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C.8  Vektoridentitäten

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [?, pp. 190])

Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und f ihre Längen, k eine Zahl und φ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der Vektoren in kartesischen Koordinaten sind

    (  a  )
    |   x |
a = (  ay )
       az

Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.

C.8.1  Produkte mit Vektoren

Doppeltes Vektorprodukt

a × (b × c) = (a·c )b − (a ·b )c
(C.1)

Das Spatprodukt oder gemischte Produkt berechnet das Volumen des durch a,b,c aufgespannten Spates. Das Vorzeichen ist + bei gerader Permutation von a,b,c und bei ungerader Permutation.

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Drei Vektoren sind komplanar, wenn

(a × b)·c  = 0
(C.3)

Jacobi-Identität

a ×  (b × c) + b × (c × a ) + c × (a × b) = 0
(C.4)

Lagrangesche Identität

(a × b)·  (c × f ) = (a·c )(b·f  ) − (a ·f )(b·c )
(C.5)

Vierfaches Vektorprodukt

(a × b ) × (c × f ) = ((a × b)·f )c − ((a × b )·c )f
(C.6)

C.8.2  Ableiten von Vektoren

Ableiten eines Vektors

         (  ax )    ( dax )    (  ˙ax )
d-     d-|     |    |  ddaty-|    |     |
dta =  dt(  ay ) =  (  ddatz )  = (  ˙ay )
            az         dt-        ˙az
(C.7)

Ableitung eines Produktes

d- (φ(t)a(t)) = dφ-a + φ-d a
dt              dt      dt
(C.8)

Ableitung des Skalarproduktes

d-          da-         db-
dt (a ·b ) = dt ·b + a · dt
(C.9)

Ableitung des Vektorproduktes

-d (a × b) = da- × b + a × db-
dt            dt           dt
(C.10)

Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist a·a = a2 = const. Aus Gleichung (C.9) folgt

       2
0 = da--=  d- (a ·a ) = da-·a+a  · da- = da-·a       ⇒      da-⊥a
     dt    dt          dt          dt    dt                dt
(C.11)

Taylorentwicklung einer Vektorfunktion

                   da ||   τ2 d2a ||        τn  dna ||
a(t+  τ) = a(t)+ τ ---|| + ------2|| + ...+ --- --n-||+ ...
                    dt|t   2  dt |t       n!  dt  |t
(C.12)

C.8.3  Vektorableitungen bei Skalarfeldern

(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [?, pp. 668])

Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung

∂φ (r)       φ(r + 𝜀c ) − φ (r)
------ = lim  -----------------
  ∂c     𝜀→0         𝜀
(C.13)

Ableitung ∂φ(r)
 ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂φ (r)      ∂φ (r)
------ = |c|------
  ∂c         ∂ec
(C.14)

Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem stärksten Abfall (Einheitsvektor n)

∂φ(r-)=  ∂φ-(r)cos (∠e ,n )
 ∂ec      ∂n          c
(C.15)

C.8.4  Vektorableitungen bei Vektorfeldern

Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung c

∂a-(r)       a(r-+-𝜀c-) −-a-(r)
  ∂c   = l𝜀im→0         𝜀
(C.16)

Ableitung ∂a(r)
 ∂ec in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c

∂a-(r) = |c| ∂a-(r)
  ∂c         ∂ec
(C.17)

Richtungsableitung einer Vektorfunktion

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Gradient eines Produktes

grad  (φ1 φ2) = φ1grad  φ2 + φ2grad  φ1
(C.19)

Kettenregel beim Gradienten

                dφ
grad  φ1 (φ2 ) = ---1grad φ2
                dφ2
(C.20)

Gradient eines Skalarproduktes

grad  (a·b ) = (a·grad   )b+ (b·grad  ) a+a ×rot  b+b ×rot  a
(C.21)

Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

grad  (r·k ) = k
(C.22)

