3.2  Phasendifferenz und Kohärenz

Wir betrachten Wellen, die sich auf verschiedenen Wegen ausbreiten und die unterschiedliche Abstände zu einer Quelle haben.

Die Kohärenz von Wellen ist nur im Idealfall überall und zu jeder Zeit gegeben.

Kohärenzzeit

Jede Quelle hat ein beschränktes Phasengedächtnis. Dies bedeutet, dass die Wellenzüge, die vor einer Zeit grösser als die Kohärenzzeit τ emittiert wurden, keine definierte Phasenbeziehung mehr haben. Der Phasenunterschied wird eine stochastische Grösse.

Kohärenzlänge

Die Kohärenzzeit τ kann in eine Kohärenzlänge L umgerechnet werden. Ist der Weglängenunterschied grösser als L, gibt es keine Kohärenz mehr.

Hat eine Quelle (ein gedämpfter harmonischer Oszillator) eine Bandbreite Δν, dann ist die Kohärenzzeit τ ≈ Δν⁻¹ und L ≈cτ ≈.

Ist die Lichtquelle ausgedehnt (Breite b), dann gibt es nur im Winkelbereich σ < eine kohärente Überlagerung.

Die Intensität muss verschieden berechnet werden, je nachdem ob die beiden Wellenzüge mit den Amplituden ₁ und ₂ kohärent oder nicht sind.

bei kohärenten Wellenzügen

I(x,t) = ²

bei inkohärenten Wellenzügen

I(x,t) =

Bei kohärenten Wellen mit dem Phasenunterschied ϕ und den Amplituden ₁ und ₂ ist die resultierende Amplitude

3.2.1  Stehende Wellen

Wenn wir eine nach links laufende Welle A₁(x,t) = A₀ exp und eine nach rechts laufende Welle A₂ = A₀ exp mit gleicher Amplitude zur Interferenz kommen lassen, erhalten wir

Die Summe der beiden Wellenfunktionen ist das Produkt zweier Terme

• ein zeitabhängiger Teil, der für alle Orte gleich ist: cos
• ein ortsabhängiger Teil, der für alle Zeiten gleich ist: exp

Damit bilden sich räumlich stehende Knotenlinien aus, wir haben eine stehende Welle.

3.2.2  Mach-Zehnder-Interferometer

In Gleichung (3.2) zeigt sich, dass bei einem optischen Aufbau, der effektiv nur von einer Ortskoordinate abhängt, die zeitlich gemittelte Amplitude nur von der Phase δ abhängt. Das heisst, dass es reicht, die Phasen zu untersuchen! Beachten Sie, in Gleichung (3.2) wurde die Phase δ nur einem Weg zugeordnet, die zeitgemittelte Amplitude hängt aber von cos(δ∕2) ab.

Abbildung 3.2.2 zeigt den schematischen Aufbau eines Mach-Zehnder-Interferometers. Licht aus der Quelle trifft auf den halbdurchlässigen Spiegel S₁ und spaltet sich in die zwei Wege s₁ und s₂ auf. Der Weg s₁ läuft vom Spiegel S₁ über S₃ nach S₄, der Weg s₂ vom Spiegel S₁ über S₂ nach S₄. Am Spiegel S₄ werden die Lichtwellen vereinigt und gelangen interferierend auf den Detektor.

Die relative Phase des Lichtes für die beiden Wege s₁ und s₂ kann aus dem Brechungsindexverlauf entlang der Wege berechnet werden. Die Geschwindigkeit ist durch c(s) = c₀∕n(s) gegeben. Dann ist

(3.3)

Die Phasendifferenz von Licht mit der Vakuumwellenlänge λ₀ und damit der Frequenz ω = 2πν = 2πc₀∕λ₀ ist

(3.4)

Die beobachtete zeitgemittelte Amplitude am Ort x = 0 (kann willkürlich gewählt werden!) ist nach Gleichung (3.2) mit (δ) = ₁(x,t) + ₂(x,t), beide mit gleichen Amplituden

(3.5)

wobei I₀ = _t = ₀² ist.

Das heisst, dass das Ausgangssignal des Mach-Zehnder-Interferometers nicht nur von der geometrischen Weglängendifferenz, sondern auch von Unterschieden der Brechungsindizes abhängt. Das Licht läuft in beiden Armen mit einer definierten Richtung. Das heisst, dass der Ausgang des Mach-Zehnder-Interferometers abhängig zum Beispiel von der Fliessrichtung eines Mediums mit dem Brechungsindex n ist. Mach-Zehnder-Interferometer werden kaum zur Distanzmessung aber oftmals zur Messung von Brechungsindexdifferenzen verwendet.

