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3.2  Phasendifferenz und Kohärenz



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 570]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 367]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1109]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 514])

Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten und die unterschiedliche Abstände zu einer Quelle haben.

Zwei Wellen heissen kohärent, wenn sie, bis auf eine Phase, die gleiche Zeitabhängigkeit haben.



Versuch zur Vorlesung:
Kohärenz (Versuchskarte O-051)


Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.

Kohärenzzeit
Jede Quelle hat ein beschränktes Phasengedächtnis. Dies bedeutet, dass die Wellenzüge, die vor einer Zeit grösser als die Kohärenzzeit τ emittiert wurden, keine definierte Phasenbeziehung mehr haben. Der Phasenunterschied wird eine stochastische Grösse.
Kohärenzlänge
Die Kohärenzzeit τ kann in eine Kohärenzlänge L umgerechnet werden. Ist der Weglängenunterschied grösser als L, gibt es keine Kohärenz mehr.

Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite Δν, dann ist die Kohärenzzeit τ Δν1 und L  c
Δ-ν.

Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite b), dann gibt es nur im Winkelbereich σ < λ-
4b eine kohärente Überlagerung.

Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden E1 und E2 kohärent oder nicht sind.

bei kohärenten Wellenzügen
I(x,t) = 1
2∘ ----
   𝜀𝜀0-
   μμ0(E1 (x,t) + E2 (x,t)) 2
bei inkohärenten Wellenzügen
I(x,t) = 1
2∘ -𝜀𝜀0-
   μμ0        2           2
 [E1(x, t) + E2 (x,t) ]

Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied ϕ und den Amplituden E1 und E2 ist die resultierende Amplitude

pict

3.2.1  Stehende Wellen



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 431]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 293]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 435]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 513])

Wenn wir eine nach links laufende Welle A1(x,t) = A0 exp (i(kx + ωt)) und eine nach rechts laufende Welle A2 = A0 exp (i(kx − ωt + δ)) mit gleicher Amplitude zur Interferenz kommen lassen, erhalten wir

pict

Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme

Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehende Welle.

Wenn die Amplituden der beiden Wellen nicht gleich gross ist, dann interferieren von der Welle mit der grösseren Amplitude nur die Amplitudenteile, die gleich gross wie die Amplitude der schwächeren Welle sind.

Stehende Wellen als Resultat zweier gegenläufiger Wellen gibt es in jedem Resonator, insbesondere in Laserresonatoren.

3.2.2  Mach-Zehnder-Interferometer



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 663]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 365])

In Gleichung (3.2) zeigt sich, dass bei einem optischen Aufbau, der effektiv nur von einer Ortskoordinate abhängt, die zeitlich gemittelte Amplitude nur von der Phase δ abhängt. Das heisst, dass es reicht, die Phasen zu untersuchen! Beachten Sie, in Gleichung (3.2) wurde die Phase δ nur einem Weg zugeordnet, die zeitgemittelte Amplitude hängt aber von cos(δ∕2) ab.

__________________________________________________________________________

pict

Aufbau des Mach-Zehnder-Interferometers.

_____________________________________________________________________

Abbildung 3.2.2 zeigt den schematischen Aufbau eines Mach-Zehnder-Interferometers. Licht aus der Quelle trifft auf den halbdurchlässigen Spiegel S1 und spaltet sich in die zwei Wege s1 und s2 auf. Der Weg s1 läuft vom Spiegel S1 über S3 nach S4, der Weg s2 vom Spiegel S1 über S2 nach S4. Am Spiegel S4 werden die Lichtwellen vereinigt und gelangen interferierend auf den Detektor.

