Beugung und Auﬂosung

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3.13 Beugung und Auﬂösung


	Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 327, 694, 703]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1132]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 488])


	Versuch zur Vorlesung:
	Auﬂösungsvermögen eines Mikroskops (Versuchskarte O-001)

Wir verwenden die Tatsache, dass optische Systeme in den einfachsten Fällen lineare Systeme sind und verwenden die in Abschnitt 3.3.3 eingeführte Fouriertransformation, hier aber in zwei Dimensionen. Wenn f(x,y) und g(x,y) Intensitätsverteilungen senkrecht zur optischen Achse sind, und f die Ausgangsverteilung und g die Bildverteilung ist, schreibt man für die Abbildung

f(x,y) → g(x,y)

(3.1)

Die Abbildung ist linear, das heisst, wenn f₁ →g₁ und f₂ →g₂ ist, ist

a1·f1 + a2·f2 → a1·g1 + a2·g2

(3.2)

Wir nennen ^
f (u,v) die Fouriertransformation von f(x,y). Im Zusammenhang mit der Fourieroptik ist die Bezeichnung () = F() üblich, also keine Grossbuchstaben wie oftmals verwendet. Es gilt

∬ f (x,y) = ^f(u,v)e2πi[ux+vy]dudv ∬ f^(u,v) = f(x,y)e− 2πi[ux+vy]dxdy (3.3)

Wir schreiben = (x,y) und = (u,v) Die Fouriertransformation lässt sich dann kompakt schreiben als

∬ f(x ) = f^(u)e2πi[u·x ]du ∬ ^f(u ) = f (x)e−2πi[u·x ]dx (3.4)

3.13.1 Impulsantwort und Faltungssatz


	Literatur

(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 765])


	Versuch zur Vorlesung:
	Fourier-Transformation (Versuchskarte O-067)

Ein Lichtﬂeck an der Position ′ der Eingangsebene erzeugt eine Intensitätsverteilung in der Ausgangsebene, die sowohl vom Beobachtungspunkt wie auch von ′ abhängt. Die Impulsantwort ist

′ h(x, x )

(3.5)

Ein optisches System ist translationsinvariant, wenn

′ ′ h(x, x ) = h(x − x )

(3.6)

gilt. Bei einem kontinuierlichen linearen optischen System gilt zwischen der Bildebene und der Eingangsebene die Beziehung

∫ ∫ g(x) = f(x ′)h(x − x′)dx ′ = f(x) ⋆ h (x)

(3.7)

Dies ist das Faltungstheorem (Siehe auch Gleichung (3.3)) aus der Fourieroptik. Im Fourierraum wird aus einer Faltung eine Multiplikation, also

^ ^ ^g(u) = h(u )f(u)

(3.8)

Wenn die optische Übertragung kohärent verläuft, dann verwendet man die oben deﬁnierte kohärente Übertragungsfunktion, die Amplituden verknüpft. Ist die Übertragung nicht kohärent, muss man mit Intensitäten rechnen.

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Berechnung der Beugung an einer Öﬀnung

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Das entstehende Beugungsbild eines Punktes ist das Fraunhofersche Beugungsmuster der Blendenöﬀnung. Die inkohärente Impulsantwort wird

| ( ) |2 --1--||∬ ′ ′ −2πi x·λxd′+ y·λyd-′ ′ ′|| Hd (x,y) = λ2d2 || P (x,y )e b b dx dy || b

(3.9)

Dies bedeutet, dass H_d proportional zum Betragsquadrat der Fouriertransformation der Pupillenfunktion P ist.

Für eine kreisförmige Öﬀnung ist die Pupillenfunktion

{ ′ P (x′,y′) = 1 für r ≤ D ∕2 0 sonst

(3.10)

wobei D den Durchmesser der Öﬀnung und r′ = ∘ --2----2-
x′ + y′ den Radius darstellt.

Die Rechnung ist in Polarkoordinaten einfacher.

′ ∘ -′2----′2 r = x + (y ) ′ y′ Θ = arctan --′ (3.11) x

sowie in der Bildebene

-------- ∘ 2 2 r = x + y( ) y- Θ = arctan x (3.12)

Mit ρ_b = r∕(λd_b) bekommt man

∫ D∕2∫ 2π ′ ′ ′ ^P(ρb) = e− 2πiρbr (cosΘ cosΘ+sinΘ sinΘ )r′dr′dΘ ′ ∫0D∕2 0 {∫ 2π } = r′dr′ e− 2πiρbr′cos(Θ′−Θ)dΘ ′ (3.13) 0 0

Dabei ist die Grösse

′ 1 ∫ 2π −2πiρ r′cos(Θ′−Θ) ′ J0(2π ρbr) = 2-π e b dΘ 0

(3.14)

die sogenannte Besselfunktion nullter Ordnung. Die Fouriertransformation einer runden Pupille wird also

∫ D ∕2 ′ ′ ′ P^(ρb) = 2πr J0(2πρbr )dr 0 ∫ πρbD = -1--- ωJ0 (ω)dω 2πρ2b 0 πρbD = ----2J1(πρbD ) 2πρ b = D--J (πρ D ) (3.15) 2ρb 1 b

J₁(α) = ∫ ₀^αωJ₀(ω)dω ist die Besselfunktion erster Ordnung. Mit r = λd_bρ_b, Θ und S = πD²∕4, der Pupillenﬂäche, bekommt man für die komplexe Amplitude

[ ] ^ 2J1-(πρbD-) ψ (r) = P (ρb) = S πρbD [ ]2 2 2 2J1(πρbD-)- I(r) = K |ψ (r)| = KS π ρbD (3.16)

Die Intensitäten als Funktion von X = ρ_bD sind

X	0	1.22	1.63	2.33	2.68	3.33

²	1	0	0.017	0	0.004	0

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Die Beugung an einer ringförmigen Apertur.

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Bei der Beugungsﬁgur an einer kreisförmigen Öﬀnung mit dem Durchmesser d ist das erste Minimum bei sin Θ = 1.22.

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Abbildung zweier punktförmiger, inkohärenter Quellen durch eine Blende mit der Öﬀnung d.

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Bei dem sogenannten kritischen Winkel α_K, der durch

λ sin αK = 1.22 d-

(3.17)

gegeben ist, fällt das Minimum der einen Beugungsﬁgur gerade auf das Maximum der anderen. Das obige Kriterium wird das Rayleighsche Auﬂösungskriterium genannt.

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Form der Intensität bei der Überlagerung zweier inkohärenter Punktquellen . Der Abstand variiert von 0.6 (rot) bis 1.6 (blau) in Schritten von 0.1.

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Diese Abbildung zeigt, dass die Deﬁnition des Auﬂösungsvermögens an das mögliche Signal-Rausch-Verhältnis gebunden ist. Mit modernen Detektoren mit 16 Bit Auﬂösung sind deshalb leicht bessere Grenzen der Auﬂösung möglich.

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Querschnitt zweier inkohärenter Punktquellen als Funktion des Abstandes (links) und Bild der Intensitätsverteilung bei einem Abstand von 1.

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Wenn das zu untersuchende Objekt in ein Medium mit dem Brechungsindex n eingebettet ist, dann verbessert sich die Auﬂösung auf sin α_K = 1.22 -λ--
n·d , da in diesem Medium die Wellenlänge ja λ′ = λ∕n ist.

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©2002-2017 Ulm University, Othmar Marti, pict

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