4.4  Polarisation

Die aus den Maxwellgleichungen abgeleiteten Wellengleichung (2.6) hat als Lösung transversale elektromagnetische Wellen. Licht ist eine elektromagnetische Welle, schwingt also transversal und hat deshalb als reine Welle auch eine Polarisationsrichtung. Das elektrische und das magnetische Feld schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Aus der Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für Licht folgt als Lösung (,t) = ₀() exp(i(()·−ωt)). sowie die Bedingung

(4.1)

Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung der Welle in die x-Richtung legen, dann sind

• der Wellenvektor = (k; 0; 0)
• und die Amplitude ₀ = (0; E_y; E_z)

Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.

Es gibt zwei mögliche orthogonale Orientierungen von 0 sowie die daraus folgenden Linearkombinationen. Die Richtung, in die 0 zeigt ist die Polarisationsrichtung.

4.4.1  Polarisation durch Absorption (Dichroismus)

Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.

Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen, bei denen π-Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.

Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator das Licht. Der Analysator lässt nur die Projektion des -Feldes auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt

(4.2)

wobei 𝜃 der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Polarisator und Analysator ist. Da die Intensität durch I = E² ist und somit proportional zum Quadrat der Amplitude I ∝E², gilt für die Intensität

(4.3)

(Gesetz von Malus). Wenn zwischen gekreuzten Polarisatoren und Analysatoren eine optisch aktive Substanz eingebracht wird, kann mit dieser Anordnung die Grösse der optischen Aktivität gemessen werden³ .

4.4.2  Polarisation durch Streuung

Aus den Lösungen der Wellengleichung (2.6) folgt, dass Licht eine Transversale Welle ist. Wenn Licht von links auf ein streuendes Teilchen (z.B. ein Wassertröpfchen) fällt, dann kann nur die Komponente des -Feldes, die auch senkrecht zur Streurichtung steht, eine Lichtwelle anregen. Die dazu senkrechte Komponente würde eine propagierende, longitudinal polarisierte Welle erzeugen. Propagierende, longitudinale Lichtwellen stehen aber im Widerspruch zu den Maxwellschen Gleichungen und treten deshalb nicht auf.

4.4.3  Polarisation durch Reflexion

Der Brewsterwinkel ist eine Konsequenz der Stetigkeitsbedingungen elektrischer Felder, Gleichungen (2.27) und (2.28) für die s-Polarisation, beziehungsweise (2.33) und (2.28)

Wenn Licht in ein dichteres Medium eindringt und es zur Reflexion (Siehe Abschnitt 4.1) und zur Brechung kommt gelten zwei Gesetze

• Einfallswinkel = Ausfallswinkel (Impulserhaltung für die zur Grenzfläche tangentiale Komponenten des Lichtes)
• Das Gesetz von Snellius n sin 𝜃_P = n₂ sin 𝜃₂

Wenn nun der Winkel zwischen dem gebrochenen Licht und dem reflektierten Licht π∕2 ist, haben wir wieder die Situation wie bei der Streuung: im reflektierten Licht kann keine Lichtwelle angeregt werden, deren Polarisationsrichtung (!) in der durch den einfallenden und gebrochenen Lichtstrahl definierten Einfallsebene liegt. Das heisst, der reflektierte Strahl ist vollkommen polarisiert mit der Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene. Der Winkel 𝜃_P heisst nach seinem Entdecker Brewster-Winkel. Eine Betrachtung der Winkel in der Abbildung ergibt, dass 𝜃_P + 𝜃₂ = π∕2 ist. Damit wird der Brewster-Winkel

(4.4)

und damit

(4.5)

Für Glas (n₂ = 1.5) gegen Luft (n = 1) ist 𝜃_P = arctan(1.5) = 0.3128π = 56.31⁰. Der Brewster-Winkel wird zum Beispiel beim Resonator von Gaslasern angewandt um die Polarisationsrichtung zu definieren.

4.4.4  Polarisation durch Doppelbrechung

Doppelbrechung ist eine Konsequenz der Maxwellgleichungen bei anisotropen optischen Medien, Medien also bei denen die relative Permittivität und/oder die relative Permeabilität tensorielle Eigenschaften haben.

