Berechnung der Flache unter der Gausskurve

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E.3 Berechnung der Fläche unter der Gausskurve

Gesucht ist

∫∞ G = e-Ax2dx - ∞

Dieses Integral kann in einer Dimension nicht gelöst werden. In zwei Dimensionen (x und y) können wir schreiben (G_x ist das Integral mit der Variable x geschrieben)

G_x·G_y	= ·
	= ∫ _-∞^∞∫ _-∞^∞e^-Ax²e^-Ay²dxdy
	= ∫ _-∞^∞∫ _-∞^∞e^-Adxdy

Wir schreiben nun G_x·G_y in Zylinderkoordinaten. Aus der Jacobi-Determinante bekommt man

dxdy = rdrdϕ

Also haben wir

G_x·G_y	= ∫ ₀^2π ∫ ₀^∞e^-Ar²rdrdϕ
	= 2π ∫ ₀^∞e^-Ar²rdr

Nun ist aber

-d-e-Ar2 = - 2Are -Ar2 dr

und damit

∫ re- Ar2dr = - -1-e-Ar2 2A

Wir bekommen also

( ) ∞ G ·G = 2π - -1-e-Ar2 = π- x y 2A 0 A

Schliesslich ist mit G = ∘ --------
Gx ·Gy

∫∞ ∘ --- e-Ax2dx = π- A - ∞

(E.1)

Das wichtige Integral von 0 nach unendlich hat dann den Wert

∞ ∫ -Ax2 1∘ -π- e dx = -- -- 0 2 A

(E.2)

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