4.1  Basismessverfahren

Zu den Basismessverfahren zählen die Messung von Strom und Spannung, sowohl im Falle von Gleichstrom und -spannung, wie auch für Wechselstrom und -spannung.

4.1.1  Strom

Ströme können sowohl mit Spannungsmessern als auch mit Strommessern oder elektronischen Mitteln bestimmt werden. Für Gleichströme zeigt Abbildung 4.1 die Schaltung, unter Berücksichtigung des endlichen Ausgangswiderstandes R₁ der Stromquelle und des endlichen Innenwiderstandes R₂ des Strommessers. Wenn durch R_j der Strom I_j fliesst, so gilt für den Quellstrom I_S = I₁ + I₂. Weiter müssen die Spannungsabfälle an R₁ und R₂ gleich sein, da ja der Strommesser ideal sein soll.

(4.1)

Gleichung (4.1) zeigt, dass der Messfehler umso kleiner ist, je grösser der Ausgangswiderstand der Quelle und je kleiner der Widerstand des Messwerkes ist. Die beiden Anordnungen in Abbildung 4.1 unterscheiden sich im Innenwiderstand R₂ des Messwerkes. Rechts ist der Innenwiderstand kleiner, der Fehler also auch kleiner.

Die untere Zeile der Abbildung 4.1 zeigt den Aufbau eines analogen Drehspulenstrommessers. Die Spule bewegt sich in einem engen Spalt zwischen dem zylinderförmigen Südpol und den aussen liegenden Nordpolen. Im Spalt wird, ähnlich wie bei einem Plattenkondensator ein in guter Näherung homogenes Magnetfeld erzeugt. Der Strom, der durch die Spule (rot) fliesst bewirkt ein Drehmoment aufgrund der Lorentzkraft. Die Spiralfeder erzeugt ein rückstellendes Richtmoment, so dass das Drehmoment aufgrund des Stromes mit dem Drehmoment der Spiralfeder verglichen wird. In guter Näherung ist das rückstellende Drehmoment der Spiralfeder proportional zum Auslenkungswinkel.

In der Abbildung 4.2 wird der Strom I_S mit einem Spannungsmesser bestimmt. Ein idealer Spannungsmesser hat den Innenwiderstand ∞. Der Widerstand R₁ ist wieder der Ausgangswiderstand der Stromquelle. R₂ ist der Messwiderstand: er enthält, implizit, den Eingangswiderstand des Spannungsmessers. Der Ausgangsstrom der Stromquelle verteilt sich wieder auf die beiden Widerstände R₁ und R₂ nach dem Gesetz I_S = I₁ + I₂. Gemessen wird

Wieder ist ersichtlich, dass der Fehler minimal wird, wenn der Ausgangswiderstand R₁ der Stromquelle gross gegen den Messwiderstand R₂ ist. Die beiden Darstellungen in Abb. 4.2 unterscheiden sich durch den Wert des Messwiderstandes. Aus U₂ wird mit I₂ = auf den Strom geschlossen.

In Abb. 4.3 ist dargestellt, wie mit einer Umschaltung Messbereiche eingestellt werden können. Hier ist R₂ der Innenwiderstand des Messwerkes. In der Abbildung 4.3 ist R₃ in Serie dazu geschaltet und R₁ ist der Messwiderstand. In der Abbildung rechts ist der Messwiderstand R₁ + R₃, der Innenwiderstand des Messwerkes wird allein durch R₂ gebildet. Allgemein gilt für den Messstrom I₂

(4.3)

Mit „Alle Widerstände“ sind alle gemeint, einschliesslich des Innenwiderstands des Messwerkes. In Abb 4.3 sind die Werte so berechnet worden, dass links der Messstrom ein hundertstel und rechts ein Zehntel des Quellstromes ist.

In Abb. 4.4 wird die Spannung am Messwiderstand R₁ mit einem Spannungsmesser mit umschaltbaren Bereichen gemessen. Die Widerstände R₃ und R₄ werden in Serie zu R₂ geschaltet. Der Quellstrom I_S = I₁ + I₂ setzt sich aus dem Strom I₁ durch den Messwiderstand R₁ und dem Strom I₂ durch das Messwerk zusammen. Es gilt für I₂

(4.4)

Somit ist klar, dass mit R_3,4 die Empfindlichkeit umgeschaltet werden kann. Nachteilig ist, dass der Messwiderstand konstant bleibt, dass also die Verlustleistung P = I₁R₁² extrem hoch werden kann.

Die Schaltung in Abb. 4.5 ist die in der Messtechnik gebräuchliche. R₃ ist der Innenwiderstand des Spannungsmessers. Für die gemessene Spannung U gilt:

(4.5)

Da der Spannungsbereich fest ist, nimmt die Verlustleistung an den Messwiderständen R_1,2 nur linear zu, anders als in den Schaltungen der Abb. 4.4.

In Abb. 4.6 wird die Messung eines Stromes mit der Kompensationsmethode dargestellt (Äquivalent zur Poggendorffschen Spannungskompensation). Die linke Seite der Abbildung zeigt einen nicht-abgeglichenen Zustand, die rechte Seite ist abgeglichen.

Kleine Ströme werden heute meistens mit Strom-Spannungswandler-Schaltungen gemessen. Abb. 4.7 zeigt solche Schaltungen. Oben links ist die Schaltung mit einem idealen Operationsverstärker aufgebaut. Es gilt:

(4.6)

In der Abbildung ist R = 100kΩ und I_ein = 10μA. Entsprechend ist die Ausgangsspannung U_aus = 1V . Oben rechts ist die gleiche Schaltung mit einem Operationsverstärker LM741. Dieses Bauteil hat relativ grosse Bias-Ströme, die zu den Eingangsströmen dazu zu zählen sind. Der resultierende Fehler ist immerhin 0.8%. In der zweiten Reihe links ist die Schaltung mit dem Verstärker INA105 aufgebaut. Dieser Typ hat sehr viel kleiner Eingangsströme. Ist der Ausgangswiderstand der Stromquelle jedoch relativ klein, wie in der zweiten Reihe rechts gezeigt, dann ist der Ausgang des INA105 ebenfalls fehlerbehaftet. Hier hilft, wie unten in Abb. 4.7 gezeigt, ein Präzisionsverstärker mit Eingangsströmen im fA-Bereich, der OPA111. Natürlich könnte man, wie im vorangegangen Kapitel besprochen, die BIAS-Kompensationstechniken anwenden.

Abb. 4.8 zeigt einen erdfreien Strom-Spannungswandler. Die beiden Eingangsverstärker sind als Stromwandler geschaltet, wobei die Rückkopplung zum jeweils anderen Operationsverstärker geht. Die Widerstände R8 und R9 bilden Die Rückkopplung der beiden Verstärker AR4 und AR5. Deren invertierende Eingänge sind zusammengeschlossen. Deshalb sind ihre beiden Ausgänge dem Betrage nach auf der gleichen Differenzspannung, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. Der Rückkopplungsstrom des einen Verstärkers wird vom Ausgang des anderen Verstärkers aufgebracht. Deshalb ist es richtig, dass die Strom-Spannungswandlerschaltung den nichtinvertierenden Eingang verwendet. Diese Schaltung hat eine Verstärkung von 1 für Gleichtaktsignale. Der abschliessende Differenzverstärker unterdrückt das Gleichtaktsignal. Hier sollte ein Typ eingesetzt werden, der eine gute Gleichtaktunterdrückung hat. Die Ausgangsspannung ist

(4.7)

wenn die vier Widerstände der beiden Eingangsverstärker alle gleich sind.

4.1.2  Spannung

Abbildung 4.9 zeigt die Messung einer Spannung. Der Innenwiderstand der Spannungsquelle beträgt 10 Ohm. Die Spannung wird mit einem Innenwiderstand von einem Kiloohm gemessen. Durch die Belastung der Spannungsquelle mit dem Messgerät wird ein Fehler von etwa einem Prozent erzeugt. Die gemessene Spannung ist also:

(4.8)

Abbildung 4.10 zeigt wieder eine Spannungsmessung, diesmal aber mit einem Strommesser. Der Vorwiderstand des Messgerätes ist der gleiche wie in Abbildung 4.9.Da die Spannungsquelle den gleichen Innenwiderstand wie vorher hat, ist Messfehler auch gleich. Man könnte ihn verringern, indem man den vor Widerstand vergrössert. Dadurch fliesst geringerer Strom durch das Messwerk.

(4.9)

Gerade bei den analogen Messgeräten, bei denen das Magnetfeld eine Kraft gegen eine Feder aufbringen muss, wird ein minimaler Strom benötigt. In der Praxis ist also eine Spannungsmessung eine Optimierungsaufgabe.

Abbildung 4.11 zeigt die Messung mit einem umschaltbaren Spannungsmesser. Der Innenwiderstand der Quelle beträgt wieder 10 Ohm. Eine Widerstandskette bestehend aus dem 9 Kiloohm Widerstand und dem 1 Kiloohm Widerstand fungiert als Spannungsteiler. In unserem Fall hat das Messgerät einen Innenwiderstand von 100 Kiloohm. Der Innenwiderstand des Messgerätes muss gross sein gegenüber dem Gesamtwiderstand der Spannungsteiler-Kette. Dann ist der Messfehler vernachlässigbar. In unserem Falle beträgt er etwa ein Promille. Die Spannungsquelle wird mit

(4.10)

belastet. R_i ist der Innenwiderstand des Spannungsmessers.