Viele Materialien haben isotrope optische Eigenschaften. Analog zu den elastomechanischen Eigenschaften von isotropen Materialien, die durch den Elastizitätsmodul E beschrieben werden, werden isotrope optische Materialien durch eine Brechzahl n = 𝜀² beschrieben. Die mechanischen Eigenschaften anisotroper Materialien werden durch Tensoren beschrieben. Analog werden optische Eigenschaften anisotroper Medien durch Tensoren 𝜀 oder n beschrieben. Die Mathematik sagt, dass solche Tensoren in einem Hauptachsensystem nur Komponenten auf ihren Hauptdiagonalen haben. Für den Brechungsindex heisst dies, dass nicht einer, n sondern drei Indizes n₁, n₂ und n₃ angegeben werden müssen.

Bei einem λ∕4- oder einem λ∕2-Plättchen wird die Polarisationsrichtung des einfallenden Lichtes so gewählt, dass sie π∕4 zu den beiden Hauptachsen mit n_schnell < n_langsam ist. Dann wird die eine Welle wie in der unten stehenden Zeichnung gezeigt, langsamer propagiert als die andere (die rote). Es entsteht eine Phasenverschiebeung, die bei λ∕4-Plättchen gerade eine viertel Wellenlänge ausmacht. Das Licht ist dann zirkular polarisiert.

Ist der Gangunterschied λ∕2, wie in der oben stehenden Zeichnung, dann wird die Polarisationsrichtung um π∕2 gedreht.

Wir beschreiben kohärentes Licht durch die Gleichung

(4.6)

wobei ₀· = 0 ist (Transversalität) und ₀ die Polarisationsrichtung angibt. ϕ ist die Phase, die die Anfangsbedungung am Ort 0 und zur Zeit 0 angibt.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir = (k; 0; 0) setzen. Dann ist ₀ = (0; E_y; E_z) die möglichen Polarisationsrichtungen. Der Vektor des elektrischen Feldes hat also nur Komponenten in die y- und die z-Richtung.

Unser dichroitisches Plättchen habe die schnelle Achse (Brechungsindex n₁) entlang y′ und die langsame Achse (Brechungsindex n₂) entlang z′ und die Dicke ℓ. Die x-Achse sollen übereinstimmen. Das gestrichene Koordinatensystem sei um den Winkel α gegen das ungestrichene verdreht. Dann ist

Für Licht mit einer beliebigen Polarisation und einer Ausbreitung entlang der x-Achse muss das elektrische Feld auf das gestrichene Koordinatensystem projiziert werden. Am Anfang des Plättchens sei zudem die Phase ϕ = 0. Wir bekommen dann

Die Feldkomponente mit der Polarisation E_y′ breitet sich mit der Geschwindigkeit c₁ = c∕n₁ aus, die Polarisation E_z′ mit der Geschwindigkeit c₂ = c∕n₂. Damit sind die Wellenlängen der Polarisation entlang y′ λ₁ = λ∕n₁ = = und entlang z′ λ₂ = λ∕n₁ = = . Für die gilt dann

Die Laufzeit durch ein Plättchen der Dicke ℓ ist dann t₁ = ℓ∕c₁ = ℓn₁∕c und t₂ = ℓ∕c₂ = ℓn₂∕c. Wir betrachten zu einer feststehenden Zeit (praktischerweise t = 0) das Wellenmuster. Am Ausgang des Plättchens haben wir

Der Phasenunterschied der beiden Wellen ist die Differenz der Argumente der Exponentialfunktion, also ϕ(ℓ)(n₂ −n₁)kℓ Wir können also auch schreiben

Wenn wir den gemeinsamen Faktor abspalten, dann wird die z′-Komponente gegen der y′-Komponente um ϕ(ℓ) phasenverschoben. Diese neuen Polarisationen müssen wir auf das x,y,z-Koordinatensystem mit

projizieren. Damit ist

Ausmultipliziert erhält man für die Matrix

(4.14)

oder (nur für die Matrix)

(4.15)

Wir vereinfachen und erhalten die Matrix

(4.16)

und erhalten

Wir betrachten nun den Spezialfall, dass α = π∕4 und ϕ(ℓ) = π∕2 ist. Die obige Matrix wird dann

(4.18)

oder

(4.19)

Eine Lichtwelle, die nur in y-Richtung polarisiert ist, wird zu einer Welle, die sowohl in die y wie auch in die z-Richtung polarisiert ist, aber mit einem Phasenfaktor von π∕2. Die Wellengleichung ist dann

Diese Art Wellen heisst zirkular polarisierte Welle. Es gibt zwei Arten von Wellen, mit rechtsläufigem und linksläufigem Drehsinn. Ein dichroitisches Objekt, dass die obigen Eigenschaften hat, heisst λ∕4-Plättchen.

