Weiter: Welle-Teilchen-Dualismus Oben: Optische Phänomene Zurück: Beugung  Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter

Unterabschnitte

• Absorption
• Dispersion und Kommunikation
• Streuung

Absorption, Dispersion und Streuung

Absorption

Dieser Stoff wurde am 30.1.2002 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 547])

Absorption von Licht

Wenn Licht durch Materie transportiert wird, dann gibt es, abhängig vom Material, eine Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Anteil der transportierten Energie absorbiert wird. Auf der Strecke $dz$ verringert sich die Intensität um

$$dI = - \alpha I dz$$ (10.580)

Diese Gleichung kann integriert werden und führt zum Beer-Lambertschen Absorptionsgesetz

$$I(z) = I_0 e^{-\alpha z}$$ (10.581)

In beiden Gleichungen ist $\alpha$ der Absorptionskoeffizient.

Dispersion und Kommunikation

Dieser Stoff wurde am 5. 2. 2002 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 548])

Materialien

Übungsblatt 15 vom 5. 2. 2002 (HTML oder PDF)

Folien zur Vorlesung am 05. 02. 2002 PDF

Im allgemeinen Falle hängt die Phasengeschwindigkeit einer Welle von der Frequenz und vom Medium ab. Das heisst für Licht, dass jede Farbe eine eigene Ausbreitungsgeschwindigkeit hat.

Federmodell für die Dispersion nach Känzig[].

Wir betrachten eine longitudinale Welle auf einem Feder-Masse-System. Die Bewegungsgleichung für die n-te Masse ist

$$m\ddot\xi_n = -k\left(\xi_n-\xi_{n-1}\right)+k\left(\xi_{n+1}-\xi_n\right)=k\left(\xi_{n+1}+\xi_{n-1}\right)-2k\xi_n$$ (10.582)

analog zur Gleichung (8.108) für ein inneres Pendel bei gekoppelten Pendeln. Bei sehr kleinen Frequenzen schwingen alle Massen in Phase: wie bei den gekoppelten Pendeln gibt die gleichsinnige Bewegung aller Massen die tiefste Frequenz, die hier, da wir eine unendliche Anzahl Massen annehmen, null ist. Die maximale Frequenz erhält man dann, wenn jeweils zwei benachbarte Massen gegensinnig schwingen. Eine höher Schwingungsfrequenz ist nicht möglich. Die minimale Wellenlänge ist $\lambda_{min} = 2a$ und entsprechend $k_{max} = \frac{\pi}{a}$. Wir setzen $\Omega_0^2 = \frac{4k}{m}$ und erhalten

$$\ddot\xi_n = \Omega_0^2\left[\frac{1}{4}\left(\xi_{n+1}+\xi_{n-1}\right)-\frac{1}{2}\xi_n\right]$$ (10.583)

Wir setzen als vorläufige Lösung für $\lambda>2a$ an: $\xi(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)}$. Da die Schwingung nur für diskrete Positionen definiert ist, ersetzen wir $x = na$ und erhalten als endgültigen Lösungsansatz

$$\xi_n = \xi(n,t) = Ae^{i(kna-\omega t)}$$ (10.584)

Eingesetzt in die Bewegungsgleichung erhalten wir

$$-\omega^2e^{ikna} = \Omega_0^2\left[\frac{1}{4}\left(e^{ik(n-1)a} + e^{ik(n+1)a}\right) -\frac{1}{2}e^{ikna}\right]$$

$$\omega^2 = \frac{1}{2}\Omega_0^2\left[1-\frac{1}{2}\left(e^{ika}+e^{-ika}\right)\right]$$

$$= \frac{1}{2}\Omega_0^2\left[1-\cos(ka)\right]$$

$$= \Omega_0^2\sin^2\frac{ka}{2}$$ (10.585)

Die Dispersionsbeziehung für die Feder-Masse-Kette ist

$$\omega(k) = \Omega_0\sin\frac{ka}{2}$$ (10.586)