Die relative Phase des Lichtes für die beiden Wege s1 und s2 kann aus dem Brechungsindexverlauf entlang der Wege berechnet werden. Die Geschwindigkeit ist durch c(s) = c0∕n(s) gegeben. Dann ist

    ∫   1        1  S∫4
ti =   ----ds = --     ni(s)ds
    si c(s)     c0S1,si
(3.3)

Die Phasendifferenz von Licht mit der Vakuumwellenlänge λ0 und damit der Frequenz ω = 2πν = 2πc0∕λ0 ist

                    (                                )
                          S∫4               S∫4
δ = ω(t2− t1) =  2πc0|( -1     n2(s)ds − -1     n1(s)ds|)
                 λ0   c0               c0
                       (S1,s2             S1,s1     )
                    2π    S∫4            S∫4
                 =  ---|(     n2(s)ds −     n1(s)ds|)
                    λ0  S ,s           S,s
                         1 2            1 1
(3.4)

Die beobachtete zeitgemittelte Amplitude am Ort x = 0 (kann willkürlich gewählt werden!) ist nach Gleichung (3.2) mit E(δ) = E1(x,t) + E2(x,t), beide mit gleichen Amplituden |E0 |

       ⟨    -----         ⟩        -----        (  )       -----      (   )
         1∘  𝜀𝜀0               1 ∘  𝜀𝜀0           δ      ∘ 𝜀𝜀0          δ
I(δ) =   -- ----E2 (x,t,δ)   = --  ----4E20 cos2  -- = 2   ----E20cos2  --
         2  μ μ0 (    (     t  2   μ μ0          )2)       μμ0          2
    ∘ -----              S∫4            S∫4
= 2   𝜀𝜀0-E2 cos2|( -π-|(     n (s)ds −     n (s)ds|) |)
      μμ0   0      λ0        2             1
                 (    (S1,s2          S1,s1        ))
                        ∫S4           ∫S4
       = 4I0 cos2|( π--|(    n2 (s)ds −      n1(s)ds|)|)
                   λ0  S ,s           S ,s
                        1 2           1 1
(3.5)

wobei I0 = 1
2⟨             ⟩
 ∘ -𝜀𝜀0E2 (0,t)
    μμ0  it = 1
2∘ -𝜀𝜀0-
  μμ0E02 ist.

Das heisst, dass das Ausgangssignal des Mach-Zehnder-Interferometers nicht nur von der geometrischen Weglängendifferenz, sondern auch von Unterschieden der Brechungsindizes abhängt. Das Licht läuft in beiden Armen mit einer definierten Richtung. Das heisst, dass der Ausgang des Mach-Zehnder-Interferometers abhängig zum Beispiel von der Fliessrichtung eines Mediums mit dem Brechungsindex n ist. Mach-Zehnder-Interferometer werden kaum zur Distanzmessung aber oftmals zur Messung von Brechungsindexdifferenzen verwendet.

3.2.3  Das Michelson-Interferometer



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 596]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 360]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1114])


Versuch zur Vorlesung:
Michelson-Interferometer (Versuchskarte O-031)


_______________________________________________

pict

Bild des Michelson-Interferometers aus der Vorlesungssammlung mit eingezeichnetem Strahlengang.

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_____________________________________________________________________

pict

Schematische Zeichnung des Aufbaus eines Michelson-Interferometers aus Abb. 3.2.3.

_____________________________________________________________________

Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei 1, der zum beweglichen 2. Analog zum Mach-Zehnder-Interferometer (siehe Abschnitt 3.2.2) kann die Phase wie folgt geschrieben werden:

                     (                            )
                          ∫              ∫
δ = ω(t2 − t1) =  2πc0|( -2   n2(s)ds − -2   n1(s)ds|)
                  λ0   c0             c0
                          ℓ2(             ℓ1        )
                        4π   ∫           ∫
                     =  ---|(   n2(s)ds −   n1(s)ds|)
                        λ0  ℓ2           ℓ1
(3.6)

Die Phase hängt also sowohl vom Weglängenunterschied wie auch von Unterschieden im Brechungsindex ab. Anders als beim Mach-Zehnder-Interferometer wird jeder Weg zweimal und zwar gegenläufig durchlaufen. Bewegungseffekte mitteln sich so in erster Näherung heraus.

Der gesamte Weglängenunterschied ist bei konstantem ni(s) = n0 durch Δ= 2(2 1) gegeben. Immer wenn Δ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um λ∕4 verschoben, ändert sich Δum λ∕2, dann haben wir destruktive Interferenz.

