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zwischen den Punkten und
entlang der Bahn
. Wir nehmen an, dass die Bahn
mit der
Bahnlänge
parametrisiert sei. Dann ist
und der
Tangenteneinheitsvektor ist
Mit
und
ist das Linienintegral
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Also haben wir
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Es ist üblich, den Referenzpunkt
zu setzen:
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Damit ist die Behauptung gezeigt.
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ist, wobei die namens und
die namens ist.
Wir haben also
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Wir können die Gleichung für die vereinfachen, indem wir
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Der Vektor hat die Länge
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Im gestrichenen Bezugssystem hat die Koordinaten
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oder betragsmässig
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Die Komponente parallel zum Boden (also in der -Richtung ist
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Weiter ist die Geschwindigkeit des Punktes bezogen auf die Geschwindigkeit
des Schwerpunktes
gegeben
durch
Punkt ![]() |
Punkt ![]() |
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Feldvektor der Gravitation des Mondes ![]() |
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Zentrifugalbeschleunigung ![]() |
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Summe der Beschleunigungen ![]() |
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in gibt es die Zentrifugalbeschleunigung
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Die zwei Novae sollen an den angegebenen Orten und Zeiten ausbrechen. B
befindet sich in einem Inertialsystem, das sich mit der Geschwindigkeit
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In der Abbildung stellt die horizontale Achse alle drei Raumkoordinaten zusammen dar. Am Ort befindet sich A
in Ruhe. Deshalb ist die Zeitachse von A sein hier. Andererseits haben alle Punkte auf der
-Achse
die gleich Zeit wie A, sie befinden sich also jetzt. Die hier und jetzt
eines sich in einem mit der Geschwindigkeit
gegenüber A's Inertialsystem bewegenden Beobachters B
sind gekippt gegenüber meinen Koordinatenachsen, wobei der Kippwinkel
der Zeitachse (
,
hier) durch die Geschwindigkeit gegeben ist. Unbekannt ist der Kippwinkel
der Raumachse (
,
jetzt). B soll gleichzeitig die Explosion von je einer Nova links und rechts von ihm beobachten. Beide Novae
sollen den gleichen Abstand von B haben. Sie sollen, als B's Weltlinie die von A kreuzte ausgebrochen sein
Dies kann wie folgt eingesehen werden:
Zwischenbeobachtung: Die beiden roten Linien unter stellen die Ausbreitung des Lichtes dar, die
Lichtgeraden: die Lichtgeschwindigkeit bei unserer Wahl der Koordinaten ist 1. Die beiden
roten Linien durch die beiden Ereignisse zeigen, dass B beide Novae gleichzeitig wahrnimmt. A hingegen sieht
zuerst die Nova 1, dann die Nova 2, da der Schnittpunkt der ersten roten Linie mit der
-Achse unter dem der
zweiten Linie liegt.
Der Begriff der Gleichzeitigkeit hängt vom betrachteten Inertialsystem ab. |
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Diagramme wie das us der Abbildung 4.18 heissen Minkowski-Diagramme. |
Je schneller ist, desto mehr werden, von
aus gesehen, seine Achsen gegen die
Linie gekippt.
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Die beiden Novae aus der Sicht von B.
|
Die Beschreibung von B ist ebenso gültig. Aus seiner Sicht ist A's Geschwindigkeit genau das negative von
seiner, von A aus gesehen. Deshalb ist A's 'ct'-Achse um gegen den Uhrzeigersinn geneigt.
Ereignisse, die aus B's Sicht gleichzeitig sind, sind für A nicht gleichzeitig, und umgekehrt.
Relationen zwischen Ereignissen sind nur dann sinnvoll zu beschreiben, wenn gleichzeitig auch das Bezugssystem angegeben wird. |
In jedem Inertialsystem gibt es konsistente Masseinheiten, die aber von Inertialsystem zu Inertialsystem verschieden sind. |
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Der longitudinale relativistische Dopplereffekt. Links
ist mein Standpunkt, rechts der von B.
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Die obige Skizze soll die Frage klären, welche Periode B misst für ein Signal, für das ich die Periode
messe. Die Berechnung läuft wie folgt:
würde anders argumentieren (rechte Seite von Abbildung 4.3.5)
Der Dopplereffekt wird also durch die spezielle Relativitätstheorie für alle Inertialsysteme konsistent beschrieben.