• Für lange Wellen $\lambda\gg a$ oder $ka \ll 2\pi$ ist $\sin\frac{ka}{2} \approx \frac{ka}{2}$. Damit ist $\omega(k) \approx \frac{1}{2}\Omega_0 k a$.
  Mit der Definition der Phasengeschwindigkeit $c = \omega/k$ Erhalten wir
  $$c \approx \frac{1}{2}\Omega_0 a = \frac{1}{2}\sqrt{k}{m}$$
  Die Gruppengeschwindigkeit $c_G = \frac{d\omega}{dk}$ ist
  $$c_g \approx \frac{1}{2}\Omega_0 a =c$$

• Für Wellen mit $\lambda = \lambda_{min}=2a$ ist die Phasengeschwindigkeit
  $$c_0 = \frac{\Omega_0}{\pi/a} = \frac{\Omega_0 a}{\pi}= \frac{1}{\pi}\sqrt{k}{m}$$
  und die Gruppengeschwindigkeit
  $$c_G = \left.\frac{d}{dk}\Omega_0\sin\frac{ka}{2}\right\vert _{\pi/a} = \left.\frac{a}{2}\cos\frac{ka}{2}\right\vert _{\pi/a} = 0$$

• Für $\lambda<2a$ wird die Welle exponentiell gedämpft.

Dispersionsrelation für Federketten mit zwei unterschiedlichen Atomen.

Wenn eine Federkette mit einer regelmässigen Anordnung zweier ungleicher Massen gebildet wird, tritt zum von den vorherigen Ausführungen bekannten akustischen Zweig ein optischer Zweig. Zusätzlich gibt es Frequenzen, für die es keinen reellen $\vec{k}$-vektor gibt. Diese Frequenzen (oder über $E=\hbar\omega$ auch diese Energien) sind keine propagierenden Wellen möglich. Gibt es neben longitudinalen auch transversale Wellen, zeigt die Dispersionsrelation nicht einen sondern drei Zweige akustischer Phononen.

Schwerewellen im tiefen Wasser haben die Dispersionsbeziehung

$$c^2 = \frac{g}{k} = \frac{1}{2\pi}g\lambda$$ (10.587)

Eine Konsequenz ist, dass Tsunamis, Flutwellen von Erdbeben, auf dem offnen Meer eine sehr grosse Wellenlänge und auch eine sehr hohe Geschwindigkeit (mehrere 100 km/h bis zu 1000 km/h ) haben. Da ihre Energie auf eine so grosse Distanz verteilt ist, hebt sich der Meeresspiegel nur um einen bis einige 10 Meter. Diese gesamte Energie wird dann an einem Strandabschnitt deponiert und richtet grosse Zerstörungen an.

• $c = 300 m/s$
• Dann ist $\lambda = 2\pi c^2 /g \approx 2*3*300*300/10 = 54000 m$
• Bei einer Höhe von $10 m$ ist der Energiegehalt pro Meter Strand $E_{pot} = 54000 m * 1 m * 10 m /2 /\pi = 85 kJ$ für jeden Wellenberg (dies entspricht dem Aufprall einer Masse von 2000 kg mit 12.6 m/s auf 2m Breites)

Ein Puls oder eine Wellengruppe besteht aus Wellen benachbarter Frequenz. Analog zur Modulation und der Gleichung (8.82) ¹⁵ besteht ein Puls aus einer Einhüllenden sowie einer Phase, die für sich aber keine Information trägt. Eine längere Rechnung[] ergibt, dass die resultierende Wellenfunktion aus harmonischen Welle $e^{i(k_0 x -\omega t)}$ sowie der Modulation $G\left(x-\left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}t\right)$. Die resultierende Welle ist

$$\xi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i(k_0 x -\omega t)}G\left(x- \left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}t\right)$$ (10.588)

Die Gruppengeschwindigkeit

$$v_G = \left.\frac{d\omega}{dk}\right\vert _{k_0}$$ (10.589)

Bei unserem Feder-Masse-System ist $v_G = 0$ wenn $\lambda=2a$ ist. Das heisst, der Puls, der die Information trägt, ist ortsfest. Wenn $v_G$ nicht konstant ist, bewegen verändert sich die Form des Pulses, da die verschiedenen Frequenzanteile sich unterschiedlich schnell ausbreiten.