Der zweite wichtige Spezialfall ist α = π∕4 und ϕ(ℓ) = π. Die obige Matrix wird dann

(4.21)

Licht mit einer Polarisationsrichtung in y-Richtung wird in Licht mit einer Polarisationsrichtung z überführt. Eine solche Anordnung heisst λ∕2-Plättchen. Zwei λ∕4-Plättchen hintereinander geschaltet haben die gleiche Wirkung. Anwendung: optisches Lesesystem in CDs.

4.4.5  Beschreibung der Polarisation

Wir wollen in diesem Abschnitt mögliche Darstellungen des Polarisationszustandes des Lichtes beschreiben. Die Darstellung in diesm Abschnitt und den folgenden Unterabschnitten folgt Perez [Pér96].

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass Licht sich entlang der x-Achse in einem kartesischen Koordinatensystem ausbreitet. Licht wird dann durch

(4.22)

mit k_y dem Wellenvektor der Welle mit einem elektrischen Feld in die y-Richtung. k_z ist analog definiert. Durch eine Verschiebung der Zeitachse kann erreicht werden, dass φ_y = 0 ist. Nur die Differenz der der Phasen ϕ = φ_y −φ_z = −φ_z ist relevant. Gleichung (4.22) lautet dann

(4.23)

Mit dem Additionstheorem cos(α +β) = cos α cos β −sin α sin β erhalten wir

(4.24)

Wir können die Welle aus Gleichung (4.24) an irgend einem Ort untersuchen, z.B. bei x = 0. Dann lautet Gleichung (4.24)

(4.25)

Gleichung (4.25) beschreibt eine Ellipse. Die folgende Abbildung 4.4.5 zeigt verschiedene Kurven als Funktion der Phasenverschiebung ϕ.

Im Laborsystem ist die Ellipse durch

beschrieben, wobei ein Additionstheorem für den cos angewandt wurde. Wir setzen cos(ωt) in die zweite Gleichung ein und erhalten

Wird die Gleichung (4.29) neu geordnet, bekommen wir

Nach Bronstein [BSMM08, p. 212, Kurven 2. Ordnung] kann bei einer Kurve vom Typ ax² + 2bxy + cy² = f der Typ der Kegelschnittkurve bestimmt werden, wenn die folgenden Kennzahlen berechnet werden:

berechnet werden. Für Δ ⇔ 0, δ > 0 und Δ·S < 0 beschreibt die Kurve eine Ellipse. Wir haben mit den Koeffizienten aus Gleichung (4.31)

Da alle Koeffizienten reell sind, haben wie für ϕ ⇔ πn, n ∈ ℤ die Beziehungen Δ < 0 oder Δ ⇔ 0, δ > 0 und S·Δ < 0.

Ausser für ϕ ⇔ πn, n ∈ ℤ beschreibt das allgemeine elektrische Feld (t) eine Ellipse. Das heisst, dass es möglich ist, diese Ellipse auf ihre Hauptachse zu transformieren. Eine Ellipse wird in ihrem Hauptachsensystem durch

(4.36)

beschrieben, wobei a die Länge der grossen Hauptachse und b die Länge der kleinen Hauptachse ist, also mit ≤ 1. Das Vorzeichen von ϕ gibt den Drehsinn des elektrischen Feldes.

