P, ein Teilchen zu treffen, ist

Wenn N Teilchen auf der Oberfläche eintreffen, dann werden

(2.1)

weggestreut werden. Wir können aus Gleichung (2.1) eine Differentialgleichung erster Ordnung konstruieren

Diese Gleichung für die Abschwächung eines Teilchenstrahles durch ein ruhendes atomares Medium hat die Lösung

(2.2) (Abschwächung eines Teilchenstrahls)

Wenn wir eine dickere Schicht betrachten, werden die unteren Teilchen durch die oberen abgeschattet. Dies geschieht mit der Wahrscheinlichkeit P = nσdz. In der Tiefe z stehen

Teilchen für die Streuung zur Verfügung. Die Anzahl gestreuter Teilchen ist deshalb

(2.3)

Die Streurate ist deshalb

(2.4)

Wie tief kann nun ein Teilchen im Mittel eindringen? Wir verwenden die allgemeine Formel

(2.5)

für den mit der Verteilungsfunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) f(z) gewichteten Mittelwert von G. Wir haben also

(2.6)

Dies ist das gleiche Resultat wie vorhin, aber mit Wahrscheinlichkeiten ausgerechnet.

Nun bewegen sich aber alle Teilchen. Wir müssen deshalb den Stoss zweier Teilchen in deren Schwerpunktsystem betrachten. Die relative kinetische Energie ist in dem Falle

mit m′ = der reduzierten Masse. Wenn m₁ = m₂ ist, gilt m′ = .

Wir kennen die Geschwindigkeitsverteilung im Laborsystem. Da im Mittel alle Schwerpunktsysteme die Geschwindigkeit null haben (das Gas als solches bewegt sich ja nicht) ist im Mittel die Relativgeschwindigkeit der Teilchen gleich verteilt wie die Geschwindigkeit einzelner Teilchen. Deshalb gilt:

und deshalb

Da die Dichte der Teilchen im Schwerpunktssystem gleich ist (eine Galileitransformation ändert keine Volumina), ist die Zeit bis zu einem Stoss kürzer, und zwar um . Deshalb reduziert sich die mittlere freie Weglänge auf

(2.7) (mittlere freie Weglänge)

Die genaue Betrachtung mit Gleichung (2.6) ergibt das gleiche Resultat. Man betrachtet die mittlere Anzahl Stösse pro Zeit eines Teilchens

Wir haben dabei über das Quadrat der Geschwindigkeit gemittelt, da Richtungen nicht relevant sind und da kinetischen Energien letztlich die relevanten Grössen sind. Im bewegten Bezugssystem müssen wir durch = ersetzen.

Für statistisch unabhängige Teichen mit den Geschwindigkeiten ₁ und ₂ ist

Dann ist

Da wir identische Teilchen betrachten folgt

Die Stosszahl pro Zeit ζ′ (auch Stossrate genannt) im Schwerpunktsystem ist

Diese Stossrate ändert sich nicht, wenn wir zum Laborsystem übergehen, da bei der Galilei-Transformation die Zeit invariant ist.

Die mittlere freie Weglänge ℓ im Laborsystem ist dann durch das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeit zur Stossrate ζ

(2.8)

Auch hier gibt die exakte Rechnung das gleiche Ergebnis wie die qualitative Argumentation.

2.6.2  Brownsche Bewegung

Das Teilchen wird dauernd durch Moleküle angestossen. Wir nehmen an, dass bei jedem Stoss Impuls übertragen wird.

Zwischen zwei Stössen legt das Teilchen im Mittel die Strecke ℓ zurück[LS96]. Die Richtung dieser Bewegung ist zufällig.

Die gesamte zurückgelegte Strecke setzt sich aus den k Einzelstrecken _i zusammen.

Wir mitteln nun über N Teilchen (Scharmittel) und erhalten

(2.9)

da bei einer rein zufälligen Wahl der _i (dies ist die Voraussetzung) gilt:

Wir verwenden die Verteilungsfunktion für Stösse – die Gleichung (2.3) – und erhalten mit Gleichung (2.5)

Da das Teilchen mit der Brownschen Bewegung sich praktisch nicht bewegt, verwenden wir die Gleichung für die freie Weglänge mit ruhenden Stosspartnern, also ℓ = 1∕(nσ) und erhalten

(2.10)

Die Anzahl Stösse berechnet sich aus der in der Zeit t zurückgelegten Distanz _Nt und der Distanz zwischen zwei Stössen ℓ:

Damit erhalten wir

In drei Dimensionen sind die mittleren Verschiebungsquadrate in die x-, die y- und die z-Richtung gleich. Damit bekommt man

Andererseits gilt (ohne Beweis)

und

Wir erhalten also für das Schwankungsquadrat der Position in einer Richtung

Diese Beziehung ist bekannt als Formel von Einstein[Ein05] und Smoluchowski[vS06]

n = eine Dimension (2.11) n = n = zwei Dimensionen (2.12) n = n = drei Dimensionen (2.13)

Die Brownsche Bewegung von Teilchen ist auch bekannt unter dem Namen „thermisches Rauschen“.