2.5  Maxwell-Verteilung

In diesem Abschnitt wollen wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für eine bestimmte Geschwindigkeit berechnen. Der Begriff „Geschwindigkeit“ hier ist nicht präzise. Er könnte

• die Geschwindigkeitskomponente v_x in x-Richtung,
• den Betrag der Geschwindigkeit v =
• das Geschwindigkeitsquadrat v² = ·

meinen. Je nach gewählter Grösse müssen wir die Geschwindigkeiten anders gewichten. Bei klassischer (nicht- quantenmechanischer) Betrachtungsweise folgt die Wahrscheinlichkeitsdichte f(v) aus der Boltzmannverteilung, wobei die Energie die kinetische Energie ist.

(2.1)

C ist ein Normierungsfaktor, der so gewählt werden muss, dass das Integral von f(v) über den ganzen Geschwindigkeitsraum gleich eins ist. Wir betrachten hier den Betrag der Geschwindigkeit, so dass Richtungen beim Mitteln keinen Einfluss haben dürfen.

Je nach der Dimension des Raumes gibt es verschiedene Mittelungsarten:

1 Dimension

Bei der Betrachtung am Anfang haben wir (implizit den eindimensionalen Fall betrachtet.

2 Dimensionen

Hier müssen wir die Mittelung unabhängig vom Azimut durchführen

Berechnung der Anzahl Vektoren in einem Geschwindigkeitsintervall

Die Anzahl Vektoren mit v₀ < < v₀ + dv ist proportional zu 2πvdv

3 Dimensionen

Hier ist die Anzahl proportional zu 4πv²dv.

Die folgenden Betrachtungen sind alle für drei Dimensionen. Die Betrachtung der Anzahl möglicher Realisierungen der Geschwindigkeit v zeigt, dass damit das Maximum der Boltzmannverteilung bei E = mv² = 0 zur Position v > 0 verschoben wird.

Wir verwenden nun den Vorfaktor C′ und erhalten, mit der Integration über die Winkel

(2.2)

f(v) ist normiert, wenn

(2.3)

ist. Mit der Abkürzung

bekommen wir

(2.4)

Die mathematische Beziehung

hilft, das Integral zu lösen. Wir verwenden weiter Gleichung (E.2) (∫ ₀^∞e^-Av2dv = ) aus dem Anhang E.3. Wir können wie folgt umrechnen

1	= C′·4π·
	= C′4π· = C′·4π·	(2.5)

Damit wird der Vorfaktor

Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung lautet also f dv = 4π· v2e- dv = v2e- dv (2.6)

Mittelwerte einer Grösse g(v) bezüglich einer Wahrscheinlichkeitsdichte f(v) werden durch

berechnet.

Mit dieser Gleichung berechnen wir nun

Lineare Geschwindigkeiten wie v_x

(2.7)

da v_x eine ungerade Funktion ist und in f(v) nur die gerade Funktion v² = v _x² + v _y² + v _z² vorkommt.

Geschwindigkeitsquadrat v²

Mit der Abkürzung A = bekommen wir

	= ∫ v2f dv	=	∫ 0∞v4e-Av2 dv
	= ∫ 0∞e-Av2 dv	=
	= ···	=	3	(2.8)

d.h. = m = kT folgt aus Maxwell-Boltzmannverteilung unter der Berücksichtigung des Phasenraumes.

Geschwindigkeitsbetrag v

(Siehe Bronštein-Semendjajew [BSMM08] und Gleichung (E.1) im Anhang E.4)

= ∫ 0∞vf dv =

(2.9)

Welches ist die häufigste Geschwindigkeit v_max? Die häufigste Geschwindigkeit bei einer nicht-konstanten Wahrscheinlichkeitsdichte ist nicht die mittlere Geschwindigkeit. Wir finden v_max durch Ableiten

Unter Vernachlässigung konstanter Vorfaktoren bekommen wir

Also ist

Das Maximum der Maxwell-Boltzmann-Verteilung liegt also bei

(2.10)

Wenn wir die zu v_max gehörige kinetische Energie berechnen, erhalten wir

Dies ist das Resultat der naiven Mittelung zu Beginn des Kapitels über die Wärmelehre.

Schliesslich betrachten wir die asymptotische Entwicklung von f(v) für v → 0 und v →∞.

Für kleine v lautet die Taylorentwicklung von f(v) um v = 0

(2.11)

Die Notation O(v⁴) bedeutet, dass der erste nicht verschwindende weitere Summand von der Ordnung v⁴ ist. Höhere Ordnungen können vorkommen.

Der Anteil der Teilchen mit kinetischen Energien im Intervall im Vergleich zu allen Teilchen (Intervall ) ist

(2.12)