Wenn wir das Interferometer am Ausgang mit einer Intensität von I0 betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von ΔI noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt berechnen:

                                    (        )
       1 ∘ 𝜀𝜀0--      ( δ)            2 π(2x)            (   x)
I(x) = --  ----E2 cos2  --  = I0cos2( ----λ- ) = I0cos2  2π --
       2   μμ0          2                2                  λ
(3.7)

oder umgeschrieben

       I0 [       (   x-)]
I(x) =  2  1 + cos 4 πλ
(3.8)

Die Ableitung dieser Gleichung ist

                   (     )
dI-(x-)     2πI0-       x-
  dx  =  −  λ   sin  4π λ
(3.9)

Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit beträgt

|(      |   ) |
||  dI(x)||     ||  2-πI0
||   dx  ||     || =  λ
         max
(3.10)

Wir können also die Distanz

      ---ΔI|---   -ΔI--
Δx  =  dI(x)||    = 2πI0 λ
        dx max
(3.11)

noch bestimmen. Dazu muss die Position (die Phase) so gelegt werden, dass der Sinus extremal ist:

pict

Wir bekommen so den Arbeitspunkt 8πxopt = (2j + 1)πλ oder

xopt(j) =  2j +-1-λ, j ∈ ℤ
            8
(3.13)

Maxima der Intensität am Ausgang liegen aber bei

        j
xmax  = -λ,   j ∈ ℤ
        2
(3.14)

und die Minima bei

        2j +-1-
xmin =    4   λ,  j ∈ ℤ
(3.15)

Wenn zum Beispiel λ = 500 nm ist und ΔI∕I0 = 0.01 ist, liegt der erste optimale Arbeitspunkt bei x = 67.5 nm und die mögliche Auflösung beträgt Δx = 0.8 nm.

Das Michelson-Interferometer wird häufig zur Messung von Distanzen verwendet.

Bei besserem Signal-Rauschverhältnis, können kleinere Längenänderungen bestimmt werden. Wenn ein Signal-Rausch-Verhältnis von etwa 1013 erreicht wird, können Gravitationswellen detektiert werden.

3.2.4  Sagnac-Interferometer



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 701])

__________________________________________________________________________

pict

Sagnac-Interferometer. Rechts nach einer Laufzeit.

_____________________________________________________________________

Beim Sagnac Interferometer läuft das Licht links- und rechts herum und interferiert dann. Die Lichtwege sind identisch, das Verschieben eines Spiegels erzeugt kein Signal. Wenn man das Sagnac-Interferometer jedoch mit der Kreisfrequenz Ω dreht, dann sind die Umlaufzeiten mit und gegen die Drehrichtung unterschiedlich. Die Behauptung ist, dass der Laufzeitunterschied zwischen der links- und der rechtsläufigen Welle

                     4A-
Δt = trechts − tlinks =  c2 Ω
(3.16)

ist. Dabei ist Ω die Winkelfrequenz, mit der das Interferometer rotiert, A die vom Licht eingeschlossene Fläche (in Abbildung 3.2.4 die Fläche des Dreieckes) und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Sagnac-Interferometer werden heute als Gyroskope verwendet. Sie messen zum Beispiel die Drehraten von Flugzeugen und werden so zur magnetfeldunabhängigen Navigation herangezogen.

Wir betrachten ein Interferometer aus n Seiten. Die Fläche des n-Ecks is n-,mal die Fläche eines einzelnen Dreiecks, und dessen Fläche AD = ah∕2. Beim n-Eck ist die Höhe h = R cos (π ∕n) und die Grundlinie a = 2R sin (π∕n). Damit ist

                     (   )
A (n) = nAD  =  n-sin  2-π  R2
                2      n
(3.17)

Wir brauchen nun die Strecke PA(t0)PB(t0 + Δt). Diese ist die Grundlinie in einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Spitzenwinkel

α± =  2π-± Ω Δtpm.
      n
(3.18)