Abbildung 4.12 zeigt die Spannungsmessung mit einem Strommesser und schaltbaren Vorwiderständen. Für den Messstrom gilt:

(4.11)

Hier ist R_i der Innenwiderstand des Strommessers und U die angelegte Spannung. Die Spannungsquelle wird mit

(4.12)

belastet. R_mess ist in Abb. 4.12 der 10 kΩ-Widerstand. Die Schaltung ist prinzipiell gleich wie in der Abbildung 4.11. Wieder gilt, dass der Strom durch das Messwerk genügend gross sein muss, damit die Mechanik vernünftig ansprechen kann.

Abbildung 4.13 zeigt die Poggendorff’sche Kompensationsmethode. Diese Methode, die auch im Praktikum angewandt wird, vergleicht die Spannung der Quelle mit einer Referenzquelle.Die Referenzquelle ist abstimmbar. Ihre Spannung wird so lange verändert, bis sie gleich der der zu messenden Quelle ist.

(4.13)

Hier ist α den Teiler, den man an R einstellt. Im abgeglichenen Falle wird die Quelle nicht mit einem Strom belastet. Man ist also die unbelastete Ausgangsspannung.

Abbildung 4.14 zeigt, wie man Spannungen mit Operationsverstärkern messen kann. Für die Ausgangsspannung im idealen Falle gilt:

(4.14)

Oben links ist eine ideale Schaltung angegeben. Der Verstärker verstärkt das Signal um den Faktor 10. Die Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand von 100 Kiloohm. Ihr Spannungswert von 10 mV wird durch den Verstärker auf 100 mV erhöht. oben rechts ist die gleiche Schaltung mit einem Verstärkern LM741 aufgebaut. Dieser Verstärker hat relativ grosse Eingangsströme. Deshalb ist die gemessene Spannung am Ausgang um 80 Prozent falsch. Wenn der Strom I_Bias in den positiven Eingang fliesst, dann gilt:

wobei R_I der Innenwiderstand der Quelle ist. Hier kann man übrigens ausrechnen, dass I_Bias = 0.8μA ist. Aus der Richtung schliesst man weiter, dass die Eingangstransistoren NPN-Transistoren sind. In der zweiten Zeile ist die Schaltung mit dem Schaltkreis MC1436 aufgebaut. Bei diesem Schaltkreis fliessen die Eingangsströme in umgekehrter Richtung. Deshalb ist hier die gemessene Spannungen um 30 Prozent zu hoch. Hier berechnet man, dass I_Bias = −0.3μA ist. Aus der Richtung schliesst man weiter, dass die Eingangstransistoren PNP-Transistoren sind. Unten rechts ist die Schaltung mit dem Verstärker INA105 gezeigt. Dieser Präzisionsverstärker hat einen Fehler von 0,5 Prozent. Es zeigt sich, dass genaue Spannungsmessungen bei grossem Innenwiderstand der Quelle nur mit Präzisionsverstärkern möglich ist. Geld sparen lohnt sich hier nicht.

Abbildung 4.15 zeigt einen Instrumentenverstärker. Die beiden Operationsverstärker am Eingang (links) sind als nichtinvertierende Verstärker geschaltet. Da die Referenz nicht das Erdpotential ist, sondern der jeweils andere Verstärker, ist die Gleichtaktverstärkung 1. Der folgende Differenzverstärker unterdrückt weiter das Gleichtaktsignal. Dieser dritte Operationsverstärker muss eine gute Gleichtaktunterdrückung besitzen.

4.1.3  Wechselstrom und Wechselspannung

Die Messung von Wechselspannungen aus Quellen mit hohen Impedanzen ist eine schwierige Aufgabe. Solche Quellen können unter anderem Photodioden oder die Tunnelübergänge in einem STM (Scanning Tunneling Microscope) sein. Insbesondere wenn die Quelle mit dem Messverstärker über ein Koaxialkabel verbunden wird, kann die Bandbreite der Messvorrichtung sehr eingeschränkt werden. Abbildung 4.19, links, zeigt ein Modell dieses Messsystems. Die Spannungsquelle wird über ihren Innenwiderstand von 100 kΩ an einen Spannungsverstärker mit der Verstärkung 1 angeschlossen. Das Signal der Quelle ist mit einem Koaxialkabel, Kapazität 100 pF, an den Verstärker angeschlossen. Die rechte Seite von Abb. 4.19 zeigt das entsprechende Bode-Diagramm. Der Tiefpass aus Innenwiderstand und Kabelkapazität bildet einen Tiefpass, mit einer Zeitkonstante von 100pF × 100kΩ = 10μs. Dies entspricht einer Grenzfrequenz von 16 kHz, wie sie insbesondere aus dem Phasenbild ersichtlich ist.

In Abb. 4.20 wurde der Schirm des Koaxialkabel, wie von Tietze-Schenk[TS80] vorgeschlagen, an den Ausgang des Operationsverstärkers gelegt. Die Bandbreite wird, wie im in der Referenz angegebenen Buch beschrieben, breiter. Jedoch entsteht bei hohen Frequenzen eine Resonanz. Diese rührt von der Wechselwirkung der Phasenverschiebungen des Operationsverstärkers mit denen des Koaxialkabels her.

Diese Resonanz kann, wie in Abb. 4.21 gezeigt, gedämpft werden, indem der Schirm des Koaxialkabels nicht direkt, sondern über einen Widerstand von hier 1 kΩ angeschlossen wird. Die Grösse des Widerstandes hängt vom Operationsverstärker sowie von der Kabelkapazität ab.

Zur Detektion von Wechselspannungen ist es nötig, die Wechselspannung in eine Gleichspannung umzuwandeln. Abb. 4.22 zeigt eine entsprechende Schaltung. Das Wechselspannungssignal wird über die Diode gleichgerichtet und der Spitzenwert auf dem Kondensator akkumuliert. Die Schaltung oben ist mit einer Diode 1N4001GP aufgebaut. Bei hohem Frequenzen koppelt die beträchtliche Sperrschichtkapazität der Diode das Hochfrequenzsignal über. Besser ist es, eine Kleinsignaldiode wie die 1N4148 zu verwenden (siehe Abb. 4.23). HF-Dioden, deren Sperrschichtkapazität minimiert ist, sind eine ideale Wahl. In Frage kommt, u.A. der Typ 1N914. Man beachte, dass die detektierte Spannung um eine Diodendurchlassspannung geringer ist. Tabelle 4.1 gibt für die beiden Dioden 1N4001 und 1N 4148 die gemessenen Spannungen als Funktion der angelegten Spannung und der Frequenz an. Aus dieser Tabelle wird schön ersichtlich, dass bei der Diode 1N4001 die Sperrschichtkapazität die die Brauchbarkeit limitierende Grösse ist. Generell ist das Messresultat bei kleinen Spannungen nicht aussagekräftig.

Abbildung 4.24 zeigt einen Halbwellengleichrichter aufgebaut mit einem Operationsverstärker und zwei Dioden. Die Schaltung funktioniert folgendermassen. Für die negative Halbwelle (Ausgangsspannung von AR1 positiv) wird vom Ausgang ein Strom geliefert, der durch D2, R1 und R2 fliesst. Da Die Verbindung zwischen R1 und R2 vom Operationsverstärker virtuell auf Erde gehalten wird, gilt für die Ausgangsspannung

(4.16)

Die Diode D3 ist in Sperrichtung gepolt. Für die positive Halbwelle ist D3 in Durchlassrichtung gepolt. Der Ausgang wird über R1 und R2 vom Eingang mit Strom versorgt. Die Diode D2 zieht nun den Ausgang auf eine Diodendurchlassspannung über der Ausgangsspannung des Operationsverstärkers. Dieser liegt aber, wegen der Durchlassspannung von D3 auf - einer Diodendurchlassspannung. Also ist der Ausgang auf 0 V. Die Schaltung 4.24 ist also ein Halbwellengleichrichter.

Während die Schaltung in Abbildung 4.24 mit einem idealen Operationsverstärker aufgebaut ist, ist die in Abb. 4.25 mit einem LM741 aufgebaut. Die Schaltung hat bei Frequenzen über einigen 100 Hz kein Gleichrichterverhalten mehr. Grund dafür ist die bescheidene Slew-Rate (Anstiegszeit) dieses Verstärkers. Immer wenn das Vorzeichen des Eingangssignales wechselt, muss eine Spannung von zwei Diodendurchlassspannungen übersprungen werden. Dies bedeutet beim LM741 eine Zeitverzögerung von etwa 2 μs. Diese, auf den ersten Blick unbedeutende Verzögerung ist jedoch für das schlechte Verhalten verantwortlich. Durch die Zeitverzögerung entsteht im Regelkreis des Operationsverstärkers eine Überkompensation.

Für die Schaltung des Halbwellengleichrichters aus Abb. 4.25 werden Verstärker mit einer schnellen Anstiegsgeschwindigkeit des Ausgangssignals benötigt. Abb. 4.26 zeigt die gleiche Schaltung aufgebaut mit einem TL074. Nun ist das Ausgangssignal bis zu 10 kHz von befriedigender Güte. Höhere Frequenzen können mit dieser Schaltung jedoch nur schwer vernünftig gleichgerichtet werden.

