Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik

Dielektrizitätskonstante

Gleichung (2.4)

$$\epsilon_0 = 8.8544 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N\; m^2} \i... ...lon@$\epsilon_0$ Dielektrizit{\uml a}tskonstante des Vakuums}$$

Coulomb-Gesetz

Gleichung (2.5)

$$\vec F(\vec r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r_{12}^2} \frac{\vec r_{12}}{r_{12}}$$

Elektrisches Feld

Gleichung (2.7)

$$\vec E(\vec r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r_{12}^2} \frac{\vec r_{12}}{r_{12}}$$

Elektrische Feldlinien

• Elektrische Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.
• Die Anzahl der von einer Ladung ausgehenden oder auf einer Ladung endenden Feldlinien ist proportional zur Ladungsmenge.
• Ihre Dichte ist proportional zum elektrischen Feld.

Elektrisches Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

Gleichung (2.10)

$$\vec E(\vec r_0) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\i... ...\vert^2}\frac{\vec r_0 -\vec r}{\vert\vec r_0 -\vec r\vert}dV$$

Ladung in einem Raumgebiet

Gleichung (2.12)

$$Q = \displaystyle\int\limits_{V(S)} \rho_{el}(\vec r) dV$$

dielektrische Verschiebung

Gleichung (2.15)

$$\vec D(\vec r) = \epsilon_0 \vec E(\vec r)$$

elektrischer Fluss

$\Phi = \displaystyle\int_{\textrm{Oberfl{\uml a}che}} \vec E \cdot d\vec a$

Gausssches Gesetz

Gleichung (2.14)

$$\begin{eqnarray*} \displaystyle\int\limits_{\textrm{Kugeloberfl{\uml a}che}} \v... ...sin\Theta d\Theta d\varphi\nonumber\\ &=& \frac{Q}{\epsilon_0} \end{eqnarray*}$$

Differentialform des Gaussschen Gesetzes

Gleichung (2.19)

$$\textrm{div} {}\vec D (\vec r) = \rho_{el} (\vec r)$$

Leiter

Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.

Potentielle Energie einer Probeladung

Gleichung (2.40)

$$E_{pot}\left( \vec{r}_{2}\right) =E_{pot}\left( \vec{r}_{1}\... ...\epsilon _{0}} \frac{qQ}{r^{2}}\frac{\vec{r}}{r}\cdot d\vec{r}$$

Elektrostatisches Potential und Spannung

Gleichung (2.48)

$$\varphi(\vec r) = U\left( \vec{r}\right) =\frac{Q}{4\pi \epsilon _{0}}\frac{1 }{r}=\frac{E_{pot}\left( \vec{r}\right) }{q}$$

Potentielle Energie und Potential

Gleichung (2.51)

$$\begin{array}{*{60}c} {\vec F\left( {\vec r} \right)} & _{}... ...eft( {\vec r} \right)=U\left( {\vec r} \right)} \\ \end{array}$$

Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung

Gleichung (2.54)

$$U(\vec r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\limits \frac{\rho(... ...mits \frac{dq(\vec r)}{\left\vert\vec r -\vec r_i\right\vert}$$

Poisson-Gleichung

Gleichung (2.69)

$$\Delta U\left( \vec{r}\right) =-\frac{\rho _{e\ell }\left( \vec{r}\right) }{\epsilon _{0}}$$

Kapazität

Gleichung (2.77)

$$U_{j}-U_{i}=\frac{Q}{C_{ji}}=V_{ji}$$

Parallelschaltung von Kondensatoren

Gleichung (2.86)

$$C=\sum\limits_{i=1}^{n}C_{i}$$

Reihenschaltung von Kondensatoren

Gleichung (2.89)

$$\frac{1}{C_{ges}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{C_{i}}$$

Energiedichte des elektrostatischen Feldes

Gleichung (2.96)

$$w_{el}=\frac{\epsilon_{0}E^{2}}{2}=\frac{\vec{E}\cdot\vec{D}}{2}$$

Maxwell-Spannung

Gleichung (2.99) und Gleichung (2.101)

$$\sigma_{Maxwell}=\lim\limits_{\Delta A\rightarrow 0}\frac{\Delta \vec{F} \left( \vec{r}\right) }{\Delta A}$$

$$\sigma_{Maxwell}=\frac{F}{A}=\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}=\vec{D} \cdot \vec{E}$$

induziertes Dipolmoment

Gleichung (2.104)

$$\vec{p}_{ind}=\frac{\left( Ze\right) ^{2}}{k}\cdot\vec{E}=\alpha\vec{E}$$

Lorentz-Beziehung

Gleichung (2.119)

$$E_i = \frac{1}{3\epsilon_0}P$$

dielektrische Suszeptibilität

Gleichung (2.111)

$$\vec{D}=\epsilon\epsilon_{0}\vec{E}=\left( 1+\chi_{e}\right) \epsilon _{0}\vec{E}$$

Stetigkeit der Feldkomponenten

An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt

• die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und
• die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche

sind stetig.

Stetigkeitsbedingung für das Potential

$$\begin{eqnarray*} \varphi_1 & = & \varphi_2 \nonumber\\ \epsilon_1 \frac{\par... ...artial n} & = & \epsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n} \end{eqnarray*}$$