Korrekturen und Ergänzungen

Seite: , Gleichung (2.75):

$$\displaystyle\int\limits_{\text{Kugeloberfl\uml {a}che}} \vec{E}\cdot \vec{n}da = \displaystyle\int\limits_{\text{Kugeloberfl\uml {a}che}} \left(\f... ...cdot \frac{\vec{r}}{\left\vert\vec{r}\right\vert}r^2\sin\Theta d\Theta d\varphi$$

$$ = \displaystyle\int\limits_{\text{Kugeloberfl\uml {a}che}} \frac{Q\... ... \frac{\vec{r}}{\left\vert\vec{r}\right\vert}\right)\sin\Theta d\Theta d\varphi$$

$$ = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\displaystyle\int\limits_{\text{Kugeloberfl\uml {a}che}}\sin\Theta d\Theta d\varphi$$

$$ = \frac{Q}{\epsilon_0}$$

Seite: , Gleichung (12):

$$\vec{F}\left( \vec{r}\right) = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \left( \frac{q Q}{4\pi \epsilon... ...}\cdot \left( -\frac{1}{r^{2}}\right) {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \vec{r}$$

$$ = \frac{q Q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\vec{r}}{r^{3}}$$

Seite: , Abschnitt :

In Komponenten ist $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ und ${}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} = \vec{\nabla }= \left( \frac{\partial }{\par... ...{,} \frac{\partial }{\partial y}\text{,} \frac{\partial }{\partial z}\right)$

Seite: , Gleichung (2.50):

$$\begin{array}{*{40}c} {\vec{F}\left( {\vec{r}} \right)} & _{}... ...ec{r}} \right)=\varphi\left( {\vec{r}} \right)} \end{array}$$

Seite: , Abschnitt 3.98:

Für den anderen Grenzfall berechnen wir die Taylorreihe um 0 bis zum ersten Glied.

$$U(0) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\sqrt{0^2+R^2}-1\right)$$

$$\left.\frac{d}{dx}U(x)\right\vert _{x=0} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{x^2+R^2}}-1\right) = - \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

$$U(x) \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(U(0)+\left.\frac{d}{dx}U(x)\right\vert _{x=0}x\right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(R-x\right)$$

Die beiden Grenzfälle zeigen, dass sich die geladene Kreisplatte für $x\gg R$ wie eine Punktladung und für $x\ll R$ wie eine unendlich ausgedehnte Platte verhält.

Seite: , Gleichung (2.78):

$$U_{j}-U_{i}=\frac{Q}{C_{ji}}=U_{ji}= \varphi_{ji}$$

Seite: , Abschnitt 3.7.2:

Das Integral über die Oberfläche eines Leiters verknüpft die Ladung $Q=E A \epsilon_{0}$ mit dem elektrischen Feld. Das Volumen ist $V=A\cdot d$. Zusammen ergibt sich

Seite: , Abschnitt 3.102:

Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle.

Auf den positiven Kern wirkt die Kraft

$$\vec{F}_{+} = Z e \vec{E}$$

Auf die negative Elektronenwolke wirkt

$$\vec{F}_{-} = -Z e \vec{E}$$

Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie

$$\vec{F}_{+\text{,} \text{Feder}} = - k\vec{x}$$

Auf die negative Ladung wirkt die Federkraft

$$\vec{F}_{-\text{,} \text{Feder}} = -k\left(-\vec{x}\right)$$

Das Kräftegleichgewicht für die positive Ladung lautet:

$$\vec{F}_{+}+\vec{F}_{+\text{,} \text{Feder}}=0=Ze\vec{E}-k\vec{x}\Rightarrow Ze\vec{E}= k\vec{x}$$

Alternativ kann das Kräftegleichgewicht für die negative Ladung angegeben werden:

$$\vec{F}_{-}+\vec{F}_{-\text{,} \text{Feder}}=0=-Ze\vec{E}-k\left(-\vec{x}\right) \Rightarrow Ze\vec{E}= k\vec{x}$$

Seite: , Abschnitt :

¹⁶

Der elektrische Strom $I$ beschreibt den Fluss von Ladung. Deshalb fliesst der Strom von + nach - . Der elektrische Strom $I$ darf nicht mit dem Massenstrom $\dot{m}$ verwechselt werden. Bei positiver Ladung ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens parallel zur Stromrichtung. Bei negativer Ladung ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens antiparallel zur Stromrichtung.