Abb. 4.27 zeigt, wie die Schaltung aus Abb. 4.26 zu einem Vollwellengleichrichter ausgebaut werden kann. Die Idee ist die folgende Dem Halbwellengleichrichter wird ein invertierender Verstärker parallelgeschaltet, der neben dem Eingangssignal auch den Ausgang des Halbwellengleichrichters mit doppeltem Gewicht verstärkt. Wir erhalten dann für die positive Halbwelle U_e ≥ 0

(4.17)

und für die negative Halbwelle U_e ≤ 0

(4.18)

In der Summe ergibt sich also (für U_e < 0 ist U_e = −!)

(4.19)

Wieder ist die Schaltung aus Abb. 4.27 als ideale Schaltung nicht repräsentativ für die Güte realer Schaltungen. Abb. 4.28 zeigt wieder, dass Verstärker vom Typ LM741 nicht brauchbar für diese Anwendung sind, sie könnten höchstens bis einige 10 Hz verwendet werden.

Schliesslich ist aus Abb. 4.29 ersichtlich dass ein Vollwellen-Präzisionsgleichrichter mit dem TL074 bis 10 kHz arbeiten kann.

Wesentlich besser als die Operationsverstärkerschaltungen sind Transistorschaltungen als Gleichrichter für höchste Frequenzen geeignet. Abb. 4.30 zeigt eine mögliche Implementation eines Transistoren-Vollwellengleichrichters. Die Transistoren Q3 und Q4 bilden einen Differenzverstärker. Die Transistoren Q1 und Q2, deren Emitter und Kollektoren zusammengeschaltet sind, verstärken jeweils das positivere Potential. So kommt eine Vollwellengleichrichtung zustande. Die Schaltung nach Abb. 4.30 kann bei geeigneter Wahl der Transistoren mit bis zu 100 MHz betrieben werden.

Abbildung 4.31 zeigt einen True-RMS-Gleichrichter¹ . Die vorherigen Schaltungen haben den Betrag der Wechselspannung bestimmt. Nun ist der Betrag jedoch längstens nicht so interessant wie die dissipierte Leistung an einem Widerstand. Es ist bekannt, dass

(4.20)

Deshalb ist, wenn man Signalformen sucht, die die gleiche dissipierte Leistung an einem Widerstand R erzeugen. Die Grösse

(4.21)

sehr viel interessanter. Dies ist die Definition des RMS-Wertes. Die Schaltung in Abbildung 4.31 ist eine Implementation dieser Gleichung. Von links gesehen folgt zuerst ein Quadrierer, dann ein Integrator in Form eines Tiefpassfilters und zu letzt ein Radizierer. Dieser Schaltungsteil benützt die Tatsache, dass eine Impedanz im Rückkopplungszweig eines Operationsverstärkers sich zur dualen Funktion transformiert, das heisst vom Quadrat zur Wurzel, von der Exponentialfunktion zum Logarithmus.

Abb. 4.32 zeigt einen Vektormesser. Die Idee dahinter ist, wenn ich A cos ωt und A sin ωt habe, dann kann ich mit

(4.22)

rechnen. Angewandt auf die Schaltung von Abb. 4.32 führt dies zu

Abb. 4.33 zeigt eine Brückenschaltung nach Graetz. Die Dioden oben rechts und unten links oder die Dioden oben links und unten rechts sind jeweils in Durchlassrichtung geschaltet. Im Diagonalzweig der Brücke steht die gleichgerichtete Spannung zur Verfügung. Die Schaltung hat zwischen dem Eingangsteil und dem Ausgangsteil kein gemeinsames Bezugspotential² . Die Graetz-Schaltung wird vorwiegend zur Gleichrichtung nach einem Trenntransformator verwendet.

(4.27)

Abb. 4.34 zeigt eine zu 4.33 analoge Schaltung. Dadurch, dass der Brückengleichrichter im Rückkoppelzweig ist, arbeitet die Schaltung mit eingeprägtem Strom. Die Spannungsabfälle über den Dioden werden so kompensiert.

(4.28)

Schliesslich zeigt Abb. 4.35 eine Brückenschaltung mit getrenntem Transformator. Die Schaltung ist besonders geeignet, wenn Transformatoren billig im Vergleich zu Dioden sind. Weiter ist der Spannungsabfall

(4.29)

nur eine Diodenspannung. In Gleichung (4.29) ist n das Übertragungsverhältnis von T1.

4.1.4  Ladung

Die Messung von Ladung stellt eines der schwierigeren Messprobleme dar. Um Ladung messen zu können, muss Energie auf das Messwerk übertragen werden. Typische Energien sind jedoch

(4.30)

also sehr klein.

Abbildung 4.36 zeigt eine Schaltung, mit der Ladungen gemessen werden können. Ziel ist, die Ladung auf dem Kondensator C₁ zu messen. Damit Die Ladung möglichst vollständig transferiert werden kann, muss die Kapazität C₂ sehr viel grösser als die von C₁ sein.

Vor dem Schliessen von S₂ gilt

Wird S₂ geschlossen gilt für die Ladungen ₁ und ₂ sowie das Spannungsgleichgewicht dass

Daraus folgt:

(4.31)

gilt. Wenn C₂ »C₁ gilt, dann wird praktisch alle Ladung von C₁ auf C₂ übertragen und ₂ = Q₁. S₃ dient zum Entladen des Messkondensators C₂. Aus der unteren Hälfte von 4.36 ersieht man, dass die Ausgangsspannung einen Sprung von der Grösse U_C2 = = macht. Ebenso ist ersichtlich, dass Die Spannung sehr schnell wieder abnimmt, da Leckströme sogar im Modell eines idealen Verstärkers nicht zu vermeiden sind.

Zum Vergleich mit einem idealen Operationsverstärker in 4.36 zeigt Abb. 4.37 die gleiche Schaltung mit einem realen Verstärker. Die Widerstände R₃, R₅, R₆ und R₇ dienen zur Kompensation des Bias-Stromes im invertierenden Eingang von AR₁. Die Widerstände R₂, R₈, R₉ und R₁₀ dienen zur Kompensation der Offsetspannung. Nur mit diesen beiden Massnahmen ist es möglich, ein Signal wie in Abb. 4.37 zu bekommen. Wieder ist der Spannungssprung das Mass für die Ladung, der restliche Kurvenverlauf hängt von Störeinflüssen ab.

Abbildung 4.38 zeigt die Ladungsmessung mit einem Integrator. Die Verstärkung des Operationsverstärkers AR₁ bewirkt, dass der Kondensator C₁ vollständig entladen wird. Der resultierende Strom lädt wieder, ohne Verluste, C − 2 auf. man erhält also

(4.32)

Wie die rechte Seite von Abb. 4.38 zeigt, entsteht nach dem Anlegen von C₁ am Ausgang von AR₁ ein Spannungssprung. Anders als in der Schaltung von Abb. 4.36 ist das Ausgangssignal konstant. Hier zeigt sich der Vorteil, wenn man die Eingänge der Operationsverstärker in der Nähe des Spannungsnullpunktes hält.

Der reale Operationsverstärker in Abb. 4.39 erzeugt genauso eine Rampe. Hier wurde keine Kompensationsschaltung verwendet: deshalb die doch steilen Spannungsverläufe. Wieder ist der Spannungssprung das Mass für die Ladung, und nicht der sonstige Spannungsverlauf.

4.1.5  Widerstand

In Abb. 4.40 wird die stromrichtige Messung eines Widerstandswertes gezeigt. Die Spannung U wird über das Strommessgerät M₂ mit seinem Innenwiderstand R₁ an den zu messenden Widerstand R₂ gelegt. Die Messung heisst stromrichtig, da der Strom durch R₂ richtig gemessen wird, jedoch der Spannungsabfall an R₁ meistens nicht berücksichtigt wird. Ist R₁ bekannt, kann man mit

(4.33)

den genauen Wert von R₂ bestimmen. Eingesetzt ergibt sich:

Abbildung 4.41 zeigt eine spannungsrichtige Widerstandsmessung. Hier ist das Spannungsmessgerät M₁ parallel zum zu messenden Widerstand angeschlossen. Die Spannung am Widerstand wird also richtig gemessen. Der Strom, den das Ampèremeter M₂ misst, setzt sich aus dem Strom durch den zu prüfenden Widerstand R₂ sowie aus dem Strom durch den Innenwiderstand R₃ des Spannungsmessers zusammen. Is R₃ bekannt, so ergibt sich

(4.34)

Andernfalls muss sichergestellt werden, dass R₂ «R₃ ist. Setzt man die Werte aus Abbildung 4.41 in Gleichung (4.34) ein, erhält man

Die Widerstandsmessung kann vereinfacht werden, wenn man anstelle einer Spannungsquelle eine bekannte Stromquelle einsetzt (siehe Abb. 4.42). Wieder wird damit, spannungsrichtig, der Parallelwiderstand aus R₂ sowie dem Innenwiderstand des Spannungsmessers, R₁, gemessen.

(4.35)

Die Werte aus Abbildung 4.42 ergeben

Ist der Innenwiderstand R₁ des Spannungsmessers nicht genau bekannt, muss man die Annahme R₁ » R₂ machen.