Gradient eines Vektors v = (vx,vy,vz) T

          ( ∂vx(x,y,z)- ∂vx(x,y,z)  ∂vx(x,y,z))
          | ∂vy∂(xx,y,z)  ∂vy∂(yx,y,z)  ∂vy∂(xz,y,z)|
grad v =  |( --∂x---- ---∂y---  ---∂z---|)
            ∂vz(x,y,z)- ∂vz(x,y,z)  ∂vz(x,y,z)
              ∂x        ∂y        ∂z
(C.23)

Divergenz eines Produktes

div (φa ) = φdiv a + agrad  φ
(C.24)

Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor r

             r ·k
div (r·k ) = -----
              |r|
(C.25)

Divergenz eines Vektorproduktes

div (a × b) = b·rot  a −  a·rot  b
(C.26)

Rotation eines Produktes

rot  (φa ) = φrot a + grad  φ × a
(C.27)

Rotation eines Vektorproduktes

rot (a × b) = (b·grad   )a − (a ·grad )b+adiv  b − bdiv a
(C.28)

Rotation eines Potentialfeldes

rot  (grad  φ) = 0     ∀φ
(C.29)

Divergenz einer Rotation

div  (rot a) = 0     ∀a
(C.30)

Rotation einer Rotation

rot (rot a ) = grad  (div a) − div (grad  a)
(C.31)

Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten

                     (                  )
                       -∂2-   ∂2--  -∂2-      ∂2f-  ∂2f-  ∂2f-
Δf  = (div grad )f =   ∂x2 +  ∂y2 + ∂z2   f = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2
(C.32)

und für Vektorfunktionen

                     (  ∂2    ∂2     ∂2 )      ∂2a   ∂2a  ∂2a
Δa  = (div grad )a =   ---2 + --2-+ ---2  a =  --2-+ --2+ ---2
                       ∂x     ∂y    ∂z         ∂x    ∂y    ∂z
(C.33)

C.8.5  Graphische Darstellung der Ableitungen in drei Dimensionen

C.8.5.1. Gradient in kartesischen Koordinaten

Wenn wir eine Funktion y = f(x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen Landschaft auffassen, dann ist

df (x )
------
  dx

die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f(x) ist die Höhenangabe über einer eindimensionalen Grundfläche.

Wir können eine Funktion f(x,y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen Grundfläche betrachten.

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Gradient als Richtung der stärksten Steigung

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Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:

          (        )
            ∂f(x,y)
grad f =    ∂f∂(xx,y)
              ∂y

Eine skalare Funktion f(x,y,z) definiert eine „Höhenlandschaft“ über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden. Hier ist die Definition

Gradient einer skalaren Funktion f(x,y,z) von drei Variablen

          (          )
             ∂f(x∂,xy,z)
grad  f = ||  ∂f(x,y,z) ||
          (  ∂f∂(xy,y,z) )
             --∂z---

C.8.5.2. Divergenz in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten eine Vektorfunktion

          (         )
            fx(x,y )
f (x, y) =
            fy(x,y )

_________________________________________

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Vektorfeld mit Umrandung

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Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr herausfliesst. Die „Fläche“ ist dx. In die x-Richtung heisst das, dass

F ·dx  =  f (x+dx,  y)− f (x,y) =⇒  F  =  fx(x +-dx,y)-−-fx(x,y)-
 x         x            x           x              dx

fliesst.

In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die x-Komponente, fx(x,y) und fx(x,y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung

                                        f (x, y + dy ) − f (x, y)
Fy·dy  = fy(x, y+dy )− fy (x, y) = ⇒ Fy =-y---------------y-----
                                                  dy

Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Mit

 lim  F  =  lim  fx(x-+-dx,y-) −-fx(x,y-)= ∂fx(x,-y)
dx→0  x   dx→0           dx                 ∂x

und

               f (x,y + dy) − f (x,y)    ∂f (x,y)
 lim  Fy =  lim  -y--------------y------=  --y------
dy→0      dy→0           dy                 ∂y

erhalten wir für die

Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen

div f(x,y ) = ∂fx(x,y)-+  ∂fy(x,y)-
                 ∂x          ∂y

Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektorfunktion ist dann

            (            )
            | fx(x,y, z) |
f(x,y, z) = ( fy(x,y, z) )
              fz(x,y, z)