Für ϕ = πn, n ∈ℤ haben wir lineare Polarisation, das heisst nach (4.31)

(4.37)

Im Folgenden wollen wir die Darstellung der vom elektrischen Feld abgefahrenen Ellipse in ihrem Hauptachsensystem und im Laborsystem vergleichen. Das Laborsystem wird durch die Einheitsvektoren _y und _z aufgespannt, das Hauptachsensystem durch _Y und _Z. In den beiden Systemen lauten die Gleichungen für die Ellipse (siehe auch Abbildung 4.4.5)

mit _y·_z = 0 und _Y ·_Z = 0. Die Intensität, gemittelt über die Zeit ist

Dabei ist K eine (vom Einheitensystem abhängige) Konstante.

Also haben wir die Beziehung

(4.43)

Im Hauptachsensystem lautet die Ellipsengleichung

(4.44)

Diese transformieren wir jetzt in das Laborsystem mit der Drehmatrix

(4.45)

Damit haben wir die Beziehungen

(4.46)

Wir setzen nun Gleichung (4.46) in Gleichung (4.44) ein und erhalten

(4.47)

Wir fassen ähnliche Terme in Gleichung (4.47) zusammen und können diese Gleichung so mit Gleichung (4.31) vergleichen

Der Vergleich der Gleichungen (4.48) und (4.49) ergibt die Beziehungen

Die Addition von Gleichungen (4.50) und (4.51) ergibt

wobei Gleichung (4.43) verwendet wurde. Weiter erhalten wir aus Gleichung (4.53) mit Gleichung (4.43)

Wir definieren nun die Winkel (siehe Abbildung 4.4.5) mit Hilfe der Amplituden

Weiter verwenden wir die Identität [BSMM08]

(4.57)

und erhalten mit der Gleichung (4.55) multipliziert mit 2

Eine weitere Beziehung gewinnen wir aus Gleichung (4.52) (mit sin(2α) = 2 sin α cos α) und Gleichung (4.54)

Wir suchen ψ(E_y,0,E_z,0,ϕ). Dazu müssen noch a² und b² eliminiert werden. Wir haben

Andererseits folgt aus der Definition von γ und mit sin ²α = tan ²α∕(1 + tan ²α)

Weiter ist mit den Gleichungen (4.58) und (4.61)

Damit lautet Gleichung (4.59)

(4.63)

und mit Gleichung (4.43)

Aus den Gleichungen (4.63) und (4.64) bekommen wir

(4.65)

Damit sind alle Parameter in der Abbildung 4.4.5 bestimmt.

4.4.5.1. Poincaré-Kugel

Wir haben eine Lichtwelle, die durch das elektrische Feld E_y,0 entlang der y-Achse, E_z,0 entlang der z-Achse und durch die Phase ϕ bestimmt ist. Da die y-und z-Achse orthogonal sind, kann man für die Gesamtintensität nach (4.41) auch schreiben

(4.66)

Dies ist der erste von drei Parametern nach Poincaré [Poi92, Kapitel 12]. Als zweiten Parameter verwendet Poincaré den Winkel ψ = ∠(_y,_Y ), also die Drehung der Ellipse. Der dritte Parameter ist tan(η) = ±b∕a, also das Verhältnis der Hauptachsen des vom elektrischen Felde beschriebenen Ellipsoids. Wegen ≤ 1 ist auch ≤π∕4.

Poincaré hat deshalb die folgenden drei Parameter definiert (siehe auch Abbildung 4.4.5.1):

Die Definitionsbereiche der Winkel sind 0 ≤ψ ≤π (die Ellipse ist symmetrisch um die grosse Hauptachse) und −π∕4 ≤η ≤π∕4. Damit spannen die Gleichungen (4.67) eine Kugel auf.

Jeder Polarisationszustand zu einer Welle mit der Intensität I wird durch einen Punkt auf oder innerhalb der Kugel repräsentiert.

Weiter gilt:

(4.68)

Welche Zustände gibt es auf der Poincaré-Kugel? Dazu schreiben wir mit Gleichung (4.66) die Gleichungen für sin(2ψ) (4.63), für cos((2ψ) (4.64) sowie für sin(2η) (4.58) und cos(2η) auf die Variablen I_y, I_z und ϕ um. Wir brauchen dazu noch Gleichung (4.56) und den ersten Teil von Gleichung (4.58).