Abb. 4.43 zeigt eine Widerstandsmessung mit einer Spannungsquelle sowie einem Voltmeter. Die gemessene Spannung entsteht am Spannungsteiler bestehend aus R₃, dem Innenwiderstand der Spannungsquelle und der Parallelschaltung R₁∥R₂ des Innenwiderstandes R₁ des Spannungsmessers M₁ sowie des zu prüfenden Widerstandes R₂

(4.36)

Aus Gleichung (4.35 folgt für die Parallelschaltung R₁∥R₂ der Widerstand

(4.37)

Hier ist das Resultat eine Spannungsdifferenz einer nicht messbaren Quellspannung U_Quelle und einem abgelesenen Wert U_mess: die Schaltung ist sehr fehlerbehaftet. Sie sollte nur eingesetzt werden, wenn es nicht anders geht. Das Resultat für Abb. 4.43 ist:

Vergleicht man den numerischen Wert dieses Resultates mit den vorherigen Ergebnissen fällt die doch deutlich schlechtere Genauigkeit auf.

Besser ist die Schaltung nach Abb. 4.44. Hier wird, bei bekannter Spannungsquelle der durch den Widerstand fliessende Strom gemessen. Es gilt

(4.38)

Damit wird der Wert des zu messenden Widerstandes R₈

(4.39)

Die Innenwiderstände des Strommessers, R₇ (gut bekannt), und der Spannungsquelle, R₆ (sehr schlecht bekannt), müssen vom aus Spannung und Strom berechneten Wert abgezogen werden. Das Resultat ist

Diese Schaltung ist wesentlich genauer als die mit Spannungsmesser. Andererseits muss gefordert werden, dass der Innenwiderstand der Spannungsquelle R₆ sehr viel kleiner als der zu messende Widerstand R₈ ist.

Abbildung 4.45 zeigt eine ratiometrische Schaltung zur Widerstandsmessung, wie sie bei digitalen Voltmetern üblich ist. Unter der Annahme, dass der Innenwiderstand der Spannungsmesser M₁ und M₂ R_i » R_1,2 ist liefert diese Schaltung hervorragende, von der Betriebsspannung unabhängige Resultate. Trifft die Annahme nicht zu, so muss mit R_1,2∥R_i gerechnet werden. Der Widerstandswert von R₂ wird so berechnet:

(4.40)

Dabei ist der gemessene Wert von R₂ in sehr guter Näherung unabhängig von R₃ oder U_Quelle. Als Resultat erhält man mit den obigen Werten:

Wie Abbildung 4.46 zeigt wird diese Schaltung in vielen Digitalvoltmetern verwendet.

Abbildung 4.47 zeigt die ratiometrische Widerstandsmessung mit Strömen. Unter der Annahme, dass der Innenwiderstand der Strommesser M₃ und M₄ R_i «R_7,8 sei werden direkt die richtigen Widerstandswerte, sonst wird R_7,8 + R_i gemessen. Es gilt

(4.41)

unabhängig von R₃ oder U_Quelle. Wir erhalten schliesslich

(4.42)

und eingesetzt den Wert

Die bisher vorgestellten Messmethoden sind für ganz kleine Widerstände nicht geeignet. Abbildung 4.48 zeigt die Vierdraht-Methode zur Widerstandsmessung.

Eine Spannungsquelle wird über einen Referenzwiderstand R₁ und über Kabel mit den Widerständen R₆ und R₉ an den zu messenden Widerstand R₂ angelegt. Um den Spannungsabfall in R − 6 und R₉ zu kompensieren, wird die Spannung am Widerstand direkt abgegriffen und über die Widerstände R₇ und R₈ zum Spannungsmesser gebracht. Wenn der Innenwiderstand von M₁ und M₂ sehr viel grösser als die anderen beteiligten Widerstände sind, dann hat man eine analoge Messmethode wie in Abb. 4.45. In diesem Falle sind die Kabelwiderstände und die Übergangswiderstände nicht relevant. Wir erhalten für R₂

(4.43)

Die Widerstände R₄ und R₅ in Abbildung 4.49 ermöglichen eine automatische Umschaltung von der 2-Draht- zur 4-Draht-Methode. Sie sind aber auch die Ursache für zusätzliche Fehler. Mit der Nebenbedingung:

(4.44)

oder

(4.45)

können deren Widerstandswerte vernachlässigt werden. Wir erhalten dann wie ohen R₄ und R₅

(4.46)

Ist man sicher, dass der Spannungsabfall in den Widerständen R₆ und R₉ nicht wesentlich über 0.1V ansteigt, könne man die Widerstände durch jeweils eine oder zwei in Durchlassrichtung geschaltete Dioden ersetzen. Die durch R₄ und R₅ hervorgerufenen Spannungsfehler sind:

Die beiden oben gezeigten Schaltungen sind ideal zu Messung kleiner Widerstände geeignet. Sie haben jedoch einen gravierenden Nachteil: je kleiner die Widerstände sind, desto höher werden sie thermisch belastet. Dies liegt daran, dass zur Messung eines Spannungsabfalls ein minimaler Wert benötigt wird. Für R →∞ gilt

(4.51)

Abbildung 4.50 zeigt, wie mit einer gepulsten Messung das Problem der zu grossen thermischen Belastung umgangen werden kann. Wir nehmen hier an, dass die Spannungsquelle V ₂ (6 mV) die durch thermische Belastung hervorgerufenen Spannungen zusammenfasst. Auf der linken Seite wird die Schaltung mit eingeschalteter Messspannungsquelle gezeigt, rechts ist die Messspannungsquelle ausgeschaltet. Indem die Messspannungsquelle nur den Bruchteil 𝜀 der gesamten Messzeit eingeschaltet wird wird die Verlustleistung an R₂

(4.52)

Zusätzlich kann man, wenn die Messpannungsquelle mit der Frequenz ν geschaltet wird, Lock-In-Verstärker verwenden und so die Empfindlichkeit steigern und die thermische Belastung senken. Im oberen Teil, bei eingeschalteter Messspannungsquelle gilt

(4.53)

Im unteren Teil, ohne Messspannungsquelle hat man

(4.54)

Den gesuchten Widerstand R₂ findet man mit

(4.55)

4.1.6  Messung von L und C

Die Messungen von Kapazitäten und Induktivitäten kann auf verschiedene Arten erfolgen:

1. Messung der Zeitkonstanten bei Einschalt- oder Ausschaltvorgängen.
2. Messung von Resonanzfrequenzen in Schwingkreisen
3. Messung der komplexen Impedanzen.

In Abbildung 4.51 wird eine Kapazität C₁mit einer periodischen Wechselspannung über einen Widerstand R₁ geladen und entladen. Im Entladefall hat man, dass

(4.56)

Nun ist bei t = τ = R₁C₁ die Spannung gerade U(τ) = U₀ ∗e⁻¹ = 0.3679U ₀. Aus der Zeitkonstante für Entladung in Abb. 4.51, rechts, (Differenz zwischen blauer und roter Markierung) liest man ab, dass τ = 1.0127ms ist. Daraus folgt mit R₁ = 1kΩ dass C₁ = = = 1.0127μF ist. Man ersieht aus der kurzen Rechnung, dass eine genau Messung Schwierigkeiten bieten dürfte.

Für die Anstiegszeit gilt

(4.57)

d.h. man rechnet analog zum Entladefall. Hier ist angenommen worden, dass die Spannung U₀ zwischen 0V und ihrem (positiven) Maximalwert hin- und hergeschaltet wird. ist die untere Spannung nicht null, muss ihr Wert als Offset abgezogen werden.

In Abbildung 4.51 wird über eine Induktivität L₁ an den Widerstand R₁ eine periodischen Rechteckspannung angelegt. Wenn die Eingangsspannung von U₀ 0 wechselt hat man

(4.58)

Nun ist bei t = τ = die Spannung gerade U(τ) = U₀ ∗e⁻¹ = 0.3679U ₀. Aus der Zeitkonstante für Entladung in Abb. 4.51, rechts, (Differenz zwischen blauer und roter Markierung) liest man ab, dass τ = 1.0368ms ist. Daraus folgt mit R₁ = 1Ω dass L₁ = τR₁ = 1.0368ms1Ω = 1.0368mH ist. Man ersieht auch aus der kurzen Rechnung, dass eine genau Messung Schwierigkeiten bieten dürfte.

Für die Anstiegszeit gilt analog

(4.59)

Abb. 4.53 zeigt, wie man mit einem Schwingkreis Kapazitäten oder Induktivitäten bestimmen kann. Für einen Schwingkreis gilt allgemein:

dabei ist ω₀ die Resonanzfrequenz und Q die Güte des Schwingkreises. In der Phase α(ω) gilt in unserem Falle

Damit ist die Resonanzfrequenz und die Güte einfach aus dem Phasenbild ablesbar.

Die letzte Möglichkeit, die Werte von Kapazitäten und Induktivitäten zu bestimmen, ist mit ihren komplexen Impedanzen zu rechnen.

In den im Abschnitt 4.1.5 besprochenen Schaltungen wird die Gleichspannung durch eine Wechselspannung mit bekannter Amplitude U und Frequenz ω ersetzt. Der so bestimmte Impedanzwert Z kann dann umgerechnet werden nach

4.1.7  Brückenschaltungen

Mit Brückenschaltungen kann man komplexe Impedanzen sehr schnell und genau vermessen. Abbildung 4.54 zeigt eine Widerstandsbrückenschaltung. Im Idealfall erhält man für das Widerstandsverhältnis im abgeglichenen Falle

Für die unabgeglichene Brücke erhält man:

(4.67)

Die Herleitung von Gleichung (4.67) finden Sie im Anhang B.

Abbildung 4.55 zeigt die Änderung des Querstromes in der Brücke als Funktion der Änderung der einzelnen Teilwiderstände. Sehr schön ist aus dieser Darstellung ersichtlich, dass die Ausgangsspannung der Brücke nichtlinear ist.