Mit ± können beide Fälle gleichzeitig behandelt werden. Wir brauchen noch den Winkel an der Grundlinie (zweimal der gleiche Winkel β±

      1             π   π    Ω Δt±
β ± = 2-(π − α± ) = 2-− n- ∓ --2---.
(3.19)

Mit dem Sinussatz für beliebige Dreiecke bekommen wir die Länge der Grundlinie

pict

Die Zeit Δt± ist sowohl die Laufzeit von PA(t0) nach PB(t0 + Δt±) wie auch die Zeit, in der sich das Interferometer dreht. Wir haben also die Gleichungen

               (     (  )             (  ) )
Δt  =  ℓ±-=  R-  2sin  π- ±  ΩΔt   cos  π-
   ±    c    c         n         ±      n
(3.22)

welche gelten wenn |Ω | « |Δ1t-|
   ± gilt. Die Lösungen sind

                (π)
       --2R--sin--n(--)
Δt ± = c ∓ R Ω cos π
                   n
(3.23)

Damit ist der Laufzeitunterschied (und daraus kann die Phase berechnet werden)

                                       (  )
                             2nR2 Ω sin  π
Δteine Seite = Δt+ − Δt − = --------------n(---)
                           c2 − R2 Ω2 cos2 2π
                                           n
(3.24)

Auch dieser Ausdruck kann entwickelt werden wenn |Ω | «--1--
|Δt±| ist. Wir erhalten die linearisierte Gleichung,

                             (  )
                    2nR2  sin  2π
Δt  = nΔteine Seite =-------2---n--
                          c
(3.25)

und, wennn wir die Fläche A(n) des n-Ecks einsetzen

      4A-(n)
Δt =    c2  Ω
(3.26)

Diese Gleichung müsste eigentlich mit der allgemeinen Relativitätstheorie hergeleitet werden. Für langsame Drehungen ist das Resultat jedoch korrekt. Bei einem kreisförmigen Sagnac-Interferometer (z.B. mit whispering gallery modes) ist

          2
Δt  = 4πR---Ω = 4AKreis-Ω
        c2         c2

genau so gross. Mit c = Δs∕Δt folgt

                   4A(n-)            4A(n-)
Δs = N λ =  cΔt =    c   Ω =⇒  N  =   cλ   Ω
(3.27)

Beispiel: Mit Ω = 2π s1, A(n) = 0.01 m2 und λ = 632 nm (HeNe-Laser) erhält man N = 0.00132648 Dies ist eine kleine Zahl, kann aber mit Modulationstechniken problemlos gemessen werden.

3.2.5  Das Fabry-Perot-Interferometer



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 670]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 399]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 678])

Aus den Fresnelschen Gleichungen sind die Transmissionskoeffizienten für Amplituden für die beiden Polarisationsrichtungen p und s bekannt. Wir setzen nach den Gleichungen (2.27) und (2.33) können wir winkel- und polarisationsabhängige Transmissions- und Reflexionskoeffizienten definieren.

Für die Reflexion haben wir

    (
    { − ssinin((αα−+γγ((αα)))),  s-Polarisation (2.27);
r = ( tan[α−-γ(α)]
      tan[α+ γ(α)],    p-Polarisation (2.33) .
(3.28)

Analog schreiben wir für die Transmission

    (
    {  2sinγ(α)cosα-,        s-Polarisation (2.27);
t =     sin(α2+siγn(αγ)(α))cosα
    (  sin[α+-γ(α)]cos[α−-γ(α)], p-Polarisation (2.33) .
(3.29)

Im Weiteren sind mit t und r immer diese Koeffizienten aus den Fresnelschen Formeln gemeint.