3.2.3  Das Michelson-Interferometer

Beim Michelson-Interferometer wird Licht durch einen Strahlteiler in zwei Lichtwege aufgespalten. Der Weg vom Strahlteiler zum festen Spiegel sei ℓ₁, der zum beweglichen ℓ₂. Analog zum Mach-Zehnder-Interferometer (siehe Abschnitt 3.2.2) kann die Phase wie folgt geschrieben werden:

(3.6)

Die Phase hängt also sowohl vom Weglängenunterschied wie auch von Unterschieden im Brechungsindex ab. Anders als beim Mach-Zehnder-Interferometer wird jeder Weg zweimal und zwar gegenläufig durchlaufen. Bewegungseffekte mitteln sich so in erster Näherung heraus.

Der gesamte Weglängenunterschied ist bei konstantem n_i(s) = n₀ durch Δℓ = 2(ℓ₂ −ℓ₁) gegeben. Immer wenn Δℓ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ ist, tritt konstruktive Interferenz auf. Wird der bewegliche Spiegel um λ∕4 verschoben, ändert sich Δℓ um λ∕2, dann haben wir destruktive Interferenz.

Wenn wir das Interferometer am Ausgang mit einer Intensität von I₀ betreiben und wenn wir eine Intensitätsänderung von ΔI noch messen können, dann können wir die mögliche Distanzauflösung in nichtmagnetischen Medien wie folgt berechnen:

(3.7)

oder umgeschrieben

(3.8)

Die Ableitung dieser Gleichung ist

(3.9)

Die maximale Steigung, also die höchste Empfindlichkeit beträgt

(3.10)

Wir können also die Distanz

(3.11)

noch bestimmen. Dazu muss die Position (die Phase) so gelegt werden, dass der Sinus extremal ist:

Wir bekommen so den Arbeitspunkt 8πx_opt = (2j + 1)πλ oder

(3.13)

Maxima der Intensität am Ausgang liegen aber bei

(3.14)

und die Minima bei

(3.15)

Wenn zum Beispiel λ = 500 nm ist und ΔI∕I₀ = 0.01 ist, liegt der erste optimale Arbeitspunkt bei x = 67.5 nm und die mögliche Auflösung beträgt Δx = 0.8 nm.

Das Michelson-Interferometer wird häufig zur Messung von Distanzen verwendet.

Bei besserem Signal-Rauschverhältnis, können kleinere Längenänderungen bestimmt werden. Wenn ein Signal-Rausch-Verhältnis von etwa 10⁻¹³ erreicht wird, können Gravitationswellen detektiert werden.

3.2.4  Sagnac-Interferometer

Beim Sagnac Interferometer läuft das Licht links- und rechts herum und interferiert dann. Die Lichtwege sind identisch, das Verschieben eines Spiegels erzeugt kein Signal. Wenn man das Sagnac-Interferometer jedoch mit der Kreisfrequenz Ω dreht, dann sind die Umlaufzeiten mit und gegen die Drehrichtung unterschiedlich. Die Behauptung ist, dass der Laufzeitunterschied zwischen der links- und der rechtsläufigen Welle

(3.16)

ist. Dabei ist Ω die Winkelfrequenz, mit der das Interferometer rotiert, A die vom Licht eingeschlossene Fläche (in Abbildung 3.2.4 die Fläche des Dreieckes) und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Sagnac-Interferometer werden heute als Gyroskope verwendet. Sie messen zum Beispiel die Drehraten von Flugzeugen und werden so zur magnetfeldunabhängigen Navigation herangezogen.

Wir betrachten ein Interferometer aus n Seiten. Die Fläche des n-Ecks is n-,mal die Fläche eines einzelnen Dreiecks, und dessen Fläche A_D = ah∕2. Beim n-Eck ist die Höhe h = R cos und die Grundlinie a = 2R sin . Damit ist

(3.17)

Wir brauchen nun die Strecke P_A(t₀)P_B(t₀ + Δt). Diese ist die Grundlinie in einem gleichschenkligen Dreieck mit dem Spitzenwinkel

(3.18)

Mit ± können beide Fälle gleichzeitig behandelt werden. Wir brauchen noch den Winkel an der Grundlinie (zweimal der gleiche Winkel β_±

(3.19)

Mit dem Sinussatz für beliebige Dreiecke bekommen wir die Länge der Grundlinie

Die Zeit Δt_± ist sowohl die Laufzeit von P_A(t₀) nach P_B(t₀ + Δt_±) wie auch die Zeit, in der sich das Interferometer dreht. Wir haben also die Gleichungen

(3.22)

welche gelten wenn « gilt. Die Lösungen sind

(3.23)

Damit ist der Laufzeitunterschied (und daraus kann die Phase berechnet werden)

(3.24)

Auch dieser Ausdruck kann entwickelt werden wenn « ist. Wir erhalten die linearisierte Gleichung,

(3.25)

und, wennn wir die Fläche A(n) des n-Ecks einsetzen

(3.26)

Diese Gleichung müsste eigentlich mit der allgemeinen Relativitätstheorie hergeleitet werden. Für langsame Drehungen ist das Resultat jedoch korrekt. Bei einem kreisförmigen Sagnac-Interferometer (z.B. mit whispering gallery modes) ist

genau so gross. Mit c = Δs∕Δt folgt

(3.27)

Beispiel: Mit Ω = 2π s−1, A(n) = 0.01 m2 und λ = 632 nm (HeNe-Laser) erhält man N = 0.00132648 Dies ist eine kleine Zahl, kann aber mit Modulationstechniken problemlos gemessen werden.