Setzen wir (4.69) in (4.67) ein, erhalten wir

4.4.5.2. Stokes-Parameter

Die Grössen Q, U und V einer vollständig polarisierten monochromatischen Lichtwelle können durch die Messung mit verschiedenen Polarisatorstellungen bestimmt werden.

Wie Abbildung 4.4.5.2 zeigt braucht man zur Messung der Stokes-Parameter einen drehbaren Analysator, eine drehbahre Verzögerungsplatte, bevorzugt eine λ∕4-Platte und einen Detektor. Sei α der Winkel der Polarisationsebene des Analysators zur y-Achse, β der Winkel der λ∕4-Platte zur y-Achse. Wir messen nun die Intensitäten bei α = 0 und β = 0, also I_0,0, bei α = π∕4 und β = 0, also I_π∕4,0, bei α = π∕4 und β = π∕4, also I_{π∕4,π∕4}, bei α = π∕2 und β = 0, also I_π∕2,0, α = 3π∕4 oder, was äquivalent ist bei α = −π∕4 und β = 0, also I_−π∕4,0 und schliesslich bei α = −π∕4 und β = π∕4, also I_{−π∕4,π∕4}.

Wir setzen die Welle als

wobei angenommen wurde, dass die Welle monochromatisch sei. ϕ gibt die relative Verzögerung der z-Komponente im Vergleich zur y-Komponente an.

Wir verwenden für das λ∕4-Plättchen (ϕ = π∕2) die Gleichung (4.27). Eine um den Winkel β gedrehte Verzögerungsplatte wirkt auf die komplexen Wellen in die y- und die z-Richtung wie

(4.72)

Ein Polarisator im Winkel α erzeugt eine Welle mit dem -Feld

wobei E_y und E_z komplexe Amplituden sind. Es ergibt sich dann nach einer Rechnung (siehe Abschnitt A.1 im Anhang)

Die Stokes-Parameter I, Q, U und V bekommen wir nun mit

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, durch die Messung der Intensitäten bei verschiedenen Polarisationsrichtungen den Polarisationszustand zu bestimmen (siehe z. B. Hecht [Hec05] oder Born und Wolf [BW70])

Müller 1948 [Mül48] schlug vor, die Stokes-Parameter als Vektoren zu schreiben, also

(4.84)

Damit werden ausgewählte Polarisationen (siehe auch Tabelle 4.4.5.1) geschrieben:

___________________________________________________________________________

Polarisation	Stokes-Vektor	Polarisation	Stokes-Vektor
Linear in y		Linear in z
Linear 45°		Linear −45°
Zirkular links		Zirkular rechts

Stokes-Vektoren für ausgewählte Polarisationszustände.

_____________________________________________________________________

Schliesslich verwendet man noch die Definition für den

Polarisationsgrad (4.85)

Die Polarisation von Licht und deren Modifikation durch λ∕4 und λ∕2-Platten wird häufig mit Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen beschrieben [Col03, Abschnitt 9.5].

Die Messung des Polarisationszustandes Abbildung 4.4.5.2 für teilpolarisiertes Licht kann mit Müllermatrizen und Stokes-Vektoren berechnet werden. Dies ist im Anhang, Absatz A.2 beschrieben. Müllermatrizen werden im Unterabschnitt 4.4.6 besprochen.

4.4.5.3. Beschreibung der Polarisation durch Jones-Vektoren und Jones-Matrizen

Die Änderung der Polarisation von kohärentem Licht beim Durchgang durch Polarisatoren oder doppelbrechende Materialien kann mit Jones-Vektoren und Jones-Matrizen beschrieben werden. Jones-Vektoren und Jones-Matrizen sind eine Verallgemeinerung der obigen Rechnung. Formal läuft dies darauf hinaus, dass wir den Ausgangszustand als Vektor beschreiben und auf ihn die Operatoren der polarisationsändernden Objekte anwenden.

Aus der Darstellung im vorhergehenden Kapitel geht hervor, dass nur die y- und die z-Richtung die Polarisation beschreiben. Wir können also Zweiervektoren verwenden. Weiter soll die Phase der Welle als komplexe Zahl dargestellt werden. Schliesslich normieren wir die Länge des Vektors auf 1. Eine Welle polarisiert in die y-Richtung wird also durch den Vektor

(4.86)

dargestellt. Rechtszirkular polarisiertes Licht wird durch

(4.87)

beschrieben.

