__________________________________________________________________________
Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.
_____________________________________________________________________
Versuch zur Vorlesung: | |
Dia- und Paramagnetismus (Versuchskarte EM177) | |
Materie im inhomogenen Magnetfeld zeigt drei verschiedene Verhalten:
__________________________________________________________________________
Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus
_____________________________________________________________________
Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie
wenn die Materie aus einem Kreisstrom bestände. Auf diesen
Kreisstrom wirkt, je nach Umlaufsinn eine Kraft zum hohen
oder zum niedrigen Feld. Das magnetische Moment der
Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu .
Beim Paramagnetismus und beim Ferromagnetismus zeigt das
magnetische Moment in die Richtung von
. Der Kreisstrom
ist induziert, das heisst, dass seine Richtung von der von
abhängt. Die resultierende Kraft ist die Biot-Savart-Kraft
(Siehe Gleichung (3.16)). Sie ist proportional zum Produkt
× d
. Wenn man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt,
wird auch d
umgekehrt. Die Richtung der Kraft ist als
unabhängig von der Richtung von
.
Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist
![]() | (4.1) |
wobei mz das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist.
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 162])
__________________________________________________________________________
Illustration zum Satz von Larmor
_____________________________________________________________________
Wir hatten postuliert, dass das Verhalten der Materie in einem Gradienten eines Magnetfeldes durch atomare Kreisströme gegeben ist. Wenn wir ein Modell (nach der Quantenphysik nicht realistisch) eines Atoms betrachten, bei dem ein einzelnes Elektron auf einer Bahn mit dem Radius r sich um den positiv geladenen Kern bewegt, ist der resultierende Strom
![]() | (4.2) |
Der Betrag des magnetischen Momentes ist dann
![]() | (4.3) |
Die Wirkung eines äusseren Magnetfeldes wird berechnet, indem man betrachtet, wie ein einzelnes Atom auf ein von null anwachsendes äusseres Feld reagiert.
__________________________________________________________________________
Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen definiert.
_____________________________________________________________________
Im Ausgangszustand ist die Zentripetalkraft 0 = −mev2∕r
die Coulombanziehung zwischen dem Elektron und dem Kern
sowie durch die gemittelte Coulombabstossung durch die
anderen Elektronen gegeben. Das anwachsende Magnetfeld
hat die gleiche Wirkung wie beim Betatron: es entsteht ein
tangentiales
-Feld, das das Elektron beschleunigt. Wir
setzen die z-Achse nach oben an. In einem rechtshändigen
System ist dann
Wir setzen diese Grössen ein, um vorzeichenrichtig zu rechnen. Aus dem Induktionsgesetz (Siehe Gleichung (4.22)) folgt
![]() | (4.4) |
Dabei ist ϕB = (−B)·A. Wir erhalten also
![]() | (4.5) |
Die Beschleunigung des Elektrons (nicht-relativistisch) ist durch das zweite Newtonsche Axiom gegeben
![]() | (4.6) |
Hier ist mE die Ruhemasse des Elektrons. Die Geschwindigkeitsänderung hängt also mit der Magnetfeldänderung wie folgt zusammen
![]() | (4.7) |
Der gesamte Geschwindigkeitszuwachs des Elektrons ist also
![]() | (4.8) |
wenn B das Feld im Endzustand ist. Der Betrag der
Geschwindigkeit hat also zugenommen. Nun bewirkt das
äussere -Feld die Lorentzkraft
![]() | (4.9) |
die, nach der rechten Hand-Regel, zum Kreiszentrum zeigt. Die Zentripetalkraft ist im Endzustand durch
![]() | (4.10) |
Da v » Δv ist, können wir nach Taylor entwickeln
Folien zur Vorlesung vom 02. 07. 2009: PDF | |
Aufgabenblatt 12 für das Seminar vom 08. 07. 2009 (Ausgabedatum 02. 07. 2009): (HTML oder PDF) | |
Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern. Die Larmorwinkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zunahme der Bahngeschwindigkeit und der magnetischen Induktion ist
![]() | (4.12) |
und vektoriell geschrieben
Larmorwinkelgeschwindigkeit
In einem mit der Winkelgeschwindigkeit |
Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor bildet die Grundlage des Verständnisses des Diamagnetismus.
__________________________________________________________________________
Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel
_____________________________________________________________________
Man kann den Satz von Larmor aus der Kreiseltheorie ableiten. Das Elektron ist, bei einer Bahn mit konstantem Radius, ein starrer Körper. Dieser Kreisel hat den Drehimpuls
![]() | (4.14) |
Das magnetische Moment des Kreisstromes ist nach Gleichung (4.3)
![]() | (4.15) |
Der Kreisel erfährt ein mechanisches Drehmoment
![]() | (4.16) |
Der Drehimpulssatz bedeutet, dass
![]() | (4.17) |
Wir erhalten also eine Präzessionsbewegung des
Drehimpuslvektors um
mit der Winkelgeschwindigkeit
![]() | (4.18) |
Wir erhalten die
vektorielle Schreibweise der Larmorfrequenz
|
__________________________________________________________________________
Berechnung des Diamagnetismus
_____________________________________________________________________
Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null.
