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E.4  Mittlerer Geschwindigkeitsbetrag der Maxwell-Boltzmann-Verteilung

Wir berechnen

⟨v⟩ = ∫ 0∞vf(v) dv
= ∫ 0∞v∘-- 2- π( ) -m- kT32 v2e- 2 m2vkT dv
= ∫ 0∞∘ -2 -- π( m ) --- kT3 2 v3e-mv2 2kT- dv
= ∫ 0∞Bv3e-Av2 dv

mit A = -m- 2kT und B = ∘ -- 2 π( ) m-- kT32 . Zur Lösung machen wir die Substitution x = v2. Dann ist 2vdv = dx. Das Integral wird dann durch partielle Integration gelöst

⟨v⟩ = B -- 2 ∫ 0∞xe-Ax
= B- 2⌊ | ∫∞ ⌋ ⌈ -1--- Ax||∞ -1-- -Ax ⌉ x - A e |0 - - A e dx 0
= B- 2[ | | ] x- -Ax||∞ 1--1-- -Ax||∞ - A e |0 + A - A e |0
= B -- 2[ 1 ] 0 - ---(- 1) A2
= -B-- 2A2

Zurück eingesetzt ergibt

⟨v⟩ = ∘ ----- 8kT- πm (E.1)


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