Jones-Vektoren	Beschreibung
y =	Linear polarisiert in y-Richtung
z =	Linear polarisiert in z-Richtung
R =	Rechtshändig zirkular polarisiert
L =	Linkshändig zirkular polarisiert

Polarisationen in andere Richtungen können durch die Anwendung von Drehmatrizen berechnet werden. Die Drehung aus dem Koordinatensystem y,z nach y′,z′ wird durch

beschrieben. Die Drehmatrix lautet also

(4.89)

Ein um den Winkel α zu y-Achse linear polarisierter Strahl wird durch

(4.90)

beschrieben. Ein linearer Polarisator in y-Richtung wird durch

(4.91)

beschrieben. Die Wirkung eines um den Winkel α gedrehten Polarisators kann berechnet man, indem man das Koordinatensystem um −α dreht, den Polarisator in der y-Ebene anwendet und mit α zurückdreht.

Die Jones-Matrix des linearen Polarisators in die z-Richtung lautet also

(4.94)

Die zirkulare Polarisation wird durch die beiden homogenen Polarisatoren P_R und P_L erzeugt.

Das λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse entlang der y-Richtung wird durch

(4.96)

Mit der Gleichung (4.17) hatten wir ein schräg stehendes λ∕4-Plättchen berechnet. Die Gleichung ist aber allgemeiner: sie beschreibt ein Verzögerungselement von ϕ gedreht um α zur y-Achse.

(4.97)

Das Verzögerungselement mit der schnellen Achse parallel zur y-Achse ist durch

(4.98)

gegeben. Die folgende Tabelle zeigt aus Gleichung (4.97) berechenbaren Elemente.

Jones-Matrix	Bedeutung
Pλ∕4,y = eiπ∕4	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in y
Pλ∕4,z = eiπ∕4	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in z
Pλ∕4(α) = R(α)Pλ∕4,yR(−α)	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y
Pλ∕2,y = Pλ∕4,yPλ∕4,y =	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in y
Pλ∕2,z = Pλ∕4,zPλ∕4,z =	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in z
Pλ∕2(α) = R(α)Pλ∕2,yR(−α)	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y

Wenn ein Lichtstrahl mit der Polarisation durch die Objekte T₁,T₂,…,T_n geht, ist die resultierende Welle

(4.99)

Mit den oben angegebenen Polarisations- und Rotationsmatrizen können die meisten Polarisationsprobleme berechnet werden.

4.4.6  Zusammenhang zwischen Jones-Matrizen und Müller-Matrizen

Jones- und Müller-Matrizen sind miteinander verwandt. Die Darstellung in diesem Abschnitt folgt [Gil00] sowie auch [Sim82, Tak73a, Tak73b, RMS98a, RMS98b, Gol03]. Wir haben im Abschnitt über Jones-Matrizen gesehen, dass die Wirkung eines den Polarisationszustand verändernden optischen Bauelements durch Matrizenmultiplikationen beschrieben werden kann. Analog dazu kann allgemein geschrieben werden, dass ein Bauelement, das den Stokes-Vektor ₁ in den Stokes-Vektor ₂ überführt, durch eine Müller-Matrix beschrieben ist.

(4.100)

Zum Beispiel sind nach Tabelle 4.4.5.1 die Stokes-Vektoren für Licht mit der Intensität I und vollständiger Polarisation in die y- oder die z-Richtung gegeben durch

(4.101)

Ein λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse 45° verkippt zur y-Achse bewirkt diese Transformation. Eine minimale Müllermatrix (die die zirkulären und ±45°-Anteile vernachlässigt) wäre dann

(4.102)

Die x und y können nicht aus unserer Bedingung abgeleitet werden. Eine genauere Rechnung zeigt, dass x = 1 und y = −1 ist.

Die Umrechnung einer Jones-Matrix P (bei [Sim82] J genannt) in eine Müllermatrix M geht nach [Sim82] folgendermassen:

(4.103)

mit

(4.104)

⊗ ist das Kronecker-Matrix-Produkt oder das äussere Produkt (Siehe Anhang Abschnitt B.9).