Die Grösse des Querstromes hängt nicht nur vom Ungleichgewicht der Brücke ab, sondern auch vom Innenwiderstand des Strommessers zum Nullabgleich. Abbildung 4.56 zeigt den Einfluss des Innenwiderstandes auf die Ausgangskurve, wenn R₁ variiert wird. Analog dazu zeigt Abbildung 4.57 den Einfluss des Innenwiderstandes auf die Ausgangskurve, wenn R₄ variiert wird.

Interessant ist der Fall, wo R₁ und R₄ gegengleich sich ändern, wo also R₄ = 1∕R₁ gilt. Dieser Fall ist bei Sensoren wie Dehnungsmessstreifen oder piezoresistive AFM-Cantilever gegeben. Da variieren beide Widerstände in einem Brückenzweig. Abbildung 4.58 zeigt die Ausgangskurven. Es ist bemerkenswert, um wieviel linearer das Signal ist.

Für den Fall dass der Innenwiderstand des Strommessers R_i = 0 ist, erhält man die vereinfachte Gleichung:

(4.68)

Misst man die Brückenspannung, so ergibt sich aus Gleichung 4.67

(4.69)

Weiter sieht man, dass für R_i →∞

(4.70)

ist. Abbildung 4.59 fasst den Einfluss des Innenwiderstandes nochmals zusammen.

Die Empfindlichkeit auf Veränderungen von R₁ oder R₄ ergibt sich aus

Abbildung 4.60 vergleicht dabei die Variation von R₁ und R₄. Die Steigungen ändern sich extrem, das heisst, dass der lineare Bereich doch stark eingeschränkt ist.

Abbildung 4.61 zeigt den Einfluss des Innenwiderstandes R_i, wenn R₁ sich ändert. Die Empfindlichkeit der Brücke nimmt mit steigendem Innenwiderstand ab.

Abbildung 4.62 zeigt den Einfluss des Innenwiderstandes R_i, wenn R₄ sich ändert. Die Empfindlichkeit der Brücke nimmt mit steigendem Innenwiderstand ab.

Wenn sich R₁ und R₄ = 1∕R₁ gegengleich ändern, dann variiert die Empfindlichkeit wie in Abbildung 4.63 angegeben.

Eine Detaildarstellung der normierten Empfindlichkeit in Abbildung 4.64 zeigt, dass für grosse Innenwiderstände R_i die Empfindlichkeit am wenigsten variiert. Die Messkurve kann mit guter Näherung als linear mit einem kleinen paraboloiden Korrekturterm angesehen werden.

Für den Fall dass der Innenwiderstand des Strommessers R_i = 0 ist, erhält man die vereinfachte Gleichung:

Die Empfindlichkeit für Spannungsmessungen ist

Schliesslich erhält man für R_i →∞

Die Aussagen über die Empfindlichkeit für die Strommessung gelten auch für die Spannungsmessung. Ein möglichst lineares Ausgangssignal benötigt hohe Querwiderstände R_i: Spannungsmessungen sind für nicht abgeglichene Brücken vorzuziehen.

Die Gleichungen für die Wheatstone-Brücke für allgemeine Impedanzen (Abb. 4.65 können aus Gleichung (4.66) abgeleitet werden. Folgende Ersetzungen sind vorzunehmen:

Gleichung wird dann zu

Daraus ist ersichtlich, dass eine Brücke nur abgleichbar ist, wenn sowohl die Beträge wie auch die Phasen abgeglichen sind. Diese Bedingungen sind:

4.1.8  Wandlerschaltungen

Wandlerschaltungen werden benötigt, um digitale mit analogen Schaltkreisen zu verbinden. Während digitale Darstellungen von Signalen prinzipiell mit beliebiger Genauigkeit machbar sind, limitiert das Rauschen von analogen Schaltkreisen (siehe auch Abschnitt 2.8.1). Da Analog-Digitalwandler auf Digital-Analog-Wandlern aufbauen werden zuerst diese beschrieben.

4.1.8.1. Digital/Analog-Wandler

Die Ausgangsspannung eines Digital/Analog-Wandlers ist prinzipiell wertdiskret. Bei sehr kleinen Diskretisierungsschritten kann das Rauschen von analogen Bauteilen diese Spannungsschritte maskieren. Abbildung 4.66 zeigt die prinzipielle Schaltung sowie die Ausgangskurven. Ein 4040 CMOS-Zähler U3 gespiesen vom Funktionsgenerator zählt von 000 nach FFF. Die untersten acht Bit werden in den generischen, idealen Digital-Analog-Wandler U1 gespiesen. Seine Ausgangsspannung wird in der Mitte und unten in Abb. 4.66 gezeigt. Die mittlere Abbildung zeigt die Ausgangsrampe. Um die Stufenhöhe auflösen zu können, ist ein Teil der Messkurve in der unteren Darstellung vergrösstert. Sehr schön sind die einzelnen Stufen im Ausgangssignal zu sehen. da dies ein idealer Wandler ist, sind die Stufen im gleichen Abstand.

Digital-Analogwandler haben die folgenden Fehler:

• Die Stufenhöhe ist nicht konstant. Beide Kurven in in Abb. 4.67 zeigen diesen Fehler.
• Die Ausgangsspannung ist keine monotone Funktion der Eingangsspannung. Die rechte Kurve in Abb 4.67 ist nicht monoton.

Die Grösse der Bitfehler kann auf zwei Arten bestimmt werden. Einerseits kann, wie in Abb. 4.68, linke Seite, eine Gerade durch die Endpunkte als Referenz verwendet werden. Die daraus resultierenden Fehler werden in Tabelle 4.2 in der zweiten und dritten Spalte aufgelistet. Andererseits kann eine durch Regression bestimmte Gerade als Referenz dienen (Abb. 4.68, rechts, und Tabelle 4.2, Spalten 4 und 5). Die so berechneten Fehler sind kleiner³ .

Direkte D/A-Wandler

Direkte Digital-Analog-Wandler setzen jede Zahlenkombination am Eingang in einen mit einem diskreten Widerstand (hier R12, R14-R20) kodierten Wert um. Die Abbildung 4.69 zeigt eine mögliche Implementierung.

Mit einem Bitmustergenerator werden die Zahlen von 0H bis FH generiert. Das niederwertigste Bit dient dabei als Taktgenerator.Der Demultiplexer U2 set eine 3-Bit-Zahl (0-7) in acht Ausgänge um, die je einzeln auf dem 0-Pegel liegen. Dies ist aus dem Logik-Analysator (Abb. 4.69, unten links) ersichtlich. Die einzelnen Ausgänge des Demultiplexers steuern einzelne Relais an, die die individuell programmierbaren Widerstände R₁₂, R₁₄ −R₂₀ einzeln mit der Referenzspannung U₃ versorgen. Der Operationsverstärker AR₁ summiert die Stromwerte auf. Am Eingang Y2 des Oszilloskopes, (Abb. 4.69, unten rechts) sieht man, dass Spannungssprünge auftreten. Dies kann verhindert werden, indem eine sogenannte Deglitcher-Schaltung nachgeschaltet wird. Sie besteht hier aus einem Analog-Schalter S₁, dem mit R₂₁ und C₁ ein Tiefpassglied nachgeschaltet ist. Dieses Tiefpassglied dient als Analogspeicher und speichert während der Glitch-Phase das Signal zwischen. Die Schaltung, bestehend aus S₁, R₂₁ und C₁ wird auch Sample&Hold-Schaltung oder Abtast-Halte-Glied genannt.

Die direkte Wandlung von digitalen zu analogen Signalen kann sehr schnell sein, bedingt aber einen enormen Aufwand an Widerständen und vor allem, Schaltern.

Stromwägeverfahren

Das Stromwägeverfahren, wie es in Abbildung 4.70 gezeigt wird, ist eine sehr viel effizientere Möglichkeit, digitale Zahlenwerte in Spannungen umzuwandeln. Anders als beim direkten Verfahren (Absatz 4.1.8.1.1) können jedoch die Ausgangswerte pro Bit nicht unabhängig gewählt werden.

In Abbildung 4.70 ist ein 4-Bit Digital-Analog-Wandler gezeigt. Die Analogschalter S₁ bis S₄ verbinden die Widerstände R₂, R₄ bis R₆ mit dem als Strom-Spannungsschalter geschalteten Operationsverstärker. Der Referenzwiderstand ist hier R₁ = 1kΩ. Wenn wir den Referenzwiderstand mit R_ref und den Widerstand für das m-te Bit (0 ≤m < n bei einem n-Bit-Wandler) dann gilt

(4.83)

Hier ist n die Bitzahl des Wandlers, n − 1 ist das höchstwertige Bit und 0 das niederwertigste Bit. Damit die Spannungsänderung von Bit 0 nicht in der mangelnden Genauigkeit von Bit m untergeht, muss für die Widerstandstoleranz gelten:

(4.84)

Bei einem 8-Bit Wandler bedeutet dies eine Genauigkeit des kleinsten Widerstandes (grössten Leitwertes) von = 0.4%. Bei einem 12-Bit Wandler muss die Genauigkeit = 0.024% sein, bei einem 16-Bit Wandler⁴ = 0.0015% sein. Dies sind illusorische Genauigkeiten, die nur mit verheerend grossen Kosten erreichbar wären.

