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2.4  Wärmekapazität bei konstantem Druck

Aus dem idealen Gasgesetz (Gleichung (2.13)) folgt bei konstantem Druck p und Teilchenzahl N, dass

pdV = N kdT = νRdT

ist.

Der erste Hauptsatz (Gleichung (2.1)) besagt, dass

δQ = dU + pdV

sei.

Setzen wir die Definition für die Wärmekapazität bei konstantem Volumen (Gleichung (2.18)) und das ideale Gasgesetz ein, so erhalten wir

δQ = νc dT + νRdT = ν [c + R ]dT V,mol V,mol

Andererseits ist die Wärmezufuhr pro Mol bei konstantem Volumen gegeben durch

f δQ = cV,moldT = -RdT 2

Also erhält man pro Mol

( ) c dT = [c + R]dT = f-+ 1 RdT p,mol V ,mol 2

Zwischen cp,mol und cV ,mol besteht die Beziehung
( ) c = f-+ 1 R p,mol 2
(2.1)

Aus den Zeiten vor dem SI-System kennt man das Wärmeäquivalent

1kcal = 4.1kJ
1cal = 4.1J
das die Einheit kcal (Kilokalorie) mit der Einheit Joule verknüft.

2.4.1  Adiabatenexponent

Bei schnellen Zustandsänderungen in Gasen (zum Beispiel bei Schallwellen) kann ein thermodynamisches System sich nicht mit der Umgebung durch Wärmeaustausch ins Gleichgewicht bringen. Für diese adiabatischen Zustandsänderungen gilt

δQ = 0

Wir erhalten aus der idealen Gasgleichung (Gleichung (2.13))

δW = - pdV = - p(V )dV = - νRT-dV = - νRT dV- V V

Die Wärmezufuhr wird durch

0 = δQ = dU - δW = dU + pdV = νcV ,moldT + pdV

beschrieben. Aus diesen beiden Gleichungen erhält man durch Kombination

0 = νcV,moldT + νRT dV- V

Wir teilen durch T und eliminieren ν

dT- dV- 0 = cV,mol T + R V
(2.2)

Aus dieser Gleichung folgt durch Integrieren

∫T ∫V - cV,moldT- = R dV- T V T0 V0

und

- cV ,molln(T ) + cV ,molln(T0) = R ln(V ) - R ln(V0)

Daraus erhalten wir die Beziehung

( ) ( ) - c ln T-- = R ln V-- V ,mol T0 V0
(2.3)

oder auch

T cV,mol·V R = const = Tc0V,mol·V 0R

Dies kann auch als

( ) -c ( )R T-- V,mol V-- T0 = V0

umgeschrieben werden. Mit cV ,mol = f 2R bekommt man durch Ziehen der R-ten Wurzel

f ( T--)-2 (V--) T = V 0 0
(2.4)

Wir definieren nun den Adiabatenexponenten

c c + R f R + R f + 2 γ = -p,mol-= -V,mol------= 2--f---- = ------ cV,mol cV,mol 2R f
(2.5)

Umgeschrieben lautet die Gleichung

f 1 2-= γ---1-

Damit bekommen wir die Gleichung

( ) 11-γ V--= T-- V0 T0
(2.6)

oder, umgekehrt

T ( V )1 -γ ---= --- T0 V0
(2.7)

Aus der Gleichung (2.13) für das ideale Gas folgt

( )-γ -p-= V-- p0 V0
(2.8)

und

p ( T ) γγ-1 ---= --- p0 T0
(2.9)

Da bei einem Adiabatischen Prozess wie der Schallausbreitung in der Atmosphäre keine Energie ausgetauscht wird, gilt

γ pV = const

und nicht, wie man aus der idealen Gasgleichung entnehmen würde

pV = const

Die ideale Gasgleichung gilt nur bei quasistatischen Prozessen mit Energieaustausch, nicht aber bei adiabatischen Prozessen (d. h., bei Prozessen ohne Energieaustausch.

2.4.2  Zustandsdiagramme

Prozesse werden mit Zustandsdiagrammen beschrieben:

PIC

Zustandsdiagramm T(p,V ) für das ideale Gas und adiabatische Änderungen für die Anzahl Freiheitsgrade f = 3, f = 5, f = 6 und f = 20.

Adiabatische Prozesse nähern sich mit höheren Freiheitsgraden den isothermen Prozessen an.

PIC

Doppelt logarithmische Darstellung des Zustandsdiagramms T(p, V) für das ideale Gas und adiabatische Änderungen für die Anzahl Freiheitsgrade f = 3, f = 5, f = 6 und f = 20.

PIC

Darstellung der häufigsten Typen von Zustandsänderungen

Bedingung Zustandsänderung
V = const Isochore
p = const Isobare
T = const Isotherme
dQ = 0 Adiabate oder Isentrope
Typische Zustandsänderungen

Die Druckarbeit bei den verschiedenen Zustandsänderungen hat jeweils die folgende Grösse:

Druckarbeit Zustandsänderung
δW = pdV isobar
W = U1 - U2 = CV ,molν(T1 - T2) adiabatisch
W = ∫ pdV = νRT ∫ V 1V 2dV- V = νRT ln V2 V1 isotherm
W = 0 isochor
Druckarbeit bei typischen Zustandsänderungen


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