Versuch zur Vorlesung:
Interferenz an dünnen Schichten als Beispiel für das Fabry-Perot-Interferometer (Versuchskarte O-085)


_______________________________________________

pict

Stokessche Behandlung von Reflexion und Brechung (nach Hecht [Hec05])

_____________________________________________________________________

Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude |E0i|, die vom oberen Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor r reflektiert wird, sowie mit dem Faktor t gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle ist dann t|E0i|, die der reflektierten Welle r|E0i|. Das Fermatsche Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die einfallende Welle mit der Amplitude r|E0i| und diejenige mit t|E0i| eine reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor rund der Transmissionsfaktor t. Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der in (b), wenn gilt

pict

Damit erhält man eine Verknüpfung der Reflexions- und Brechungskoeffizienten für den Übergang vom Medium 1 in das Medium 2 und umgekehrt. Dabei sind α und β die jeweiligen Einfallswinkel, die durch das Snelliussche Gesetz verknüpft sind.

pict

Diese beiden Gleichungen heissen die Stokeschen Relationen. Die zweite Gleichung zeigt, dass wenn r für die Reflexion am dichteren Medium steht, bei der es nach den Fresnelschen Formeln einen Phasensprung von π gibt, dass dann bei der Reflexion am optisch dünneren Medium kein Phasensprung auftritt.

__________________________________________________________________________

pict

Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Hecht [Hec05]). Dabei ist in der Zeichnung |E0i| = |E0i| gesetzt worden.

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Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer Glasplatte mit dem Brechungsindex nG mit planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten n = 1. Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (3.31) verwendet wurde. Die reflektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt P, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt P.

__________________________________________________________________________

pict

Strahlengang bei einem Fabry-Perot-Etalon (nach Pérez [Pér96, p. 392])

_____________________________________________________________________

Für das transmittierte Licht ist der Weglängenunterschied durch den Unterschied der optischen Wege UV und UXW, Λ = UXW UV der relevante Unterschied. Die Strecke UXW ist im Medium mit dem Brechungsindex nG, im Glas. Der optische Weg ist dann

UXW---=  2n  --d--.
           G cosβ

Weiter ist die Strecke UV durch UW sin α gegeben. Weiter ist aber auch UW = 2d tan β, eine rein geometrische Überlegung, die keine optischen Wege beinhaltet. Zusammen bekommen wir

----   -----
U V =  U W sin α = 2d tanβ sinα

Damit ist Λ für ein Etalon der Dicke d

pict

Der Gangunterschied für die Reflexion Δ kann aus dem Gangunterschied für die Transmission abgeleitet werden, wobei ein Phasensprung von π berücksichtigt werden muss. Wir haben mit ZUX = UXW und ZY = UV

     λ
Δ  = 2-+  2nGd cosβ
(3.33)

Bei den Strahlen, die in P interferieren, ist die Anzahl der inneren Reflexionen ungerade. Für den Spezialfall des senkrechten Einfalls, oder bei senkrechter Polarisation, ergeben die Reflexionen keine Phasenänderung. Wenn Λ = ist, haben in P alle Wellen die gleiche Phase, ausser der ersten, deren Phase wegen r= r um π ändert. Also ist die reflektierte Amplitude

                (                                      )
|E0r| = r |E0i| + t′r′t|E0i| + t′r ′3t|E0i| + t′r′5t|E0i| + ...
(3.34)

Da Λ = und damit die innere Phasenverschiebung 0 ist, ersetzen wir rmit r und erhalten

            [     ′  (     2   4      )]
|E0r| = |E0i| r − trt  1 + r + r  + ...
(3.35)

Diese geometrische Reihe konvergiert bei r2 < 1 gegen 1(1 r2), so dass wir

            [          ]         (           )
                  t′rt                    tt′
|E0r| = |E0i| r − -----2  = |E0i|r  1 − -----2
                 1 − r                 1 − r
(3.36)

Nach den Stokeschen Relationen ist tt= 1 r2 und damit die reflektierte Amplitude bei senkrechtem Einfall

|E  | = 0
  0r
(3.37)

Also wird im Falle Λ = = 2nGd cos β oder d cos β = -mλ
2nG alles Licht transmittiert.