![]() | (4.20) |
Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede
Elektronenbahn von zwei gegenläufigen Elektronen besetzt
ist. Ein diamagnetisches Atom hat deshalb, ohne äusseres
-Feld eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Diese
entsteht, weil sich die einzelnen Elektronenbewegungen über
die Zeit ausmitteln.
Wenn ein -Feld eingeschaltet wird, beginnt diese
kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz
zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld
entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment
A,
das zum Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung
nimmt man an, dass das Atom eine homogen geladene Kugel
ist mit der Ladungsdichte
![]() | (4.21) |
wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist.
__________________________________________________________________________
Ein einzelner Kreisstrom
_____________________________________________________________________
Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit
![]() | (4.22) |
Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom
![]() | (4.23) |
mit
![]() | (4.24) |
Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment
A entgegengesetzt zu
und entgegengesetzt zu
, hier
also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische Moment
ist
![]() | (4.25) |
oder
![]() | (4.28) |
Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 170])
__________________________________________________________________________
Atomare Kreisströme
_____________________________________________________________________
Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment pro Volumeneinheit
![]() | (4.29) |
Dabei ist A1 das magnetische Moment eines Atoms oder
einer Atomgruppe, wobei ΔV ein geeignetes Volumenelement
ist. Eine Probe heisst homogen magnetisiert, wenn
(
)
unabhängig vom Probenort ist.
Das externe Magnetfeld soll senkrecht zur Bildebene des
obigen Bildes sein. Die atomaren Kreisströme müssen dann in
der Bildebene liegen. Betrachten wir ein Flächenelement d,
das senkrecht zur Bildebene liegt, dann stellen wir fest, dass
alle Kreisströme zweimal durch dieses Ebenenelement gehen,
einmal in positiver und einmal in negativer Richtung. Bis auf
die Ströme an den Rändern heben sich alle Ströme auf. Das
heisst, dass das mittlere Stromdichtefeld
![]() | (4.30) |
ist, da dI(a) = ·d
. Nur die Ströme am Rand, die
Oberflächenströme mit der Stromdichte j, können deshalb die
Quelle der beobachteten makroskopischen Magnetisierung
sein. Für eine Probe der Höhe Δz ist der gesamte Strom an
der Oberfläche
![]() | (4.31) |
Diese makroskopischen Oberflächenströme erklären die
experimentellen Beobachtungen. Da für ein diamagnetisches
Atom entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist,
und da damit auch die makroskopische Magnetisierung
entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, wird
diese Probe wie beobachtet vom Magnetfeldgradienten
abgestossen.
Das magnetische Feld aller Kreisströme muss identisch mit
dem externen Feld sein. Nun ist aber das magnetische
Moment eines Kreisstromes in genügender Entfernung nicht
von der Fläche dieses Stromes abhängig. Deshalb muss die
Summe aller einzelner atomarer magnetischer Momente dem
magnetischen Moment des Oberflächenstromes gleich
sein.
![]() | (4.32) |
wobei n die Volumendichte der Atome ist. Die Oberflächenstromdichte
![]() | (4.33) |
ist gleich der Magnetisierung.
Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen
Momenten hat zum Beispiel das Elektron ein magnetisches
Moment, das von seinem Drehimpuls (Spin) herrührt.
__________________________________________________________________________
Elektronenspin
_____________________________________________________________________
Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes
magnetisches Moment s. Aus der Quantenmechanik weiss
man, dass die Projektion des Spins auf eine raumfeste Achse
einen festen Betragswert
![]() | (4.34) |
hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch
![]() | (4.35) |
oder mit 2πℏ = h
ist. Nach der Quantenmechanik gilt
![]() | (4.36) |
Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene
Kugel) wäre s = −(1∕2)
. Die Grösse des magnetischen
Momentes eines Elektrons ist
![]() | (4.37) |
auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton. Das magnetische Moment des Elektrons ist dann
![]() | (4.38) |
Hier ist g der Landé-Faktor, der für die klassische Quantenmechanik g = 2 ist und für die Quanten-Elektrodynamik (QED) abhängig von der Atomsorte. Für Wasserstoff (H) ist gWasserstoff = 2.002284, für 133Cs ist g133 Cs = 2.002540.
(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [?, pp. 262])
Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzelnen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches Moment nicht vollständig auf.
![]() | (4.39) |
Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung eines Bohrsche Magneton 1μB. Ohne äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.
Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir setzen an
Die Energie des magnetischen Dipols im Magnetfeld
hängt nur von Θ ab. Wir machen eine Koordinatentransformation
auf u = cos Θ. Die Energie ist dann
![]() | (4.41) |
Die Magnetisierung Mz in der z-Richtung, der Richtung des
Magnetfeldes , ist
![]() | (4.42) |
Bei endlichen Temperaturen müssen die potentiellen Energien Epot nach der Boltzmannstatistik verteilt sein, also
![]() | (4.43) |
mit x = μ0mH∕kBT. In der Koordinate u und nach Ausführen der trivialen Integration über ϕ lautet die Gleichung
![]() | (4.44) |
Wir wechseln auf û = −u und erhalten
![]() | (4.45) |
wobei L(x) die Langevin-Funktion ist. Also ist
Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also kT » mAB verifizierbar. Da für x « 1 die Reihenentwicklung L(x) = x∕3 + O(x2) gilt, bekommen wir das Curie-Gesetz
![]() | (4.47) |
Hier ist C die volumenbezogene Curie-Konstante
![]() | (4.48) |
Alternativ kann die Curie-Konstante auch mit molaren Grössen ausgedrückt werden, indem wir mmol = NAmA setzen.
![]() | (4.49) |
__________________________________________________________________________
Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für kleine B). MS ist die Sättigungsmagnetisierung.
_____________________________________________________________________
Versuch zur Vorlesung: | |
Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM175) | |
Ferromagnetische Atome haben genau so wie paramagnetische
Atome ein permanentes magnetisches Moment A. Im
Gegensatz zu den Paramagneten bleibt jedoch auch ohne
äusseres Magnetfeld ein magnetisches Moment übrig. Die
Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes kann mit der
unten stehenden Apparatur gemessen werden.
__________________________________________________________________________
Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis.
_____________________________________________________________________
Versuch zur Vorlesung: | |
Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM205) | |
Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den Sekundärkreis
![]() | (4.50) |
Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche Ableitung der Ladung.
![]() | (4.51) |
Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1(t), der die Frequenz ω hat. Also ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)∕dt ≈ ωQ(t) ist. Wenn 1∕RC « ω ist, kann der erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt
![]() | (4.52) |
und damit für die Spannung am Kondensator
![]() | (4.53) |
Der Ausgangsstrom I(t) selber erzeugt das anregende Feld.
__________________________________________________________________________
Hysteresekurve eines Ferromagneten
_____________________________________________________________________
Diese Abbildung zeigt das skizzierte Resultat des obigen
Versuches. Interessant ist, dass bei I = 0, also ohne anregendes
Magnetfeld, trotzdem ein Feld B ⇔ 0 gemessen wird.
Diese Feld kann nur von einer nichtverschwindenden
Magnetisierung ohne äusseres Feld herrühren. Diese
nichtverschwindende Magnetisierung ⇔ 0 ist das Kennzeichen
eines Ferromagneten.
Andererseits gibt es zwei Punkte, bei denen das resultierende Magnetfeld null ist, obwohl ein äusseres Magnetfeld angelegt wurde. Dies kann nur sein, wenn die Magnetisierung im Material das äussere Feld gerade kompensiert.
Weiter nimmt für sehr grosse anregende Felder das resultierende Magnetfeld kaum mehr zu. Man spricht von einer Sättigung der Magnetisierung.
Versuch zur Vorlesung: | |
Magnetische Bezirke (Versuchskarte EM178) | |
_______________________________________________
Ferromagnetische Domänen
_____________________________________________________________________
Das beobachtete Verhalten kann mit ferromagnetischen Domänen, auch Weisssche Bezirke genannt, erklärt werden. Das Material besteht, wie oben skizziert, aus einer grossen Zahl kleiner Bereiche, die jeder seine eigene Orientierung der Magnetisierung haben. Die gemittelte Magnetisierung hängt davon ab, wie zufällig die Domänen verteilt sind.
__________________________________________________________________________
Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld
_____________________________________________________________________
Wird ein äusseres Magnetfeld angelegt, beginnen die Domänen, die bezüglich des externen Feldes richtig orientiert sind, zu wachsen, die anderen schrumpfen. Die makroskopische Magnetisierung wächst, hinkt aber hinter der Anregung zurück.
Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse. |
Bei der Änderung der Grösse der Domänen müssen Domänenwände verschoben werden. Dies kostet Energie und zeigt sich als Hysterese. Dieser Energieverlust bei der Grössenänderung stabilisiert aber auch die Domänen.
__________________________________________________________________________
Löschen des remanenten Magnetismus
_____________________________________________________________________
Um die makroskopische Orientierung der Domänen zum Verschwinden zu bringen, muss man die ferromagnetische Substanz langsam aus einem Wechselfeld entfernen. Das Bild oben zeigt die resultierenden Hysteresekurven. Die Hystereseschlaufe wird so quasikontinuierlich auf einen Punkt, den Ursprung des Koordinatensystems zusammengezogen.
Anwendung: Entmagnetisieren von Schraubenziehern, Löschen von Tonbändern.