Seite: , Abschnitt 28:

Wir kennen bis jetzt zwei Typen von Bauelementen, den Widerstand und den Kondensator. Beim Widerstand haben wir die Beziehung

$$I(U) = \frac{1}{R}U$$

Kennlinie eines $1000\Omega$-Widerstands.

Abbildung G.2 zeigt die Kennlinie eines Widerstandes. Neben Widerständen und Kondensatoren gibt es andere passive und aktive Bauelemente. Die Kennlinien sind meistens nicht linear. Abbildung G.3 zeigt verschiedene Bauelemente.

Symbole für einen Widerstand (Zeichen: R), einen Kondensator (Zeichen: C), eine Diode (Zeichen: D), einen NPN-Transistor (Zeichen: T) und eine Lampe (Zeichen: L). Bei der Diode zeigt der Pfeil von der Anode zur Kathode (mit Querstrich). Beim Transistor heisst der Anschluss mit Pfeil Emitter, derjenige links Basis und der Anschluss oben Kollektor. Die Lampe, der Widerstand und der Kondensator sind symmetrische Objekte.

Diese Bauelemente sind sowohl linear wie nichtlinear. Wenn man die genaue physikalische Funktionsweise eines Bauelementes nicht kennt, dann helfen Kennlinien, trotzdem mit dem Bauelement Schaltungen zu berechnen.

Messung der Kennlinie eines Widerstandes.

Abbildung G.4 zeigt wie die Messung geht. Die Spannung $U$ wird über das Potentiometer $R_V$, ein gebräuchlicher Name für einen veränderbaren Widerstand, an den zu testenden Widerstand $R$ angeschlossen. Mit einem (idealen) Voltmeter wird die Spannung $U_R$ am Widerstand $R$ gemessen. Das ideale Ampèremeter misst den Strom durch $I_R$ durch den Widerstand $R$. Diese beiden Grössen werden denn wie in Abbildung G.2 aufgezeichnet.

Messschaltung zur Bestimmung der Kennlinie einer Diode vom Typ 1N4148.

Kennlinie einer Diode vom Typ 1N4148 gemessen mit der Schaltung nach Abbildung G.5.

Als Beispiel eines nichtlinearen Bauelementes zeigt Abbildung G.5 die Messschaltung und Abbildung G.6 die Kennlinie der Diode 1N4148. Für positive Spannungen $U$ ist die Diode in Durchlassrichtung gepolt. Deshalb sind die Ströme bei kleinen Spannungen sehr gross. In der Sperrrichtung Sind die Ströme viel kleiner. Diese können an der rechten Skala abgelesen werden.

Grafische Methode zur Bestimmung von Arbeitspunkten

Spannungsteiler.

Abbildung G.7 zeigt einen Spannungsteiler bestehend aus den Widerständen $R_1$ und $R_2$. Die Spannung an $R_1$ und die Spannung an $R_2$ sind in Serie. Es muss gelten

$$U = U_{R_1}+U_{R_2}$$

Andererseits fliesst der gleiche Strom durch $R_1$ und $R_2$ und durch den Ersatzwiderstand $R=R_1+R_2$. Also hat man

$$I = \frac{U}{R}=\frac{U}{R_1+R_2} = \frac{U_{R_2}}{R_2}= \frac{U_{R_1}}{R_1}$$

und daraus

$$U_{R_2} = \frac{R_2}{R_1+R_2} U$$

$$U_{R_1} = \frac{R_1}{R_1+R_2} U$$

Die Spannung an der Batterie $U$ ist vorgegeben. Wenn die Spannung $U_{R_2}$ an $R_2$ steigt, muss die Spannung $U_{R_1}$ an $R_1$ um den gleichen Betrag sinken. Wenn $U_{R_1}=0$ ist, ist $U_{R_2}=U$, und umgekehrt. Dies bedeutet, dass

$$U_{R_2} = U-U_{R_1}$$

ist. Wir können also beide Kennlinien in einem Diagramm aufzeichnen.