In der Abbildung 4.70 wird in der Mitte die Einrichtung des Bitmustergenerators und unten das Ausgangssignal gezeigt. Die Stufigkeit dieses Signals kommt dabei sehr schön zum Ausdruck.

Digital/Analogwandler nach Abbildung 4.70 belastet die Stromquelle sehr ungleichmässig. Deshalb wird in der Strom durch die Widerstände nicht unterbrochen, sondern wie in Abbildung 4.71 nur zwischen dem invertierenden Eingang des Strom-Spannungswandlers und der Erde geschaltet. Gleichzeitig erreicht man, dass über dem geschlossenen Schalter keine Spannung abfällt, dass also Leckströme sehr effektiv unterdrückt werden. Für die Dimensionierung der Widerstände gilt Gleichung (4.83).

Der Digital-Analogwandler nach Abbildung 4.72 verwendet ein R-2R-Netzwerk, bei dem nur zwei Widerstandswerte vorkommen, nämlich R und 2R. Dieses Netzwerk kann wie folgt verstanden werden. Wir betrachte das rechte Ende der Kette, beginnend mit dem Knoten 1 zwischen R₂₀, R₂₁ und R₂₄. der Knoten 2 liegt zwischen R₂₁, R₂₂ und R₂₃. Die Widerstände R₂₃ und R₂₄ speisen den Strom in den Digital/Analog-Wandler. Dabei soll der Strom durch R₂₄, I₂₄ gleich dem doppelten des Stromes I₂₃ durch R₂₃ sein. Damit gilt: U₁ = 2U₂. Somit können wir das folgende Gleichungssystem aufstellen:

Eingesetzt ergibt sich

(4.85)

Diese Gleichung ist unabhängig von U₁. Man bekommt

(4.86)

Wird in Gleichung (4.86) R₂₃ = R₂₂ gesetzt, so ist R₂₁ = . Am Knoten 1 hat die Kombination aus R₂₁…R₂₃ die Impedanz R₂₁ + = R₂₁ + = R₂₁ +R₂₁ = 2R₂₁ = R₂₂. Damit kann der Knoten 1 wie der Knoten 2 behandelt werden: der Strom verdoppelt sich bei diesem Netzwerk, wenn man nach links geht, und er halbiert sich, wenn man nach rechts geht.

Das R-2R-Netzwerk hat den Vorteil, dass nur Widerstände, die in der Grösse um den Faktor 2 variieren, auf der Chipfläche hergestellt werden müssen. Damit ist diese Struktur kompatibel zu der Halbleiterfertigung. Die grössten Fehlern sind

• Widerstand der Schalter im eingeschalteten Zustand
• Offsetspannungen
• Bei grossen Bitzahlen werden die Ströme so klein, dass thermische Ströme oder Rauschströme grösser werden können.

Die Spannungsquelle wird mit dem Widerstand R₂₁ belastet. R₁₈ kann auch weggelassen werden. Dann ist die Belastung der Referenzquelle R₂₂.

Schliesslich ist es möglich, wie in Abb. 4.72 gezeigt, das Netzwerk auch mit veränderlichen Spannungen zu betreiben. Die Digitalzahl wirkt dabei wie ein Multiplikator.

Die Schaltung nach Abbildung 4.73 erweitert das R-2R-Netzwerk mit einem bipolaren Ausgang.

Pulslängenmodulation

Bei den oben besprochenen Digital-Analog-Wandlern gibt es zwei fundamentale Probleme:

• Beim Umschalten des MSB können grosse Störsignale entstehen. je mehr Bit Auflösung ein Wandler hat, desto schwieriger wird es, dieses Problem in den Griff zu bekommen.
• Die Linearität kann bei sehr hochauflösenden Wandlern nicht mehr garantiert werden.
• Und nicht zuletzt, die Kosten für einen Wandler steigen überproportional mit seiner Bitzahl.

Dieses Problem kann umgangen werden, indem man die Ausgangsspannung wie in Abb. 4.74 zwischen zwei Spannungswerten hin- und herschaltet und dabei die Pulslänge moduliert.

Das Eingangssignal stammt von dem Bitmustergenerator. Um das Prinzip klarzumachen, verwenden wir nur zwei Bits. Mit dem Taktgenerator V ₁ wird der Binärzähler U₂ angesteuert. Das XOR-Gatter U₄ vergleicht jeweils ein Bit des Zählers mit dem entsprechenden Bit des Bitmustergenerators. Das AND-Gatter U₁₃ detektiert, wenn beide Bit-Werte vom Zähler und vom Bitmustergenerator gleich sind. Dann wird das RS-Flip-Flop U₈ zurückgesetzt. Mit der fallenden Flanke von Bit B aus dem Zähler U₁ wird der Monoflop U₆ getriggert. Sein Ausgangspuls setzt das RS-Flip-Flop U₈. Damit ist das Ausgangssignal von U₈ eins, solange der Zähler eine kleinere Zahl als der Bitmuster-Generator hat. Das Eingangssignal könnte auch von einem Computer kommen. Das Ausgangssignal wird Null für den Rest der Periode. Damit ist diese Schaltung ein digitaler Pulsweiten-Modulator. Schliesslich wird das Ausgangssignal in der Schaltung A₁ Tiefpassgefiltert (Die Parameter ergeben ein Tschebyscheff-Tiefpassfilter dritter Ordnung mit 0.5 dB Welligkeit und einer Grenzfrequenz von 10kHz).

Die Abb. 4.74, unten zeigt in der oberen Hälfte des Oszilloskpbildes das Pulsweitensignal und unten das gefilterte Ausgangssignal. Die Bitstufen im 8 kHz-Takt sind klar getrennt. Die Taktfrequenz ist dabei 200 kHz.

1-Bit Wandler

1-Bit-Wandler kombinieren das Pulslängen-Modulationsprinzip mit zusätzlicher digitaler Logik. Abbildung 4.75 zeigt eine mögliche Schaltung aus einem CD-Spieler[HS93]. Das abgetastete Signal wird zuerst 4-fach interpoliert (oversampled) und dann 32-fach interpoliert. Aus der CD-Abtastfrequenz von 44.1 kHz wurde nun eine Abtastfrequenz von 5.6 MHz. Das Signal wird mit einem 352 kHz-Signal so digital moduliert, dass die Ausgangsspannung um das wenigstwertige Bit (LSB) schwankt. damit muss der Wandler konstant das Ausgangssignal ändern: es können keine niederfrequenten Störsignale entstehen. In einer digitalen Sample/Hold-Stufe werden die Datenworte verdoppelt. Die Abtastfrequenz ist nun 11.2 MHz. Aus diesem Signal wird das MSB-Bit im Noise-Shaper abgetrennt und dem Pulsweiten-Modulator (1-Bit!) zugeführt. Die nicht-verwendeten Signalbits werden zum nächsten Datenbit im Sample/Hold dazu gezählt und gehen so nicht verloren. Die Wandlung wird nun von einer 1-Bit Puls-Dichte-Modulatorstufe durchgeführt, deren niedrigste Frequenz durch die 352kHz-Modulationsspannung gegeben ist. Das Ausgangssignal wird nun durch einen Integrator tiefpassgefiltert.

Die Bitzahl m, die man gewinnen kann, hängt von der Oversamplingrate r wie folgt ab:

(4.87)

Tabelle 4.3 zeigt einige charakteristische Werte. Warum funktioniert die 1-Bit-Wandlung, obwohl man im obigen Beispiel ausrechnen kann, dass die Bitzahl 1 + 8 = 9 Bit ist. das menschliche Ohr hat seine maximale Empfindlichkeit bei 1 kHz, so dass für diese Frequenz nochmals eine etwa 32-fache Überabtastung resultiert. Damit ist die effektive Bitzahl 9 + 5 = 14. Der Noise-Shaper ermöglicht eine zusätzliche, digitale Erhöhung der Quantisierung.

Oversampling

Die Funktionsweise des Oversampling wird in Abb. 4.76 gezeigt. Links wird das Ausgangssignal, wie es ein 3-Bit-Wandler erzeugen würde, gezeigt. Das mittlere Bild stellt den Ausgang eines 2-Bit-Wandlers dar. Wenn dabei das ursprüngliche Signal zwischen zwei möglichen Ausgangswerten liegt, wird das Ausgangssignal zwischen den beiden, dem ursprünglichen Signal benachbarten werten, hin-und hergeschaltet. Der mittlere Teil von Abb. 4.76 zeigt das entsprechende Signal. Der rechte Teil von Abb. 4.76 zeigt das mit einem gleitenden Mittelwert gefilterte Ausgangssignal. Betrachtet man nur die weinroten Balken im linken und im rechten Diagramm, stellt man fest, dass sie identisch sind.

Abb. 4.77 zeigt ein vierfach-Oversampling. Links ist das ursprüngliche Signal mit 4-Bit Auflösung. Das mittlere Bild zeigt das Interpolationsresultat wen jeweils über 2 und 2 Ausgangsbalken gemittelt wird. Rechts ist das voll interpolierte 4-fach Oversampled-Signal. bei CD-Plattenspielern wird bei 16-Bit Digital-Analogwandlern maximal 16-fach überabgetastet. mehr macht nicht Sinn, da 16-Bit Wandler damit an ihre Geschwindigkeitsgrenze kommen[HS93]. Das verfahren ist bekannt unter dem Namen High-Bit-Verfahren.