Der zweite Spezialfall ist Λ = (     1)
 m +  2λ). Dann sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass r= r und dass die innere Phase π ist, die Phasenverschiebung π, ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für die skalare Amplitude

|E0r | = r |E0i| + t′rt|E0i| − t′r3t|E0i| + t′r5t|E0i| − ...
(3.38)

oder

             [       (                )]
|E  | = |E |r 1 + t′t 1 − r2 + r2 − ...
  0r      0i
(3.39)

Die Reihe in der Klammer konvergiert gegen 1(1 + r2). Wir erhalten also

              [          ]
                     t′t
|E0r| = |E0i|r 1 + -----2
                   1 + r
(3.40)

Mit tt = 1 r2 erhalten wir

             [          2]              2       2
|E0r| = |E0i|r 1 + 1 −-r-  = |E0i|r 1 +-r-+-1-−-r--=  |E0i|--2r--
                   1 + r2              1 + r2            1 + r2
(3.41)

Damit wird die reflektierte Intensität maximal, nämlich

      ∘ -----        ∘ -----
        𝜖𝜖0-|E0r|2-     𝜖𝜖0----4r2---|E0i|2-
Ir =    μμ    2   =    μμ  (1 + r2)2  2
           0              0
(3.42)

Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle E˜0(t) = E0ieiωt angeregten reflektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung δ = k0Λ ist. Wir betrachten eine definierte Polarisationsrichtung s oder p, so dass wir betragsmässig schreiben können

 ˜E1r(t)  =  |E0i|reiωt                   (3.43)
 ˜                ′′  i(ωt− δ)
 E2r(t)  =  |E0i|tr te
 ˜E3r(t)  =  |E0i|t′r′3tei(ωt− 2δ)
 ˜E  (t)  =  |E  |t′r′5tei(ωt− 3δ)
  4r          0i
         ...
                  ′′(2N −3) i(ωt−(N −1)δ)
E˜Nr (t)  =  |E0i|tr       te
         ..
         .

Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen

˜     ˜     ˜     ˜     ˜
Er = E1r + E2r + E3r + E4r +  ...
(3.44)

Eingesetzt erhalten wir die Summe

˜           iωt       ′′  i(ωt− δ)       ′ ′3  i(ωt−2δ)       ′′5  i(ωt−3δ)
Er = |E0i|re  + |E0i|tr te     + |E0i|tr te       +|E0i|tr  te      +...
(3.45)

Zusammengefasst kann diese so umgeschrieben werden

                {            [                                      ]}
˜Er  =   |E0i|eiωt  r + t′r′te−iδ 1 + r′2e−iδ + r′4e−i(2δ) + r′6e−i(3δ) + ... (3.46)
                {            [    (       )   (       )    (      )      ]}
    =   |E  |eiωt  r + t′r′te− iδ 1 +  r′2e−iδ 1 +  r′2e−iδ 2 +  r′2e− iδ 3 + ...
          0i

Für || ′2 − iδ||
|r e   | < 1 konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten

              [              ]
           iωt       t′r′te−iδ
˜Er = |E0i|e    r + 1 −-r′2e−iδ-
(3.47)

Mit den Stokeschen Relationen r= r und tt = 1 r2 bekommen wir

              [                 ]           [           ]
           iωt     r(1 − r2)e−iδ          iωt r(1 − e− iδ)
˜Er = |E0i|e    r − -1-−-r2e−-iδ-- =  |E0i|e    -1 −-r2e−iδ
(3.48)

Die reflektierte optische Intensität ist Ir = 1
2∘ ----
  -𝜀𝜀0
  μμ0rr und somit

     ∘ -----
       -𝜀𝜀0|E0i|2 2--(1-−-e−iδ)(1-−-e+iδ)---    ---2r2(1 −-cos-δ)--
Ir =   μ μ   2   r (1 − r2e−iδ) (1 − r2e+iδ) = Ii(1 + r4) − 2r2 cosδ
          0
(3.49)

Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität

                  22
I  = I -----(1 −-r-)------
 t    i(1 + r4) − 2r2 cosδ
(3.50)

da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt. Mit cos δ = 1 2 sin 2(δ∕2) werden It und Ir

            [-2r--]2   2
I   =   I ---1−-r2---sin-(δ∕2-)--       (3.51)
 r       i   [ -2r-]2   2
          1 +  1− r2   sin (δ∕2)
          ---------1----------
It  =   Ii   [ -2r-]2   2
          1 +  1− r2   sin (δ∕2)

