(Siehe Reif, Statistical and Thermal Physics [Rei65, pp. 108])
Wir betrachten wieder zwei Systeme A und A′ im Kontakt. A habe die Energie E, A′ die Energie E′ = E0 -E, wobei E0 die Energie des gesamten Systems A0 = A + A′ sein soll. Wir entwickeln die Energie E um ihren Maximalwert Ẽ mit
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in eine Taylorreihe.
ln Ω | = ln Ω + η + η2 + … | ||
= ln Ω + βη -λη2 + … | (2.1) |
| (2.2) |
definiert.
Für das System A′ gilt
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und damit
| (2.3) |
Damit bekommen wir
| (2.4) |
Wir addieren die beiden Gleichungen und erhalten
ln Ω + ln Ω′ | ≈ ln Ω + βη -λη2 + ln Ω′- β′η -λ′η2 | ||
= ln + η -η2 | (2.5) |
Dies ist eine quadratische Funktion in η. Damit diese ein Maximum hat, muss der Koeffizient von η null und der Koeffizient von η2 negativ sein. Deshalb gilt beim Maximalwert von Ω(E) = Ω(Ẽ)·Ω′(Ẽ′) (Die beiden Teilsysteme sind unabhängig!)
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Dies bedeutet auch, dass die Temperaturen von A und A′ gleich sind.
Wir setzen λ0 = λ+λ′ und können für die Wahrscheinlichkeiten p(E) ∝ Ω(E) = Ω(Ẽ)·Ω′(Ẽ′) schreiben:
| (2.6) |
oder
| (2.7) |
Die Grösse λ0 = λ + λ′ muss grösser null sein, da sonst p(E) kein Maximum hätte. Wenn wir eines der beiden Teilsysteme sehr viel kleiner als das andere wählen, muss auch das λ des grösseren Systems grösser null sein. Deshalb gilt auch λ > 0 und λ′ > 0.
Mit Ω = Ef folgt
| (2.8) |
Die mittlere Energie eines Systems ist also die Energie des Maximums der Gaussverteilung.
Die Gaussverteilung selber ist gegeben durch
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wobei σ die Standardabweichung ist. Der Vergleich mit Gleichung (2.7) ergibt:
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p(E) und ln(p(E)) für λ = 0.001 and Ẽ = 2500.
Weit ausserhalb des Maximums gilt
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Dann ist
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und
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Die Breite der Verteilung, ΔE* = kann man dann mit der Standardabweichung angeben, also
| (2.9) |
Wir betrachten zwei Systeme A und A′ im Kontakt. Das gesamte System sei A0 = A + A′. Wenn A » A′ ist, dann ist ist
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| (2.10) |
Wobei Ẽ die Energie des Maximums der Verteilung der Zustände und die mittlere Energie ist. Die Breite der Verteilung ist dann
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oder
| (2.11) |
Bei einem Mol Teilchen (f ~ 1024) ist die Breite der Verteilung ≈ 10-12.