Wenn eine Bewegung im Winkel schräg zur zur Beobachtungsrichtung verläuft, ist der relevante
Längenunterschied nicht
sondern
. Sei
die Periodendauer im bewegten
Bezugssystem und
die Distanz, um die sich das bewegte Bezugssystem in
bewegt. Die
Zeitdilatation ist unabhängig von der Bewegungsrichtung, die Längenkontraktion jedoch nicht!
Wir erhalten die Beziehungen
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Für die Frequenzen () gilt dann
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Für bekommt man den transversalen Dopplereffekt
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Dies ist nichts anderes als ein Ausdruck der Zeitdilatation. Bei Schallwellen gibt es keinen transversalen Dopplereffekt.
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Wir betrachten die die
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Dann ist
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und
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Die Drehungen um die folgt analog. Dann sind die Drehmatrizen gegeben durch
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Drehung um ![]() ![]() |
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Drehung um ![]() ![]() |
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Drehung um ![]() ![]() |
Dann ist
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wobei die Multiplikation von rechts durchzuführen ist. Das Resultat ist
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(H..930) |
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Mit
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Lorentztransformation als Drehung
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Wir erproben, was wäre, wenn wir die Lorentz-Transformation als Drehung auffassen würden. Die -Achse würde
positiv (im Gegenuhrzeigersinn) um
gedreht, die
-Achse würde negativ (im Uhrzeigersinn) um den
gleichen Winkel
gedreht.
Wir verwenden die Definition
sowie
und
.
Dann ist
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Eingesetzt, würde man eine Transformation erhalten, die formal wie die Lorentztransformation aussieht, die aber
unter der Wurzel ein -Zeichen anstelle des geforderten
-Zeichens besitzt. Die Drehgleichungen wären dann
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oder
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Diese Rotation sieht unserer Lorentz-Transformation sehr ähnlich. Die Vorzeichen unter den Wurzeln beim Cosinus
und beim Sinus sowie bei der Gleichung für stimmen nicht.
Wenn man jedoch nicht als Zeitachse verwendet, sondern
, wobei
die imaginäre Einheit ist,
bekommt man mit den obigen Drehgleichungen die Lorentz-Transformation. Dabei müssen alle Vorkommnisse von
durch
ersetzt werden.
Wir erhalten also
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Der Vergleich mit Gleichung (4.98) zeigt, dass dies die Lorentztransformation ist. In einem Raum mit
den Koordinaten
ist die Lorentz-Transformation nichts anderes als eine Rotation des
Koordinatensystems.
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Wir verwenden das Spatprodukt
und setzen
,
und
. Dann ist
und damit
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wobei wir die Definition des Drehimpulses
verwendet haben.
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Durch Umstellen erhalten wir
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wobei wir
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gesetzt haben. ist das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse
.
Wenn die kinetische Energie des Kreisels erhalten ist, ist auch
eine Konstante.
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Wir setzen in die Ellipsengleichung ein und erhalten
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beschreibt also in der Tat die Oberfläche eines Ellipsoids, das wir Trägheitsellipsoid nennen. Aus der
Konstruktion folgen die Eigenschaften des Trägheitsellipsoides:
Aus Gleichung (5.88) folgt, dass die Längen der Halbachsen des Trägheitsellipsoides
,
und
sind.
Für einen allgemeinen Kreisel mit dem Fixpunkt 0 im Schwerpunkt gibt es die folgenden Beziehungen zwischen
den Hauptträgheitsmomenten:
wenn
die Kreisfrequenz im Hauptachsensystem ist. Da
ist, sind alle einzelnen Komponenten kleiner als
. Also kann
man schreiben
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Poinsotsche Konstruktion
|
Die Zeichnung zeigt, dass damit auch
und damit
ist. Weiter ist nach Gleichung (5.83)
Nach Gleichung (5.86) ist
Wir setzen den Punkt im Abstand
(siehe Gleichung (5.86) ) vom Nullpunkt auf die
Drehachse. Mit
wird
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Diese Gleichung beschreibt also nichts anderes als das Trägheitsellipsoid.
Allgemein gilt, dass eine Funktion
eine Oberfläche beschreibt. Dann ist der
Normalenvektor der Funktion
,
,
durch
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Beweis:
Wir betrachten das totale Differential . Dieses muss null sein, da die Funktion
eine Konstante
ist. Wir bekommen also
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Damit ist
senkrecht zu
. Da
in der Fläche
liegt (Die
möglichen Änderungen von
sind durch die durch
beschriebene Fläche begrenzt) ist
senkrecht zur Tangentialebene und damit der Normalenvektor.