Wie das Beispiel mit der Pulsweiten-Modulation gezeigt hat, kann es sinnvoll sein, die Taktfrequenz sehr hoch zu setzen und die Auflösung durch Filteroperationen im digitalen Bereich zu erhalten. Werden weniger Bits und preiswerte analoge Filter verwendet, nennt man das Verfahren Bitstream-Verfahren.

MASH-Verfahren

Eine Weiterentwicklung des Bitstream-Verfahrens ist die MASH-Technik. MASH heisst Multi-Stage noise SHaping. Dabei wird, wie in Abb. 4.78 gezeigt, der Puls-Weiten-Modulator mit mehr als einem Bit angesteuert. Die Pulsweite kann dabei in 2^k Schritten eingestellt werden. Damit hat man eine höhere Auflösung im Wandler. Da die Bitzahl klein bleibt, ist die notwendige Präzision gewährleistet. Die Netto-Auflösung ist dann

(4.88)

Bei einem Pulsweiten-Modulator mit 4-Bit Auflösung, der mit 45,1 MHZ betrieben wird (1024 Oversampling) stehen bei 44.1 kHz 14 Bit zur Verfügung. Bei dem für den Hörer wichtigen Frequenzbereich von unter 5 kHz stehen nun 17 Bit zur Verfügung.

4.1.8.2. Analog/Digital-Wandler

Analog-Digital-Wandler bereiten analoge Eingangssignale in digitale Signale auf. Da es bei der Analog-Digital-Wandlung keine so einfachen Konzepte wie das Successive Approximation Verfahren gibt, ist die Umsetzung von analogen in digitalen Signale meistens mit einem grösseren Aufwand verbunden.

Direkte Verfahren

Das am einfachsten zu begreifende Verfahren für die Analog-Digital-Wandlung ist das Direktverfahren⁵ , wie es in Abb. 4.79 gezeigt wird. Als Beispiel wird eine 2-Bit Wandlung gezeigt. Die Referenzspannung wird durch eine Teilerkette R₁…R₅ in gleichabständige Spannungswerte gewandelt. dabei sind die Spannungswerte jeweils um ein halbes LSB verschoben, um eine korrekte Wandlung zu erreichen. Die Komparatoren V R₁…V R₄ vergleichen die Eingangsspannung mit den Referenzwerten. Die D-Flipflops U₅…U₈ transferieren zu einem genau festgelegten Zeitpunkt die Komparatorsignale an den Ausgang. Diese sind im Logikanalysator (Abb. 4.79, unten links) zu sehen. der Priority-Encoder U₂ gibt nun ein 2-Bit-Ausgangssignal, das von der Adresse des höchstwertigen Komparators bestimmt ist. Die LED-anzeige stellt den Wert dar. Das Oszilloskopbild in Abb. 4.79, unten rechts, zeigt das Verhältnis des obersten Komparators zum Eingangssignal.

Analog-Digital-Wandler nach diesem Prinzip arbeiten bis in den GHz-Frequenzbereich. Damit dienen sie zur Wandlung von Videosignalen und werden in digitalen Höchstfrequenz-Oszilloskopen eingesetzt. Sie werden typischerweise mit 8-Bit Auflösung hergestellt.

Nachlaufverfahren

Das Nachlaufverfahren nach Abb. 4.80 verwendet einen Digital-Analog-Wandler und eine Nachlaufregelung um ein Analogsignal zu wandeln. Das Eingangssignal wird im Subtrahierer A₁ vom Ausgangssignal des Digital-Analog-Wandlers U₇ abgezogen. Der Komparator V R₁ vergleicht die Differenz mit 0 und steuert so die Zählrichtung des Up/Down-Zählers U₁₁. Der Ausgang dieses Zählers steuert den Digital-Analog-Wandler U₇. Das Signal wird auch in der 7-Segment-Anzeige und im Logikanalysator angezeigt.

Die Abb. 4.80 unten links zeigt das Bild des Logikanalysators. Unten rechts wird schliesslich das Ausgangssignal des Digital-Analog-Wandlers mit dem Eingangssignal verglichen.

Nachlaufende Analog-Digital-Wandler benötigen Digital-Analog-Wandler mit monotoner Ausgangskennlinie. Sie sind sehr schnell bei kleinen Änderungen, benötigen aber bis zu 2ⁿT _takt zum wandeln eines Spannungssprunges um n Bits.

Wägeverfahren

Beim Wögeverfahren (auf englisch: Successive Approximation) wird der gesuchte Zahlenwert schrittweise ermittelt. Abb. 4.81 zeigt das Blockschema eines Wandlers nach dem Wägeverfahren. Die Eingangsspannung wird in einem Sample/Hold-Glied zwischengespeichert⁶ . Die Wandlung läuft nun folgendermassen ab:

• Die Steuerlogik setzt das höchstwertige Bit.
• Der Komparator vergleicht das Ausgangssignals des Digital-Analog-Wandlers (jetzt die halbe Referenzspannung U_ref) mit dem Eingangssignal. Ist das Eingangssignal grösser, bleibt das Bit gesetzt, sonst wird es zurückgesetzt.
• Nun wird das nächste Bit gesetzt. Die Spannung am Digital-Analog-Wandler ist nun U_ref∕4 oder 3U_ref∕4, je nach Ausgang des ersten Schrittes.
• Das zweite Bit wird nun gelöscht, wenn die Eingangsspannung kleiner als die Ausgangsspannung des Digital-Analog-Wandlers ist.
• Die obige Prozedur wird für jedes Bit wiederholt.
• Bei einem n-Bit-Wandler steht das Resultat nach n Schritten zur Verfügung.

Wandler nach dem Wägeprinzip benötigen Digital-Analog-Wandler die über den ganzen Spannungsbereich monoton sind. Die Wandler haben einen mittleren Geschwindigkeitsbereich, bis einige 10 MHz Taktrate. Dies heisst Wandelzeiten um die 1 μs.

Integrierende Verfahren

Integrierende Analog-Digital-Wandler können sehr einfach aufgebaut werden. Abbildung 4.82 zeigt einen Wandler nach dem Sägezahnverfahren. Zwei Komparatoren vergleichen die Sägezahnspannung mit Null und mit der Eingangsspannung. Während die Sägezahnspannung zwischen Null und der Eingangsspannung ist, wird der Quarzoszillator auf den Zähler geschaltet. Die Sägezahnspannung hat den folgenden Funktionsverlauf:

(4.89)

Die Zeit, während der der Zähler angesteuert wird, ist:

(4.90)

In der Zeit werden die Schwingungsperioden T des Quarzoszillators gezählt. der Zählerstand ist am Ende der Wandlung:

(4.91)

Das Sägezahnverfahren funktioniert theoretisch hervorragend. In der Praxis gibt es damit aber fast unüberwindliche Probleme.

• Die Frequenzunsicherheit (Jitter) des Sägezahnoszillators begrenzt die Genauigkeit.
• Drift und der Einfluss der Temperatur verändern die Schaltschwellen und beeinflussen damit die Genauigkeit.
• Kondensatoren sind schwer mit genügender Genauigkeit zu bekommen.
• Durch den Quarzoszillator und die weiteren Komponenten ist die Schaltung relativ teuer.

Die Abbildung 4.83 zeigt einen Wandler nach dem Dual-Slope-Prinzip. Zuerst wird der Kondensator C_i mit dem Schalter S₃ entladen. Dann wird, gesteuert durch die Steuerlogik, das Eingangssignal während einer festen Zeit t₁ integriert. Dann wird das Eingangssignal vom Integrator getrennt und und die Referenzspannung U_ref integriert, bis die Ausgangsspannung des Integrators wieder Null ist. Der Spannungsverlauf ist in Abb. 4.84 für zwei verschiedene Eingangsspannungen gezeigt.

Die beiden Zeiten werden vom Messdauerzähler und vom Ereigniszähler bestimmt.

Der Ablauf nochmals in Kürze:

1. Integration der Eingangsspannung über eine vorgegebene Zeit t₁
2. Integration der fixen Referenzspannung (mit umgekehrter Polarität wie die Eingangsspannung) bis der Kondensator Entladen ist. Diese Zeit t₂ wird gemessen.

Die Ausgangsspannung am Integrator nach der Zeit t₁ ist

(4.92)

Dabei ist n₁ die Anzahl Zählimpulse für die Zeit t₁. T ist die Periodendauer des Taktoszillators, τ ist die Integrationskonstante des Integrators. Die Zeit t₂ für das Zurückintegrieren ist

(4.93)

Daraus erhält man für den Zählerstand im Ergebniszähler:

(4.94)

Die Eigenschaften des Dual-Slope-Verfahrens sind:

• Das Ergebnis hängt nicht von der Taktfrequenz ab, da alle Zeiten von ihr abgeleitet werden.
• Der Absolutwert des R-C-Gliedes beeinflusst das Ergebnis nicht. Durch die zweimalige Integration sind die Integrationszeiten und U_ref wichtig.
• Das Verfahren ist wenig Anfällig gegen Störspannungen. Alle Frequenzen, die ein Vielfaches von 1∕t₁ sind werden unterdrückt.
• Die Referenzspannungsquelle muss die geforderte Präzision haben.
• Der Integrationskondensator sollte eine möglichst geringe Spannungshysterese haben, also zum Beispiel Polystyrol als Dielektrikum haben.
• Dieser Wandler ist sehr billig herzustellen.