3.2.5  Das Fabry-Perot-Interferometer

Aus den Fresnelschen Gleichungen sind die Transmissionskoeffizienten für Amplituden für die beiden Polarisationsrichtungen p und s bekannt. Wir setzen nach den Gleichungen (2.27) und (2.33) können wir winkel- und polarisationsabhängige Transmissions- und Reflexionskoeffizienten definieren.

Für die Reflexion haben wir

(3.28)

Analog schreiben wir für die Transmission

(3.29)

Im Weiteren sind mit t und r immer diese Koeffizienten aus den Fresnelschen Formeln gemeint.

Wir nehmen an, dass eine Welle mit der Amplitude , die vom oberen Medium her auf die Grenzfläche auftritt, mit dem Faktor r reflektiert wird, sowie mit dem Faktor t gebrochen wird. Die Amplitude der gebrochenen Welle ist dann t, die der reflektierten Welle r. Das Fermatsche Prinzip bedeutet, dass auch die zeitumgekehrte Situation eine physikalisch realisierbare ist. Also ist auch die Strahlführung im Teilbild (b) oben eine realisierbare Situation. Dabei müssen wir uns klar machen, dass sowohl die einfallende Welle mit der Amplitude r und diejenige mit t eine reflektierte und eine transmittierte, gebrochene Welle erzeugen. Dabei ist für die Welle, die von unten kommt der Reflexionsfaktor r′ und der Transmissionsfaktor t′. Die Situation in (c) ist nur dann äquivalent zu der in (b), wenn gilt

Damit erhält man eine Verknüpfung der Reflexions- und Brechungskoeffizienten für den Übergang vom Medium 1 in das Medium 2 und umgekehrt. Dabei sind α und β die jeweiligen Einfallswinkel, die durch das Snelliussche Gesetz verknüpft sind.

Diese beiden Gleichungen heissen die Stokeschen Relationen. Die zweite Gleichung zeigt, dass wenn r für die Reflexion am dichteren Medium steht, bei der es nach den Fresnelschen Formeln einen Phasensprung von π gibt, dass dann bei der Reflexion am optisch dünneren Medium kein Phasensprung auftritt.

Wir betrachten nun die Reflexion an einem Etalon, also einer Glasplatte mit dem Brechungsindex n_G mit planparallelen Oberflächen. Im Aussenraum sei auf beiden Seiten n = 1. Die Abbildung zeigt die reflektierten und gebrochenen Strahlen, wobei die Konvention der Gleichung (3.31) verwendet wurde. Die reflektierten Strahlen interferieren in dem weit entfernten Punkt P, die transmittierten Strahlen im weit entfernten Punkt P′.

Für das transmittierte Licht ist der Weglängenunterschied durch den Unterschied der optischen Wege UV und UXW, Λ = UXW −UV der relevante Unterschied. Die Strecke UXW ist im Medium mit dem Brechungsindex n_G, im Glas. Der optische Weg ist dann

Weiter ist die Strecke UV durch UW sin α gegeben. Weiter ist aber auch UW = 2d tan β, eine rein geometrische Überlegung, die keine optischen Wege beinhaltet. Zusammen bekommen wir

Damit ist Λ für ein Etalon der Dicke d

Der Gangunterschied für die Reflexion Δ kann aus dem Gangunterschied für die Transmission abgeleitet werden, wobei ein Phasensprung von π berücksichtigt werden muss. Wir haben mit ZUX = UXW und ZY = UV

(3.33)

Bei den Strahlen, die in P interferieren, ist die Anzahl der inneren Reflexionen ungerade. Für den Spezialfall des senkrechten Einfalls, oder bei senkrechter Polarisation, ergeben die Reflexionen keine Phasenänderung. Wenn Λ = mλ ist, haben in P alle Wellen die gleiche Phase, ausser der ersten, deren Phase wegen r′ = −r um π ändert. Also ist die reflektierte Amplitude

(3.34)

Da Λ = mλ und damit die innere Phasenverschiebung 0 ist, ersetzen wir r′ mit −r und erhalten

(3.35)

Diese geometrische Reihe konvergiert bei r² < 1 gegen 1∕(1 −r²), so dass wir

(3.36)

Nach den Stokeschen Relationen ist tt′ = 1 −r² und damit die reflektierte Amplitude bei senkrechtem Einfall

(3.37)

Also wird im Falle Λ = mλ = 2n_Gd cos β oder d cos β = alles Licht transmittiert.

