4.6  Die Fresnelschen Formeln

	Versuch zur Vorlesung:
	Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)

Die Reflexion und die Brechung von Licht wird durch die Fresnelschen Formeln bestimmt. Wir verwenden die Definitionen

• Der einfallende und der reflektierte Strahl definiert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.
• Licht, dessen Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heisst s-polarisiertes Licht.
• Licht, dessen Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heisst p-polarisiertes Licht.
• Für die Intensität des Lichtes gilt in nichtmagnetischen Medien I ∝E² , wobei ϵ = n² ist.
• Genauer gilt für die Intensität: I = E² = E² für sinusförmige Wellen mit der Amplitude E.

Im folgenden betrachten wir nur nichtmagnetische Materialien.

Wir beginnen die Rechnungen für Licht mit einer Polarisation senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).

Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten ε und ε′ sind, dann muss der Energiestrom an der Grenzfläche kontinuierlich sein, also

(4.1)

wobei α und β die Winkel zur Oberflächennormalen sind, E_e ist die E-Feldkomponente des einfallenden Lichtes parallel zur Oberfläche, E_r die des reflektierten (beachte das Vorzeichen) und E_g die des gebrochenen.

Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als

(4.2)

Die Komponente von parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist

(4.3)

Wir beachten, dass a² -b² = (a-b)(a + b) ist und dividieren die beiden Gleichungen (4.2) und (4.3) durcheinander. Wir erhalten

(4.4)

Nach dem Brechungsgesetz ist n′∕n = sin α∕ sin β. Wir setzen dies ein und erhalten

(4.5)

Mit E_e + E_r = E_g bekommen wir

Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation Er = Ee = -Ee Eg = Ee (4.6)

• Wenn α > β, wenn also das Licht aus dem optisch dünneren Medium auf das optisch dichtere Medium trifft, haben E_e und E_r unterschiedliche Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um π bei der Reflexion auf.
• Bei der Reflexion am dünneren Medium α < β wechselt sin(α - β) das Vorzeichen. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion.
• Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren und unter Berücksichtigung der relativen Dielektrizitätszahl ε und der relativen Permeabilität μ.
• Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man E_r = -E_e = -E_e

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für nichtmagnetische Materialien Ir = Ie = Ie Ig = Ie (4.7)

Wir haben die einfallende Intensität I_e = nE_e als Referenz verwendet. Deshalb erscheint der Vorfaktor für I_g.

Bei p-polarisiertem Licht ist die Bedingung für die Stetigkeit der Parallelkomponente von durch

(4.8)

gegeben. Weiter gilt immer noch die Energieerhaltung

(4.9)

Teilen wir die beiden Gleichungen, erhalten wir

(4.10)

Wir wenden wieder das Snelliussche Gesetz an

(4.11)

Damit müssen wir das Gleichungssystem

lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und die zweite mit sin β und addieren

(4.13)

Mit sin(α±β) cos(α∓β) = sin α cos α± sin β cos β wird die obige Gleichung

(4.14)

Um E_r zu bekommen multiplizieren wir die obere Gleichung in Gleichung (4.12) mit cos β und die untere mit sin α, subtrahieren und erhalten

(4.15)

Dies ist auch

(4.16)

Damit erhält man

Fresnelsche Formeln (p-Polarisation): Er = -Ee Eg = Ee (4.17)

Wenn in der Gleichung für E_r α + β(α) = π∕2 ist, divergiert der Nenner, wir erhalten also E_r(α = π∕2 - β(α)) = 0. Dies ist der Brewster-Winkel.

Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten

Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation): Ir = Ie Ig = Ie (4.18)

Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel zur Oberfläche berechnen. Der einfallende Energiefluss ist

(4.19)

Der Fluss der reflektierten Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist

(4.20)

Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche

(4.21)

Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation

Ie,p,⊥ =	nEe2 cos α
	= Ir,p,⊥ + Ig,p,⊥
=	nEe2 cos α
	+ n′Ee2 cos(β(α))
=	Ee2
	+
=	Ee2
	+
	·-1
=	Ee2 cos α
	+
	·-1	(4.22)

gilt.

Wir müssen also den Wert des Bruches

X =
	·-1

berechnen.

X =
	·-1	(4.23)
=
	·-1
=
	+
	·-1
=
	+
	·-1
=
	+
	·-1

Wir setzen A = cos[2α - 2β] und B = cos[2α + 2β] und schreiben die Gleichung um

X	=	(4.24)
	=
	=
	= 1

Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für p-Polarisation Energieerhaltung gilt.

Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss des Pointing-Vektors berechnet wurde.

Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.

Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente von ε = liefert das Snelliussche Gesetz.

4.6.1  Evaneszente Wellen

	Versuch zur Vorlesung:
	Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)

Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass wenn Licht aus dem dichteren Medium in das dünnere eintritt, es Winkel gibt (n′ sin β > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen Formeln gibt. Die Lösung ist rein imaginär. Was bedeutet dies? Dies heisst, dass auch der -Vektor des Lichtes im dünneren Medium imaginär wird. Darum wird aus e^ikr mit k = iκ der exponentielle Dämpfungsfaktor e^-κr, wobei κ vom Einfallswinkel abhängt. Licht im dünneren Medium kann also nicht propagieren: Wegen der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.