Gemeinsame Auftragung der Kennlinien zweier in Reihe geschalteter Widerstände $R_1=1 k\Omega$ und $R_2=4 k\Omega$ mit einer Batteriespannung $U=10V$.

Die beiden Kennlinien in Abbildung G.8 schneiden sich bei $U_{R_1}=2 V$ und $U_{R_2}=8 V$. Nur an diesem Punkt stimmt an beiden Widerständen die Beziehung zwischen Strom und Spannung (Ohmsches Gesetz) und gleichzeitig ist die Summer der Spannungsabfälle gleich der Batteriespannung. Setzt man in Gleichung (3.76) und Gleichung (3.77) die Werte für $U$, $R_1$ und $R_2$ ein, erhält man das gleiche Ergebnis. Das Verfahren zur Bestimmung des Arbeitspunktes ist unabhängig von der Tatsache, dass Widerstände lineare Bauelemente sind. Es funktioniert auch mit Dioden und jeglichen anderen nichtlinearen Bauelementen.

Um grafisch die Spannungsabfälle an zwei in Serie geschalteten Bauelementen zu bestimmen, trägt man die Kennlinien einmal mit zunehmender und für das andere Bauelement mit abnehmender Spannung übereinander auf. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Arbeitspunkt. Die Spannungen an den zwei Bauelementen können an der entsprechenden Skala direkt abgelesen werden.

Serieschaltung einer Diode $D$ mit einem Widerstand $R$.

Arbeitspunkt einer Diode vom Typ 1N4148 in Serie mit einem Widerstand $R_1=1 k\Omega$ (Schaltung nach Abbildung G.9).

Aus der Abbildung G.10 liest man ab, dass am Arbeitspunkt der Schaltung nach Abbildung G.9 die Spannung $U_D=0.376 V$ und an dem Widerstand die Spannung $U_{R_1}= 9.624 V$ abfällt. Durch beide Bauteile fliesst der Strom $I=9.57 mA$. Das Verfahren nach Abbildung G.10 ist universell anwendbar.

Transistoren

Ein Transistor hat drei Anschlüsse, den Emitter (E), den Kollektor (C) und die Basis (B). Im Schaltschema ist der Anschluss mit dem Pfeil der Emitter, derjenige auf der gleichen Seite ohne Pfeile der Kollektor und derjenige auf der anderen Seite die Basis.

Links: Basis-Emitter-Kennlinie des Transistors BC107, rechts: Kollektor-Kennlinie des Transistors BC107 mit dem Basisstrom $I_g$.

Die Basis-Emitter-Kennlinie in Abbildung G.11 ist die gewöhnliche Diodenkennlinie. Die rechte Seite von Abbildung G.11 zeigt das Kollektor-Kennlinienfeld des Transistors. Dieses Kennlinienfeld wird manchmal auch das Ausgangskennlinienfeld genannt. Beim Ausgangaskennlinienfeld wird der Basisstrom $I_B$ als Parameter verwendet. Die Abbildung G.11 zeigt die Kennlinien bei festgehaltenem Basuisstrom, wobei die Basisströme von $I_B=0.5\mu A$ bis $I_B = 4 \mu A$ in Schritten von $0.5 \mu A$ variieren.

Bei vorgegebener Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE}$ kann man so den Ausgangsstrom am Kollektor bestimmen. Analog kann bei vorgegebenem Kollektorstrom die Spannung zwischen Emitter und Kollektor als Funktion des Basisstroms abgelesen werden. Dies ist wichtig, wenn der Transistor als Schalter verwendet werden soll.

Schaltung zur Messung des Ausgangskennlinie des Transistors BC107 mit einem Kollektorwiderstand von $5 k\Omega$.

Arbeitskennlinie des Transistors BC107 mit einem Kollektorwiderstand von $5 k\Omega$ gemessen mit der Schaltung nach Abbildung G.12.