Wir haben dabei angenommen, dass keine Energie absorbiert wird1 . Dann ist Ii = It + Ir. Ein Maximum in der Transmission erhält man, wenn der Nenner möglichst klein, das heisst, dass in Gleichung (3.50) cos δ = 1 ist. Dann ist

It|max =  Ii
(3.52)

und

Ir|min = 0
(3.53)

Umgekehrt ist die Transmission minimal, wenn der Nenner bei It maximal ist, also wenn in Gleichung (3.50) cos δ = 1 ist

                22
It|    = Ii(1 −-r-)-
  min     (1 + r2)2
(3.54)

und

              4r2
Ir|max = Ii------2-2
           (1 + r )
(3.55)

Es hat sich eingebürgert, dass Fabry-Perot-Interferometer mit der Kennzahl Finessefaktor charakterisiert werden:

    (       )2
F =   --2r--
      1 − r2
(3.56)

Dann gilt für die Intensitätsverhältnisse

              2
Ir  =   -F--sin-(δ∕2)---          (3.57)
Ii      1 + F sin2(δ∕2)
I             1
-t  =   --------2------
Ii      1 + F sin (δ∕2)

wobei die Funktion          2
[1 + F sin (δ∕2 )] 1 = A(δ) auch Airy-Funktion genannt wird2 .

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pict

Transmission durch ein Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von oben nach unten sind die Transmissionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.

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pict

Reflexion an einem Fabry-Perot-Etalon in Abhängigkeit von der Finesse F. Von unten nach oben sind die Reflexionskurven für F = 1, F = 2, F = 4, F = 8, F = 16, F = 32, F = 64, F = 128 und F = 256 dargestellt.

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Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch

1-=  It = --------1---------
2    Ii   1 + F sin2(δ1∕2∕2 )
(3.58)

gegeben. Daraus folgt

              (     )
                 1
δ1∕2 = 2arcsin  √----
                  F
(3.59)

Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist

      √ --
     π  F
F =  --2---
(3.60)

Die einfachsten Fabry-Perot-Spektrometer haben ein F30. Werte von F1000 sind an der Grenze des technisch machbaren. Wenn bei dem Fabry-Perot-Spektrometer Absorption vorhanden ist, müssen kompliziertere Gleichungen, die Sie zum Beispiel in Hecht [Hec05, 617] finden, verwendet werden.

3.2.6  Beugungsmuster bei Interferometern

Die Wellenfronten in Interferometern sind nicht eben sondern in erster Näherung sphärisch. Jedes Interferometer hat eine endliche Ausdehnung. Licht wird deshalb an den Bauteilen des Interferometers gebeugt. Seine Flächen gleicher Phase sind also gekrümmt. Dies wird im Kapitel 7.3 über Gausssche Strahlen noch weiter ausgeführt.

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Geometrie zur Berechnung der Ringmuster in Interferometern

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Wir haben nach Abbildung 3.2.6 mit r2 = x2 + y2 in der xy-Ebene

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Gleichung (3.61c) zeigt, dass die Phase der durch die Interferenz resultierenden Welle proportional zu r2 ist.

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Simulation der Interferenzringe nach (3.61c) mit R1∕λ = 50, R2∕λ = 100

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Abbildung 3.2.6 zeigt eine Simulation dieser Ringe.

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Geometrie zur Berechnung der Streifenmuster in Interferometern

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Oftmals sind die Strahlen seitlich versetzt. Abbildung 3.2.6 zeigt die neue Geometrie. Dies führt zu

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Gleichung (3.62c) zeigt, dass das Muster aus Ringen aus Gleichung (3.61c) mit einer linearen Phase überlagert wird.

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Simulation der Interferenzringe nach (3.62c) mit R1∕λ = 50, R2∕λ = 100 und Δx∕λ = 10.

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Dies führt, wie in Abbildung 3.2.6 gezeigt zu streifenförmigen gekrümmten Interferenzmustern.



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