Durch Anwendung dieser Transformation erhalten wir die Müllermatrizen

Müller-Matrix	Bedeutung
Mλ∕4,y =	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in y
Mλ∕4,z =	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse in z
Mλ∕4(α) =	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y
Mλ∕4,π∕4 =	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse π∕4 zur y Achse
Mλ∕4,−π∕4 =	λ∕4-Plättchen mit der schnellen Achse −π∕4 zur y Achse

Müller-Matrix	Bedeutung
Mλ∕2,y =	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in y
Mλ∕2,z =	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse in z
Mλ∕2(α) =	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse gedreht um α bezüglich y
Mλ∕2,π∕4 =	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse π∕4 zur y Achse
Mλ∕2,−π∕4 =	λ∕2-Plättchen mit der schnellen Achse −π∕4 zur y Achse

Müller-Matrix

MV (δ,α) =

Verzögerungsplättchen mit der Phasenverzögerung δ und der schnellen Achse α zur y-Achse

Für die Polarisatoren bekommt man

Müller-Matrix	Bedeutung
MP,y =	linearer Polarisator in y
MP,z =	linearer Polarisator in z
MP (α) =	linearer Polarisator gedreht um α bezüglich y
MP,π∕4 =	linearer Polarisator π∕4 zur y Achse
MP,−π∕4 =	linearer Polarisator −π∕4 zur y Achse

4.4.7  Beispiele zur Polarisation

(Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 535])

Viele Kristalle sind nicht isotrop. Es gib auch in diesen Kristallen Achsen, die eine höhere Symmetrie aufweisen, als die anderen Achsen. Diese Achse wird Hauptachse genannt. Alle physikalischen Eigenschaften eines Kristalls, also auch die optischen Eigenschaften, müssen die Symmetrie des Kristalls haben. Die physikalischen Eigenschaften und insbesondere die Lichtgeschwindigkeit sind in allen Ebenen senkrecht zur Hauptachse isotrop. Dabei ist die Lichtgeschwindigkeit aber von der Polarisationsrichtung des Lichtes abhängig. In Richtung der Hauptachse ist die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der Polarisationsrichtung c₀. Licht, das sich senkrecht zur Polarisationsrichtung ausbreitet, bewegt sich ebenfalls mit c₀, wenn der -Vektor in Richtung der Hauptachse zeigt, die Polarisationsrichtung also senkrecht zur Hauptachse liegt. Dieses licht heisst ordentliches Licht. Licht mit der anderen Polarisationsrichtung läuft im Kalkspat schneller, und zwar mit c_ao = 1.116c₀. Dieses Licht heisst ausserordentliches Licht. Wenn die Einfallsrichtung dazwischen liegt, ist die Geschwindigkeit des ordentlichen Lichts immer noch c₀, die des ausserordentlichen Lichts liegt zwischen c₀ und c_ao.

Die Wellenflächen des ordentlichen Lichts stammend von einer punktförmigen Quelle sind also Kugelflächen, während die Wellenflächen des ausserordentlichen Lichts Rotationsellipsoide sind, deren Rotationsachse mit der Hauptachse parallel ist. Bei Kalkspat ist das Rotationsellipsoid abgeplattet, das Material heisst einachsig negativ. Bei Quarz ist das Rotationsellipsoid länglich (die ordentliche Lichtgeschwindigkeit ist grösser als die ausserordentliche.). Man nennt Quarz deshalb einachsig positiv.

Wenn Licht senkrecht auf eine Fläche fällt, die schräg zur Hauptachse liegt, müssen zwei verschiedene Konstruktionen verwendet werden:

• Kugelflächen beim ordentlichen Licht
• Rotationsellipsoide beim ausserordentlichen Licht. Die Rotationsachse liegt schief zur Einfallsrichtung.

Da die resultierenden Flächen Tangentenflächen sind, bleibt die Richtung des ordentlichen Lichtes senkrecht zur Oberfläche, während das ausserordentliche Licht sich schräg weiter ausbreitet. Zur Berechnung des Lichtweges müssen Tensoren verwendet werden.

In der Technik war die spannungsinduzierte Doppelbrechung lange das einzige Mittel, unzulässige Beanspruchungen in Bauteilen festzustellen.