Der Normalenvektor zum Trägheitsellipsoid
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Im Hauptachsensystem ist
Von der Konstruktion her sind
und
parallel. Wir können wie folgt umformen
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Deshalb ist
, das heisst, dass
senkrecht zur Tangentialebene
im Durchstosspunkt
von
durch das Trägheitsellipsoid ist.
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Trägheitsellipsoid
|
Rezept zur Konstruktion von :
Voraussichtlich am 01.02.2006 |
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Interpretation der Poinsotschen Konstruktion
|
Wir bezeichnen mit den Abstand von 0 zur Tangentialebene
in
. Der Abstand
hat die
folgende Bedeutung
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Beweis: Die Tangentialebene ist durch den Vektor
,
,
gegeben. Dann gilt
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Ausmultipliziert erhält man
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Wir bezeichnen mit
den Einheitsvektor entlang
. Dann ist
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oder
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Wir vergleichen Gleichung (5.96) und Gleichung (5.98) . Die Vorfaktoren von ,
und
müssen identisch sein, da
bei beliebiger Variation der drei Grössen beide Gleichungen konstant sein müssen. Insbesondere kann man
setzen und bekommt dann
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Da
ein Einheitsvektor ist, gilt
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und
sind parallel, also ist
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und
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Mit der Definition
bekommt man
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Andererseits ist
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Damit folgt die Behauptung
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Poinsot-Ellipsoid
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Wir betrachten nun ein weiteres Ellipsoid, das Poinsot-Ellipsoid . Dieses ist ähnlich zum Trägheitsellipsoid
und liegt zu ihm konzentrisch. Wir wollen das Poinsot-Ellipsoid als Funktion von
darstellen. Die
Nutation im raumfesten Koordinatensystem wird nun beschrieben durch das Abrollen des Poinsot-Ellipsoids auf eine
Ebene
gegeben durch die Gesamtheit der Vektoren
. Diese Ebene
ist durch
Am Berührungspunkt des Poinsotschen Ellipsoides muss die vorherige Gleichung auch stimmen. Deshalb ist die Ellipsengleichung im körperfesten Hauptachsensystem
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Die drei Halbachsen des Poinsotschen Ellipsoides sind
Der Punkt (Berührungspunkt zwischen dem Poinsot-Ellipsoid
und der Ebene
) ist gegeben durch
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Die Bahnkurve von auf
heisst Polhoide
Die Bahnkurve von auf
heisst Herpolhoide
Im körperfesten Hauptachsensystem ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor
die Verbindung zwischen
dem Fixpunkt 0 (beim freien Körper ist das der Schwerpunkt, beim Kreisel der Auflagepunkt) und der
Polhoide.
Die Polhoide ist gegeben als Schnittpunkt des Poinsot-Ellipsoides und des Drallellipsoides
. Das
Drallellipsoid wird als Funktion der Variablen
,
,
geschrieben. Nach Gleichung (5.80) ist der Drehimpuls gegeben durch
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Also können wir schreiben
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Diese Gleichung definiert das Drallellipsoid . Das Drallellipsoid
hat die Halbachsen
Bei einem reibungsfreien Kreisel ist sowohl seine kinetische Energie wie auch der Betrag seines
Drehimpulses erhalten. Die Winkelgeschwindigkeit
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Daraus folgt für die Periodendauer
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Dies ist eine quadratische Gleichung in Die Lösungen sind
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Es gibt drei Lösungen
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Bei
haben wir bis jetzt nur eine Lösung. In den anderen
Fällen haben wir jeweils das
.
Die entsprechenden Lösungsfunktionen sind
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Wir testen noch, dass für
die Lösung stimmt. Für diesen
Spezialfall lautet die Differentialgleichung
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Die Lösung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator im Falle der unterkritischen Dämpfung ist
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Diese Resonanzfrequenz) ist kleiner als die Eigenfrequenz eines ungedämpften Systems (Siehe Gleichung (6.58) ).
Die Bestimmung der Kenndaten eines Oszillators aus der Amplitude ist bei hohen
Güten sehr schwierig und sehr ungenau. Viel einfacher ist es, die Phase bei
und ihre Steigung an der Stelle zu bestimmen.
Berechnung der Steigung
:
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An der Stelle
ist der Funktionswert
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Bei der Resonanzfrequenz
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Die Steigung der Phase ![]() ![]()
Es ist sehr viel einfacher, ![]() ![]() |
Othmar Marti