©2001-2015 Ulm University, Othmar Marti, PIC
[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenende] [Ebene nach oben] [PDF-Datei][Epub-Datei][Andere Skripte]

2.12  Wie breit ist das Maximum von Ω(E)?

(Siehe Reif, Statistical and Thermal Physics [Rei65, pp. 108])

Wir betrachten wieder zwei Systeme A und Aim Kontakt. A habe die Energie E, Adie Energie E= E0 -E, wobei E0 die Energie des gesamten Systems A0 = A + Asein soll. Wir entwickeln die Energie E um ihren Maximalwert mit

η = E - E˜

in eine Taylorreihe.

ln Ω(E ) = ln Ω(  )
 ˜E +       (  )
∂ ln Ω ˜E
-----------
   ∂Eη + 1-
2       ( )
∂2ln Ω  ˜E
-----------
   ∂E2η2 +
= ln Ω( ˜ )
 E + βη -1-
2λη2 + (2.1)
Dabei haben wir β = ln Ω∕∂E verwendet. Weiter haben wir
λ = - ∂2 ln Ω∕ ∂E2 =  - ∂β--
                       ∂E
(2.2)

definiert.

Für das System Agilt

 ′
˜E  = E0 - E˜

und damit

 ′   ˜ ′         ˜
E  - E  = - E + E  = - η
(2.3)

Damit bekommen wir

                 (  )          1
ln Ω′(E ′) = lnΩ ′ E˜′ - β ′η -  -λ′η2 + ...
                               2
(2.4)

Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten

ln Ω(E ) + ln Ω(E ′) ln Ω(  )
  ˜E + βη -1-
2λη2 + ln Ω(   )
 E˜′- βη -1-
2λη2
= ln (  (  )    ′(  ′))
 Ω  E˜ · Ω   ˜E + η      ′
(β - β ) -1
2-η2       ′
(λ + λ ) (2.5)

Dies ist eine quadratische Funktion in η. Damit diese ein Maximum hat, muss der Koeffizient von η null und der Koeffizient von η2 negativ sein. Deshalb gilt beim Maximalwert von Ω(E) = Ω()·Ω() (Die beiden Teilsysteme sind unabhängig!)

β = β ′

Dies bedeutet auch, dass die Temperaturen von A und A gleich sind.

Wir setzen λ0 = λ+λund können für die Wahrscheinlichkeiten p(E) Ω(E) = Ω()·Ω() schreiben:

              (  )
ln p(E ) = ln p  ˜E  -  1λ0η2
                     2
(2.6)

oder

          (  ) - 1λ E- ˜E 2
p (E) = p  ˜E  e  2 0(    )
(2.7)

Die Grösse λ0 = λ + λmuss grösser null sein, da sonst p(E) kein Maximum hätte. Wenn wir eines der beiden Teilsysteme sehr viel kleiner als das andere wählen, muss auch das λ des grösseren Systems grösser null sein. Deshalb gilt auch λ > 0 und λ> 0.

Mit Ω = Ef folgt

      (      )
          f       f
λ = -   - ˜2-  = -˜2 > 0
          E      E
(2.8)


Aus Gleichung (2.7) folgt, dass p(E) eine Gaussverteilung ist.

Die mittlere Energie eines Systems ist also die Energie des Maximums der Gaussverteilung.

Die Gaussverteilung selber ist gegeben durch

        --1----- (E-E˜)22-
p(E ) = σ√2-π-e   2σ

wobei σ die Standardabweichung ist. Der Vergleich mit Gleichung (2.7) ergibt:

      1
λ0 = --2
     σ

PIC

p(E) und ln(p(E)) für λ = 0.001 and = 2500.

Weit ausserhalb des Maximums gilt

1-  (     ˜)2
2λ0  E -  E   »  1

Dann ist

P (E ) ~ 0

und

||      ||     - 1
|E -  ˜E| »  λ02

Die Breite der Verteilung, ΔE* = ||     ˜||
|E -  E| kann man dann mit der Standardabweichung angeben, also

           1
ΔE  * = λ- 2
         0
(2.9)

Wir betrachten zwei Systeme A und Aim Kontakt. Das gesamte System sei A0 = A + A. Wenn A » Aist, dann ist ist

λ ~ λ0

      f      f
λ0 ~ -˜2 = ----2
     E     ⟨E ⟩
(2.10)

Wobei die Energie des Maximums der Verteilung der Zustände und ⟨E ⟩ die mittlere Energie ist. Die Breite der Verteilung ist dann

    *   ⟨E ⟩
ΔE   ~  √---
          f

oder

    *
ΔE--- ≈ -1√--
 ⟨E ⟩      f
(2.11)

Bei einem Mol Teilchen (f ~ 1024) ist die Breite der Verteilung ΔE-
⟨E⟩ 10-12.



[Nächste Seite] [Vorherige Seite] [vorheriges Seitenende] [Seitenanfang] [Ebene nach oben]
©2001-2015 Ulm University, Othmar Marti, PIC  Lizenzinformationen