Sigma-Delta-Verfahren

Abbildung 4.85 zeigt einen Sigma-Delta-Wandler, der neuerdings die bevorzugte Bauart für höchstauflösende Analog-Digital-Wandler ist⁷ . Der Wandler besteht aus einem Subtrahierer am Eingang, A₁, gefolgt von einem Integrierer, A₂, und einem Hystereseschalter bestehend aus A₃ und S₁. Die Eingangsspannung muss zwischen den beiden Ausgangswerten des Schalters S₁ liegen. Hier sind das 1V und -1V. Für Spannungswerte in diesem Bereich funktioniert die Schaltung. Eine gute Beschreibung dieses Funktionsprinzips gibt Jim Thompsons Website⁸ [Tho95].

Für eine Eingangsspannung von 0V ergibt sich folgendes:

• Der Ausgang des Integrators A₂ sei auf +1mV. Dann ist S₁ eingeschaltet und am Eingang B von A₁ liegt -1V. Die Ausgangsspannung von A₁ ist dann -1V, der Integrierer integriert mit einer Verstärkung von 10V/Vs gegen -1mV, der unteren Umschaltschwelle von S₁.
• Die Integrationsrate ist | − 1V |10V∕V s = 10V∕s. Daraus ergibt sich die Integrationszeit zu t_int = 2mV∕(10V∕s) = 0.2ms.
• Dann schaltet S₁ auf +1V. Der Integrator A₂ integriert nun von -1mv auf 1mV, wieder in 0.2 ms. Das Ausgangssignal ist also ein 2.5kHz Rechteck mit 50% Tastverhältnis.

Wir nehmen nun an, dass Die Eingangsspannung 0.5 V sein soll. Wir erhalten das folgende Resultat.

• Der Ausgang des Integrators A₂ sei auf +1mV. Dann ist S₁ eingeschaltet und am Eingang B von A₁ liegt -1V. Die Ausgangsspannung von A₁ ist dann 0.5V − (1V ) = −0.5V , der Integrierer integriert mit einer Verstärkung von 10V/Vs gegen -1mV, der unteren Umschaltschwelle von S₁.
• Die Integrationsrate ist | − 0.5V |10V∕V s = 5V∕s. Daraus ergibt sich die Integrationszeit zu t_int = 2mV∕(5V∕s) = 0.4ms.
• Dann schaltet S₁ auf +1V. Der Ausgang von A₁ ist nun auf 0.5V − (−1V ) = 1.5V . Der Integrator A₂ integriert nun von -1mv auf 1mV, nun mit einer Rate von 15V∕s. Die Integrationszeit ist 0.133 ms. Das Ausgangssignal ist also ein 1.875kHz Rechteck mit 75% Tastverhältnis. Das heisst, das Ausgangssignal entspricht 1V ∗ 0.75 + (−1V ) ∗ 0.25 = 0.5V

Schliesslich soll die Eingangsspannung -0.5V sein.

• Der Ausgang des Integrators A₂ sei auf +1mV. Dann ist S₁ eingeschaltet und am Eingang B von A₁ liegt -1V. Die Ausgangsspannung von A₁ ist dann −0.5V − (1V ) = −1.5V , der Integrierer integriert mit einer Verstärkung von 10V/Vs gegen -1mV, der unteren Umschaltschwelle von S₁.
• Die Integrationsrate ist |− 1.5V |10V∕V s = 15V∕s. Daraus ergibt sich die Integrationszeit zu t_int = 2mV∕(15V∕s) = 0.133ms.
• Dann schaltet S₁ auf +1V. Der Ausgang von A₁ ist nun auf −0.5V − (−1V ) = 0.5V . Der Integrator A₂ integriert nun von -1mv auf 1mV, nun mit einer Rate von 5V∕s. Die Integrationszeit ist 0.4 ms. Das Ausgangssignal ist also ein 1.875kHz Rechteck mit 25% Tastverhältnis. Das heisst, das Ausgangssignal entspricht 1V ∗ 0.25 + (−1V ) ∗ 0.75 = −0.5V

Die Schaltung nach Abb. 4.85 zeigt diese Eigenschaften. Der untere Teil der Abbildung zeigt auf der oberen Oszilloskopspur das Ausgangssignal von S₁ und unten das Eingangssignal. Die Schaltung erzeugt also ein Rechtecksignal, bei dem das Tastverhältnis

(4.95)

Die Wandlung geschieht nun, indem man mit einer höheren Taktfrequenz zählt, wie oft Einsen und Nullen im Rechtecksignal auftreten. Hier könnte man zum Beispiel mit einem MHz zählen. Man würde folgendes erhalten

Die Schaltung hat also, ohne grossen Aufwand 10 Bit Präzision. Sie hat folgende Eigenschaften:

• es gibt kein Aliasing bei der Umwandlung in den Bitstrom. Da bei der Digitalisierung nicht abgetastet wird, gibt es kein Aliasing.
• Prinzipbedingt gibt es keine fehlenden Codes.
• Das Wandlerverhalten ist absolut monoton und linear.
• Der Wandler ist unempfindlich gegen steile Flanken, gegen Rauschen und gegen hochfrequente Störungen.
• Aliasing kann auftreten, wenn die digitale Abtastfrequenz ungeschickt (zu tief) gewählt ist.

Die Funktion des Integrators ist, eine Tiefpassfilterung zur Verfügung zu stellen. Wir haben die Schaltung mit einem Baustein aufgebaut, sie wird als Sigma-Delta-Wandler (ΣΔ-Wandler) erster Ordnung bezeichnet. Mit einer höheren Ordnung kann das Tastverhältnis⁹ schneller an das Eingangssignal angepasst werden[Kho98].

4.1.9  Lock-In Verstärker am Beispiel des AD630 Chips

Zur Messung von periodischen Signalen verwendet man häufig Lock-In Verstärker. Der Kern jedes Lock-In-Verstärkers ist ein synchroner Gleichrichter. der synchrone Gleichrichter in Abb. 4.86 ist ein Multiplizierer. Es können aber auch einfache Umschalter für die Polarität verwendet werden.

Die Ausgangsspannung wird durch das folgende Integral berechnet:

(4.96)

Hier ist sin(ω₀τ) die Referenzspannung und U_e(t) die Eingangsspannung. Die Integration wird normalerweise, wie auch in der Abbildung 4.86, mit Tiefpassfiltern durchgeführt. Die untere Hälfte von Abbildung 4.86 zeigt das Ausgangssignal des Lock-In-Verstärkers. Dabei wird eine Signalspannung von 2V bei 1 kHz und eine Störspannung von 2 V bei 5 kHz als Eingangssignal verwendet. Die Integrationszeit ist τ = 3kΩ ×1μF = 3ms. Die Nutz-Eingangsspannung wird alle 15 ms von ihrer Spannung von 2V auf 0V geschaltet. 15 ms später wird sie wieder eingeschaltet.

Meistens wird in Lock-In-Verstärkern das Eingangssignal nicht mit dem Referenzsignal multipliziert, sondern nur die Verstärkung zwischen den Werten +1 und -1 umgeschaltet.

Die Funktion des Lock-In-Verstärkers mit periodischer Umschaltung kann man mathematisch wie folgt formulieren:

Die Schaltspannung S(t) wird in eine Fourierreihe entwickelt:

(4.97)

Wir nehmen im weiteren an, dass die Eingangsspannung U_a(t) sinusförmig und ein ganzzahliges Vielfaches der Referenzfrequenz ω_e = mω_st ist.

(4.98)

Für sinusförmige Schwingungen gelten die folgenden Beziehungen:

Damit wird die gemittelte Ausgangsspannung des Lock-In-Verstärkers

(4.101)

Bei einem Analogmultiplizierer erhält man

(4.102)

Anders als bei dem Detektor mit Umschalter ist die Ausgangsspannung nur dann ungleich Null, wenn die Frequenzen von Eingangsspannung und Referenzspannung gleich sind. Bei Umschaltern ist der Lock-In-Verstärker auch auf die Harmonischen des Eingangssignals empfindlich.

Die Abb. 4.87 zeigt den Einfluss von Störspannungen und der Filterzeitkonstanten. Die linke Seite zeigt das Ausgangssignal, wenn das Eingangssignal auf 0.2 V gesetzt wird und wenn das Störsignal quasi ausgeschaltet ist. Das 10 mal stärkere Störsignal ist in der Mitte wieder eingeschaltet. Durch Verlängerung der Integrationszeit in der rechten Seite kann das Signal-zu Störsignal-Verhältnis verbessert werden.

Die Bandbreite des Detektors hängt von der Integrationszeit τ ab. Es gilt

(4.103)

Man kann durch Integration über mehrere Sekunden in einem Lock-In-Verstärker leicht Frequenzen von einigen kHz mit Bandbreiten im mHz-Bereich messen.

Multipliziert man das Eingangssignal mit sin ω_stt und auch cos ω_stt, so kann man sowohl die Amplitude wie auch die Phase über die Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck bestimmen.

Ein Lock-In-Verstärker auf einem Chip ist der AD630. Der Chip beinhaltet Widerstände, so dass der eine Eingangsverstärker als invertierender und der andere als nicht-invertierender Verstärker aufgebaut ist. Der AD630 arbeitet als Lock-In-Verstärker, mit der Referenzfrequenz am Eingang des Komparators die abwechseld die beiden Eingänge auf den Ausgang schaltend.

Der Lock-In-Verstärker kann ein Signal, das etwa 10000 schwächer als das Störsignal (weisses Rauschen) ist, detektieren.

Viele Lock-In-Verstärker werden heute mit DSPs aufgebaut (siehe auch den Abschnitt 2.9).