Up: Grundkurs IIIa 1 für Physiker
Übungsblatt 4
Grundkurs IIIa für Physiker
Othmar Marti, (othmar.marti@physik.uni-ulm.de)
3. 6. 2002
Reflexion, Brechung, Fermatsches Prinzip,
Polarisation, Fresnelsche Formeln, Geometrische
Optik, PDF-Datei
- Ein Lichtstrahl entlang der optischen Achse (hier die x-Achse) kann an jedem
-Punkt durch den Abstand
von der x-Achse und seine Steigung in dem Punkt charakterisiert werden.
Wir haben also
Wenn wir die Position des Lichtstrahls an einem Punkt
betrachten wollen, dann können wir schreiben:
Die Matrix
nennen wir die Transformationsmatrix.
- Berechnen sie die Transformationsmatrix für einen ebenen metallischen Spiegel, der senkrecht zur optischen
Achse steht.
- Berechnen sie die Transformationsmatrix für Reflexion einer ebenen, senkrecht zur optischen
Achse stehenden dielektrischen Platte mit dem
Brechungsindex
.
- Berechnen sie die Transformationsmatrix für Transmission einer ebenen, senkrecht zur optischen
Achse stehenden dielektrischen Platte mit dem
Brechungsindex
und der Dicke
.
- Berechnen Sie die Transformationsmatrix für einen konkaven sphärischen Spiegel in paraxialer
Näherung.
- Berechnen Sie die Transformationsmatrix für einen konvexen sphärischen Spiegel in paraxialer
Näherung.
- Zeichnen Sie das Bild eines Objektes
, das durch zwei Spiegel
und
erzeugt
wird, die im Winkel von
zueinander stehen. Untersuchen Sie einmal den Fall, in dem
senkrecht zu der
gemeinsamen Kante ist, und einmal den Fall, in dem
parallel zu dieser Kante ist.
- Das Prisma von Porro ist ein System aus zwei totalreflektierenden Prismen, das die
unter l. beschriebene Abbildung über zwei zueinander senkrechte Richtungen realisiert. Was
macht dieses System interessant?
- Der sphärische Spiegel als Autorückspiegel.
Welches sind die Eigenschaften eines sphärischen Spiegels, der von einem
vom Scheitelpunkt entfernten
Objekt ein aufrechtes, l0-fach verkleinertes Bild erzeugt? Veranschaulichen Sie das Problem geometrisch!
- Untersuchung des sphärischen Spiegels auf der Grundlage des Fermatschen Prinzips.
Geben Sie einen Ausdruck für die optische Weglänge
zwischen zwei konjugierten Punkten
(Gegenstand) und
(Bild) nach
Reflexion an einem sphärischen Spiegel mit Radius
an. Leiten Sie die
Abbildungsgleichung mit Ursprung im Scheitelpunkt ab!
- Gesichtsfeld eines Autorückspiegels
Ein Rückspiegel besteht aus einem konvexen Spiegel, der durch einen Rand mit 4 cm Radius begrenzt ist. Seine
Brennweite hat den Absolutwert 50 cm. Das Auge befindet sich auf der optischen Achse in l m Entfernung vom
Spiegel.
Berechnen Sie den Radius
des kreisförmigen sichtbaren Teils der Ebene, die senkrecht zu der optischen
Achse und 100 m vom Spiegel entfernt ist. Vergleichen Sie dieses Gesichtsfeld mit dem eines ebenen Spiegels
mit gleichem Radius!
- Ein Metallspiegel ändert die Steigung, aber nicht den Abstand von der Achse
- Die Amplitude bei der Reflexion an einer dielektrischen Schicht muss mit den Fresnelschen Formeln berechnet
werden. Für die Transformationsmatrix gibt es jedoch keine Auswirkungen. Also ist
- Bei der Transmission muss das Snelliussche Gesetz in der Matrixschreibweise angegeben werden.
Es ist
.
Die Steigung ist
Aufgelöst nach
bekommt man
Also
Wenn
und
dann gilt:
Die Matrix ist
Insgesamt bekommt man mit
- Das Abbildungsgesetz ist
Die Steigung ist
und
Eingesetzt bekommt man
oder
Damit auch
Die Matrix wird
- Das Resultat ist das gleiche wie bei der vorherigen Aufgabe, aber Vorzeichen
beachten.
-
- Die beiden Aufgaben sind in der Zeichnung gelöst:
-
- Links ist die Orientierung parallel zur Kante gezeigt. Diese Orientierung ändert sich nicht.
- Rechts ist das Objekt senkrecht zur Kante orientiert. Nach der Reflexion ist das Objekt von oben nach
unten gespiegelt.
- In beiden Fällen ist das resultierende Objekt parallel zum ursprünglichen.
- Das Porro-Prisma besteht aus zwei Spiegeln nach der Aufgabe 2. Die gemeinsame Kante der
Spiegel steht senkrecht aufeinander. Deshalb werden alle Objekte um
gedreht. Zusammen mit einem
Galilei-Fernrohr erhält man ein aufrechtes Bild. Zudem wird die optische Achse verschoben.
Anwendung: Ferngläser.
- Wir betrachten das Problem auf einer optischen Achse.
Die Abbildungsgleichung lautet
Der Abbildungsmassstab ist
Der konvexe Spiegel muss den Gegenstand näher an das Auge bringen und soweit verkleinern, dass das
Bild nur
so gross ist.
Wenn
der Abstand vom Spiegel zum Auge ist,
die Brennweite des Auges,
die Brennweite
des Konkavspiegels,
die Gegenstandsweite.
Ohne Spiegel ist die Vergrösserung
Mit Spiegel ist das Bild (= 2. Objekt) bei
und seine Vergrösserung.
. Dieses Bild ist für das Auge der Gegenstand, mit einer Gegenstandsweite
.
Also ist die Vergrösserung
Die Gesamtvergrösserung mit Spiegel ist
(
)
Wir setzen
als den Vergrösserungsfaktor. Die Brennweite
ist dann
Wir erhalten mit
und
.
-
- Für den ebenen Spiegel mit dem Durchmesser
benützen wir den Strahlensatz
-
, also
- Beim Konvexspiegel scheinen alle Strahlen vom Bildpunkt auszugehen.
- Mit
und
und
erhalten wir
oder
- Wir wenden den Strahlensatz an und erhalten
, also
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Grundkurs IIIa für Physiker
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Othmar Marti
Experimentelle Physik
Universiät Ulm