Lösungsmöglichkeiten

• Dispersionskompensation. Sie ist aufwendig und wird hauptsächlich bei Kurzpuls-Lasersystemen angewandt.
• Betrieb des Systems bei einer Wellenlänge, bei der die Dispersion minimal, also $v_G$ möglichst konstant ist. Dies wird bei der optischen Kommunikation angewandt (Wellenlängen 1300 nm und 1500 nm).
• Man setzt die Datenrate auf nidrigere Werte, verbreitert also die Pulse und minimiert so die Fehler durch die Dispersion. Bis zu einer Verringerung der übertragenen Datenrate um den Faktor 2 kann der Geschwindigkeitsverlust meist durch die Anwendung von Kompressionsalgorithmen minimiert werden.

Streuung

Dieser Stoff wurde am 5. 2. 2002 behandelt

(Siehe Gerthsen, Physik[GV95, 553])

Alle Teilchen, ob sie sehr viel kleiner als die Wellenlänge des Lichtes sind wie Moleküle oder ob sie etwa die gleiche Grösse wie die Wellenlänge haben, streuen Licht. Moleküle und Atome werden zur Berechnung der Streuung als Dipolstrahler betrachtet.

• Zwei Ladungen $+Q$ und $-Q$ in einem Molekül vom Querschnitt $A$ erzeugen das elektrische Feld $E = Q/(\epsilon_0 A)$
• Das resultierende Dipolmoment, wenn die Ladungen im Abstand $d$ sind, ist $p = Q d \approx \epsilon_0 A d E \approx \epsilon_0 V E$. dabei ist $V=Ad$ das Volumen des Moleküls.
• Die Polarisierbarkeit des Moleküls ist $p/E \approx \epsilon V$
• Wenn diese molekulare Antenne schwingt, so strahlt sie nach H. Hertz die Leistung $P = \omega^4p^2/(6\pi\epsilon_0 c^3) \approx \omega^4\epsilon_0 V^2E^2/(6\pi\epsilon_0)$ ab.
• Diese Leistung entzieht die Streuung sie der Einfallenden Welle mit der Intensität $I = c\epsilon_0 E^2$.

Ein Molekül hat also den Streuquerschnitt

$$\sigma = \frac{P}{I} \approx \frac{\omega^4 V^2}{6\pi c^4}$$ (10.590)

Blaues Licht wird also durch Moleküle sehr viel stärker gestreut als rotes Licht. Wir berechnen die Eindringtiefe oder die mittlere freie Weglänge für Licht

• Mittlere Freie Weglänge: $\ell = 1/(n\sigma)$, wobei $n$ die Molekülzahldichte ist.
• Also ist $\ell = \frac{6\pi c^4}{nV^2\omega^4}=\frac{6\pi \lambda^4}{16 \pi^4 n V^2} = \frac{3}{8 \pi^3}\frac{\lambda^4}{n V^2}$
• Das Molekülvolumen ist etwa $V \approx 5\cdot10^{-29} m^3$
• Die Eindringtiefe ist dann $\ell = 160 \lambda^4$ (wobei $\ell$ in km und $\lambda$ in $\mu$m gemessen werden).

Wellenlänge in nm	Farbe	Eindringtiefe in km
400	violett	4
600	gelb	20
800	rot	65

Es ist deshalb auch nicht verwunderlich, dass die Alpen von Ulm aus gesehen nur schlecht zu sehen sind. Diese Rayleigh-Streuung ist für den blauen Himmel und das rötliche Licht am Morgen und am Abend verantwortlich. Ist die Atmosphäre dichter, dann nimmt die Streuung zu. Licht wird dann nicht mehr propagierend sondern diffusiv transportiert. So braucht ein Photon aus dem Sonneninneren etwa ein Jahr um die Oberfläche zu erreichen.

Für grössere Teilchen, $d\approx \lambda$ oder grösser, folgt die Streuung dem Gesetz von Mie (Mie-Streuung). In diesem Bereich ist die Streuung unabhängig von der Wellenlänge. Deshalb sieht das gestreute Licht weiss aus, zum Beispiel das an Wolken oder am Nebel gestreute Licht.

 Skript:  PDF-Datei Übungen:  Blätter