Der zweite Spezialfall ist Λ = λ). Dann sind die relativen Phasen benachbarter Wellen, unter der Berücksichtigung dass r′ = −r und dass die innere Phase π ist, die Phasenverschiebung π, ausser bei den ersten beiden Wellen, die gleichphasig sind. Wir erhalten für die skalare Amplitude

(3.38)

oder

(3.39)

Die Reihe in der Klammer konvergiert gegen 1∕(1 + r²). Wir erhalten also

(3.40)

Mit t′t = 1 −r² erhalten wir

(3.41)

Damit wird die reflektierte Intensität maximal, nämlich

(3.42)

Den allgemeinen Fall kann man berechnen, indem man die durch die einfallende Welle ₀(t) = _0ie^iωt angeregten reflektierten Teilwellen aufschreibt, wobei zwischen zwei Teilwellen die Phasenverschiebung δ = k₀Λ ist. Wir betrachten eine definierte Polarisationsrichtung s oder p, so dass wir betragsmässig schreiben können

Die resultierende Welle ist die Summe aller Teilwellen

(3.44)

Eingesetzt erhalten wir die Summe

(3.45)

Zusammengefasst kann diese so umgeschrieben werden

Für < 1 konvergiert die geometrische Reihe. Wir erhalten

(3.47)

Mit den Stokeschen Relationen r′ = −r und t′t = 1 −r² bekommen wir

(3.48)

Die reflektierte optische Intensität ist I_r = Ẽ_rẼ_r∗ und somit

(3.49)

Mit einer analogen Ableitung berechnet man die transmittierte Intensität

(3.50)

da das transmittierte Licht sich im gleichen Medium wie das einfallende Licht sich bewegt. Mit cos δ = 1 − 2 sin ²(δ∕2) werden I_t und I_r

Wir haben dabei angenommen, dass keine Energie absorbiert wird ¹ . Dann ist I_i = I_t + I_r. Ein Maximum in der Transmission erhält man, wenn der Nenner möglichst klein, das heisst, dass in Gleichung (3.50) cos δ = 1 ist. Dann ist

(3.52)

und

(3.53)

Umgekehrt ist die Transmission minimal, wenn der Nenner bei I_t maximal ist, also wenn in Gleichung (3.50) cos δ = −1 ist

(3.54)

und

(3.55)

Es hat sich eingebürgert, dass Fabry-Perot-Interferometer mit der Kennzahl Finessefaktor charakterisiert werden:

(3.56)

Dann gilt für die Intensitätsverhältnisse

wobei die Funktion ⁻¹ = A(δ) auch Airy-Funktion genannt wird² .

Die Halbwertsbreite der Transmissionskurven ist durch

(3.58)

gegeben. Daraus folgt

(3.59)

Das Verhältnis des Abstandes benachbarter Maxima zu der Halbwertsbreite heisst Finesse und ist

(3.60)

Die einfachsten Fabry-Perot-Spektrometer haben ein F ≈ 30. Werte von F ≈ 1000 sind an der Grenze des technisch machbaren. Wenn bei dem Fabry-Perot-Spektrometer Absorption vorhanden ist, müssen kompliziertere Gleichungen, die Sie zum Beispiel in Hecht [Hec05, 617] finden, verwendet werden.

3.2.6  Beugungsmuster bei Interferometern

Die Wellenfronten in Interferometern sind nicht eben sondern in erster Näherung sphärisch. Jedes Interferometer hat eine endliche Ausdehnung. Licht wird deshalb an den Bauteilen des Interferometers gebeugt. Seine Flächen gleicher Phase sind also gekrümmt. Dies wird im Kapitel 7.3 über Gausssche Strahlen noch weiter ausgeführt.

Wir haben nach Abbildung 3.2.6 mit r² = x² + y² in der xy-Ebene

Gleichung (3.61c) zeigt, dass die Phase der durch die Interferenz resultierenden Welle proportional zu r² ist.

Abbildung 3.2.6 zeigt eine Simulation dieser Ringe.

Oftmals sind die Strahlen seitlich versetzt. Abbildung 3.2.6 zeigt die neue Geometrie. Dies führt zu

Gleichung (3.62c) zeigt, dass das Muster aus Ringen aus Gleichung (3.61c) mit einer linearen Phase überlagert wird.

Dies führt, wie in Abbildung 3.2.6 gezeigt zu streifenförmigen gekrümmten Interferenzmustern.