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3.4  Das Fresnel-Huygenssche Prinzip



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 163, 650]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 328]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1028])

Die Beugung von Wellen an einem Objekt kann mit dem Prinzip von Fresnel-Huygens erklärt werden.

Dieses Prinzip kann mit Hilfe von sphärischen Wellen (3.8) und der Fourier-Transformation (3.23) motiviert werden. Wir betrachten das elektrische Feld einer elektromagnetischen Welle in einer Ebene, praktischerweise mit z = 0. Die komplexe Amplitude (ein Weg, die Phase mit zu berücksichtigen) ist in dieser Ebene ortsabhängig. Der Mittelpunkt der Kugelwelle wird dabei nach r0 verschoben.

              E0(r0)
E (r,r0,t) = --------exp (i(k |r0 − r | − ωt))
             |r0 − r|
(3.1)

Die resultierende Welle kann als Summe von einzelwellen, oder im kontinuierlichen Falle als Integral geschrieben werden.

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In Komponenten haben wir r = (x,y,z)T und r 0 = (x0,y0, 0)T . Wir setzen ρ = (ρxyz)T = (x x 0,y y0,z)T . Mit der neuen Variablen ρ und x = dx0 und y = dy0 und dr0 = (dx0)(dy0) = dρ lautet das Integral:

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Weit weg von der Ebene z = 0 kann man schreiben, dass ρ ρ0 ist. Wir können dann schreiben

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Aus dieser Gleichung folgt, die komplexe Amplitude einer elektromagnetischen Welle, die in einer Ebene bekannt ist, näherungsweise als Fouriertransformation beschrieben werden kann. Genauere Analysen (später) sind die Kirchhoff-Theorie, die Fraunhofer-Theorie und die Fresnel-Theorie.

Andererseits kann, wenn vom Integral zurück zu einer Summe gegangen wird, und die 1∕ρ-Abhängigkeit vernachlässigt wird, das Fresnel-Huygenssche Prinzip formuliert werden.

Das Fresnel-Huygenssche Prinzip
Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen kugelförmigen Elementarwelle, die die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit und Frequenz wie die ursprüngliche Welle hat. Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt.

Man nimmt eine Momentaufnahme des Wellenbildes eines bestimmten Wellenberges und nimmt jeden Punkt auf diesem Wellenberg als Ausgangspunkt einer neuen Kreiswelle (Kugelwelle in 3 Dimensionen).

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Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

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Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 17 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 33 Kreiswellen.

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Huygenssches Prinzip. Links die Interferenz von 65 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie, die 4 mal so lang ist wie die Bildkante. Rechts das gleiche mit 129 Kreiswellen.

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Die Beugung an einem Spalt kann so verstanden werden, dass nicht mehr Kreiswellen aus einem grossen Bereich, sondern nur noch Kreiswellen aus dem Spalt zum neuen Wellenbild beitragen.

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Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links die Interferenz von 5 Kreiswellen auf einer horizontalen Linie im Spalt. Rechts das gleiche mit 9 Kreiswellen.

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Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Spalt. Links das Interferenzmuster bei einer Spaltbreite von 1 Wellenlänge, rechts von 3 Wellenlängen.

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Huygenssches Prinzip. Interferenzmuster an einem Gitter. Die im Bild sichtbare Drehung rührt daher, dass nur eine endliche Anzahl von Gitterschlitzen berücksichtigt wurde.

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3.4.1  Interferenz von Kugelwellen

Nach dem Fresnel-Huygensschen Prinzip interferieren Kugelwellen. Bei grossem ρ (siehe auch Gleichung (3.4)) und achsnahen Positionen ist

    ∘ --------------     (     (ρ2+ ρ2 ))
ρ =   ρ2z + (ρ2x + ρ2y) ≈ ρz  1 + --x----y-  ≈ ρz
                                 2 ρz
(3.5)

Situationen, bei denen Gleichung (3.5) gilt, heissen paraxial, die Näherung also paraxiale Näherung.

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Interferenz zweier Wellen aus A und B

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Die Interferenz von Kugelwellen kann bei etwa gleichen Amplituden nach Abbildung 3.4.1 berechnet werden. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass der Weglängenunterschied von A nach P und von B nach P Δ= d sin φ ist. Aus Gleichung (3.1) wissen wir, dass konstruktive Interferenz auftritt, wenn

sinφ =  nλ-     n =  0, ± 1, ± 2, ...
         d
(3.6)

ist. In der paraxialen Näherung (kleine φ) gilt auch

    n λ
φ = ---      n = 0, ± 1, ± 2, ...
     d
(3.7)

Interferenzminima treten bei

        (n +-1∕2)λ-
sin φ =      d           n = ±1,  ± 2, ...
(3.8)

oder, in der paraxialen Näherung (kleine ϕ), bei

     (n + 1∕2)λ
φ  = -----------     n =  ±1, ± 2, ...
          d
(3.9)

Die Lage der Interferenzextrema hängen von der Wellenlänge ab.



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