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3.13  Beugung und Auflösung



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 327, 694, 703]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1132]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 488])


Versuch zur Vorlesung:
Auflösungsvermögen eines Mikroskops (Versuchskarte O-001)


Wir verwenden die Tatsache, dass optische Systeme in den einfachsten Fällen lineare Systeme sind und verwenden die in Abschnitt 3.3.3 eingeführte Fouriertransformation, hier aber in zwei Dimensionen. Wenn f(x,y) und g(x,y) Intensitätsverteilungen senkrecht zur optischen Achse sind, und f die Ausgangsverteilung und g die Bildverteilung ist, schreibt man für die Abbildung

f(x,y) →  g(x,y)
(3.1)

Die Abbildung ist linear, das heisst, wenn f1 g1 und f2 g2 ist, ist

a1·f1 + a2·f2  →  a1·g1 + a2·g2
(3.2)

Wir nennen ^
f (u,v) die Fouriertransformation von f(x,y). Im Zusammenhang mit der Fourieroptik ist die Bezeichnung f^(u) = F(u) üblich, also keine Grossbuchstaben wie oftmals verwendet. Es gilt

            ∬
                 ^      2πi[ux+vy]
f(x,y ) =       f (u, v)e        dudv
            ∬
^f(u,v ) =       f (x, y)e−2πi[ux+vy]dxdy     (3.3)

Wir schreiben x = (x,y) und u = (u,v) Die Fouriertransformation lässt sich dann kompakt schreiben als

           ∬
f (x)  =       ^f(u )e2πi[u·x ]du
           ∬
f^(u)  =       f(x )e− 2πi[u·x]dx        (3.4)

3.13.1  Impulsantwort und Faltungssatz



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 765])


Versuch zur Vorlesung:
Fourier-Transformation (Versuchskarte O-067)


Ein Lichtfleck an der Position xder Eingangsebene erzeugt eine Intensitätsverteilung in der Ausgangsebene, die sowohl vom Beobachtungspunkt x wie auch von xabhängt. Die Impulsantwort ist

h(x, x′)
(3.5)

Ein optisches System ist translationsinvariant, wenn

h(x, x′) = h(x − x ′)
(3.6)

gilt. Bei einem kontinuierlichen linearen optischen System gilt zwischen der Bildebene und der Eingangsebene die Beziehung

       ∫  ∫
g(x) =      f(x ′)h(x −  x′)dx ′ = f(x) ⋆ h (x)
(3.7)

Dies ist das Faltungstheorem (Siehe auch Gleichung (3.3)) aus der Fourieroptik. Im Fourierraum wird aus einer Faltung eine Multiplikation, also

       ^    ^
^g(u) = h(u )f(u)
(3.8)

Wenn die optische Übertragung kohärent verläuft, dann verwendet man die oben definierte kohärente Übertragungsfunktion, die Amplituden verknüpft. Ist die Übertragung nicht kohärent, muss man mit Intensitäten rechnen.

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pict

Berechnung der Beugung an einer Öffnung

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Das entstehende Beugungsbild eines Punktes ist das Fraunhofersche Beugungsmuster der Blendenöffnung. Die inkohärente Impulsantwort wird

                 |∬                (          )      |2
            -1---||       ′  ′  −2πi x·λxd-′+y·λyd′    ′  ′||
Hd (x,y ) = λ2d2 ||    P(x ,y )e       b    b  dx dy ||
               b
(3.9)

Dies bedeutet, dass Hd proportional zum Betragsquadrat der Fouriertransformation der Pupillenfunktion P ist.

Für eine kreisförmige Öffnung ist die Pupillenfunktion

           {           ′
P (x′,y′) =    1  für  r ≤ D ∕2
              0        sonst
(3.10)

wobei D den Durchmesser der Öffnung und r= ∘ --2----2-
  x′ +  y′ den Radius darstellt.

Die Rechnung ist in Polarkoordinaten einfacher.

  ′     ∘ -′2----′2
 r  =     x  + (y )
  ′             y′
Θ   =   arctan  --′             (3.11)
                x

sowie in der Bildebene

         --------
       ∘   2   2
r  =     x  + y(  )
               y-
Θ  =   arctan  x               (3.12)

Mit ρb = r∕(λdb) bekommt man

           ∫ D∕2∫ 2π       ′    ′        ′
^P(ρb)  =            e− 2πiρbr (cosΘ cosΘ+sinΘ sinΘ )r′dr′dΘ ′
           ∫0D∕2 0   {∫ 2π                   }
       =        r′dr′     e− 2πiρbr′cos(Θ′−Θ)dΘ ′   (3.13)
            0          0

Dabei ist die Grösse

         ′    1 ∫ 2π  −2πiρ r′cos(Θ′−Θ)   ′
J0(2π ρbr) = 2-π     e    b         dΘ
                  0
(3.14)

die sogenannte Besselfunktion nullter Ordnung. Die Fouriertransformation einer runden Pupille wird also

           ∫ D ∕2    ′        ′   ′
P^(ρb)  =        2πr J0(2πρbr )dr
            0    ∫ πρbD
        =   -1---      ωJ0 (ω)dω
            2πρ2b  0
            πρbD
        =   ----2J1(πρbD )
            2πρ b
        =   D--J (πρ D )               (3.15)
            2ρb 1   b

J1(α) = 0αωJ 0(ω)ist die Besselfunktion erster Ordnung. Mit r = λdbρb, Θ und S = πD24, der Pupillenfläche, bekommt man für die komplexe Amplitude

                     [           ]
           ^          2J1-(πρbD-)
ψ (r)  =  P (ρb) = S     πρbD
                           [           ]2
                  2       2  2J1(πρbD-)-
 I(r)  =  K  |ψ (r)| = KS       π ρbD       (3.16)

Die Intensitäten als Funktion von X = ρbD sind

X 0 1.22 1.63 2.33 2.68 3.33







[2J1(πX  )∕ (πX  )] 2 1 0 0.017 0 0.004 0







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pict pict

Die Beugung an einer ringförmigen Apertur.

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Bei der Beugungsfigur an einer kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser d ist das erste Minimum bei sin Θ = 1.22λd.

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pict

Abbildung zweier punktförmiger, inkohärenter Quellen durch eine Blende mit der Öffnung d.

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Bei dem sogenannten kritischen Winkel αK, der durch

             λ
sin αK =  1.22 d-
(3.17)

gegeben ist, fällt das Minimum der einen Beugungsfigur gerade auf das Maximum der anderen. Das obige Kriterium wird das Rayleighsche Auflösungskriterium genannt.

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pict

Form der Intensität bei der Überlagerung zweier inkohärenter Punktquellen. Der Abstand variiert von 0.6 (rot) bis 1.6 (blau) in Schritten von 0.1.

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Diese Abbildung zeigt, dass die Definition des Auflösungsvermögens an das mögliche Signal-Rausch-Verhältnis gebunden ist. Mit modernen Detektoren mit 16 Bit Auflösung sind deshalb leicht bessere Grenzen der Auflösung möglich.

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pict pict

Querschnitt zweier inkohärenter Punktquellen als Funktion des Abstandes (links) und Bild der Intensitätsverteilung bei einem Abstand von 1.

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Wenn das zu untersuchende Objekt in ein Medium mit dem Brechungsindex n eingebettet ist, dann verbessert sich die Auflösung auf sin αK = 1.22-λ--
n·d, da in diesem Medium die Wellenlänge ja λ= λ∕n ist.



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