Wir definieren

Divergenz einer Vektorfunktion f(x,y,z) in drei Dimensionen

div f(x,y,z ) = ∂fx(x,y,z-)+  ∂fy(x,y,z)-+  ∂fz(x,y,z)-
                    ∂x            ∂y            ∂z

C.8.5.3. Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion

          (         )
            fx(x,y )
f (x, y) =   f (x,y )
             y

_________________________________________

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Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation

_____________________________________________________________________

Wir nehmen nun an, dass die durch f(x,y) definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind, wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die z-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen

                                       fy(x-+-dx,-y) −-fy(x,y)
Rydx  = fy(x+dx, y )− fy(x,y ) − → Rx =           dx

und

                                               f (x,y + dy ) − f (x,y )
Rxdy  = − (fx(x,y + dy) − fx(x,y )) =⇒  Rx  = − -x--------------x------
                                                         dy

Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive Grösse zu haben, wird bei Rx ein „“ eingefügt. Mit

               fy(x-+-dx,y-) −-fy(x,-y)  ∂fy(x,-y)
dlixm→0 Ry = dlixm→0           dx           =     ∂x

und

 lim  Rx = −  lim  fx(x,y-+-dy-) −-fx-(x,-y) = − ∂fx(x,-y)
dy→0        dx→0           dx                   ∂y

ist die Stärke der Drehung oder die

Rotation in zwei Dimensionen

     ∂fy (x, y)   ∂fx(x, y)
R  = ---∂x----−  ---∂y----

Diese R zeigt in die +z-Richtung, wenn wir den zweidimensionalen Raum im dreidimensionalen eingebettet betrachten. Für eine dreidimensionale Vektorfunktion

            ( f (x,y, z) )
            |  x         |
f(x,y, z) = ( fy(x,y, z) )
              fz(x,y, z)

kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene (Rotation um z) auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also

Rotation in drei Dimensionen

                (             ∂f(x,y,z) )
                   ∂fz(x∂,yy,z)−  -y∂z----
rot f (x,y,z) = ||  ∂fx(x,y,z)−  ∂fz(x,y,z)-||
                (  ∂fy∂(xz,y,z)   ∂fx∂(xx,y,z)-)
                      ∂x   −    ∂y

Man kann sich die Berechnung gut merken mit

Gedankenstütze für Rotation

                 ( -∂ )    (  f (x,y,z) )
                 | ∂x∂ |    |   x        |
rot  f(x,y, z) = ( ∂y∂ )  × (  fy(x, y,z) )
                   ∂z         fz(x, y,z)

C.8.6  Totale Ableitung bei mitgeführten Koordinatensystemen

Wenn v = -d
dtr ein konstanter Geschwindigkeitsvektor ist und diese Grösse an einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Ort beobachtet wird, dann gilt (Siehe Jackson[?, p212]):

d-=  ∂--+ v· ∇  =  ∂-+  v·grad
dt   ∂t            ∂t
(C.34)

wobei ddt die totale Ableitung im raumfesten Koordinatensystem und ∂-
∂t die lokale, mitgeführte Ableitung ist. Diese Gleichung stammt von der Kettenregel:

pict

In drei Dimensionen muss mit dem Gradienten gerechnet werden:

pict

Dabei bedeutet die partielle Ableitung ∂∕∂t dass man nur nach der Zeitvariable ableitet, nicht aber nach der impliziten Zeitableitung in r.

Mit Gleichung (C.28) kann man schreiben

pict

oder

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Nun ist div B = 0. Weiter ist div ( d  )
 dtv = d
dtdiv v =  d
dt(3) = 0 und grad v = d-
dtgrad r = d-
dtE = 0, wobei E die 3 mal 3 Einheits-Diagonalmatrix ist. Damit haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit

pict

und

-dB  =  ∂-B  + v· ∇B   =  ∂-B  + ∇  × (B ×  v)
dt      ∂t                ∂t
(C.40)



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