Die Abbildung G.12 zeigt die Schaltung eines Transistorverstärkers. Der Strom in die Basis $I_B$ steuert den Strom im Kollektor $I_C$.Der Kollektorstrom fliesst durch den Widerstand $R$. Die Summe der Spannungsabfälle an beiden Bauelementen muss der Batteriespannung $U$ entsprechen. Wir können also analog wie bei der Diode vorgehen (siehe Abbildung G.10): Wir zeichnen die Kennlinie des Widerstandes wie bei der Diode rückläufig ein. Die Schnittpunkte der Kennlinie des Widerstandes mit den verschiedenen, basisstromabhängigen Ausgangskennlinien des Transistors sind die Kurve, die die Storm- oder Spannungsverstärkung angibt.

Verstärkung eines Transistors in der Emitterschaltung (Der Emitter wird sowohl vom Eingang wie vom Ausgang verwendet.)

Abbildung G.14 zeigt sowohl die Kolektor-Emitterspannung $U_{CE}(I_B)$ wie auch den Kollektorstrom $I_C(I_B)$. Die Verstärkung ist für den Basisstrombereich $0.5 \mu A < I_B <3 \mu A$ linear. Die Verstärkungswerte sind in Tabelle G.1 angegeben.

Stromverstärkung	$\frac{I_C}{I_B} = 0.252 \frac{mA}{\mu A}= 252 \frac{\mu A}{\mu A}= 252 \frac{A}{A}$
Spannungsverstärkung	$\frac{U_{CE}}{I_B} = 1.28 \frac{V}{\mu A}$

Verstärkungen der Schaltung G.12.

Wenn das Eingangssignal nicht ein Strom, sondern eine Spannung sein soll, muss die Spannung mit einem Widerstand in einen Strom umgewandelt werden.

Verstärkerschaltung mit BC107.

Zum Schluss dieses Abschnittes wollen wir die Schaltung nach Abbildung G.15 besprechen. Wir verwenden die Daten aus Abbildungen G.13 und G.14. Der Widerstand $R_2$ ist der Arbeitswiderstand $R$ aus Abbildung G.12. Wir hatten immer eine Spannung von $5 V$ über dem Arbeitswiderstand $R$ (oder $R_2$ hier) und dem Transistor. Wir wollen dies beibehalten und gleichzeitig einen Spannungsabfall von $0.2 V$ über $R_3$ haben. Bei unseren vorherigen Berechnungen war $R_2 = 5 k\Omega$. Den Arbeitspunkt setzen wir in etwa in die Mitte des linearen Bereiches, bei $I_B = 2 \mu A$ und bei $I_C=500 \mu A$. Damit ist

$$R_3 = \frac{U_{R_3}}{I_B+I_C} = \frac{0.2 V}{500 \mu A + 2 \mu A} = 398 \Omega \approx 400 \Omega$$

Die Grösse des Widerstandes $R_1$ finden wir, wenn wir aus Abbildung G.11 ablesen $U_{BE}(2 \mu A) \approx 0.5 V$. Die Spannung über $R_1$ ist dann $4.5V$ und wir haben

$$R_1 = \frac{4.5 V}{2 \mu A} =2.25 M\Omega$$

Was ist die Funktion von $R_3$? $R_3$ stabilisiert die Schaltung gegen Temperaturänderungen und setzt gleichzeitig die Verstärkung fest. Wenn nämlich die Eingangsspannung $U_e$ und damit die Basis-Spannung $U_{B}$ steigt, steigt der Basisstrom $I_B$ und der Kollektorstrom $I_C$ und damit die Spannung über $R_3$. Dieser Spannungsanstieg verringert aber den Anstieg der Basis-Emitter-Spannung, da $U_{BE} = U_{e}-U_{R_3}$ ist. Die Spannungsverstärkung der Schaltung ist

$$A = \frac{R_2}{R_3} = 12$$

Die Kondensatoren werden so gewählt, dass die tiefsten Frequenzen der zu verstärkenden Signale noch kaum geschwächt werden. Für Signale zwischen $100 Hz$ und $4 kHz$ (Telefonbandbreite klassischer Telefone) würde man erhalten $C_1 > 0.7 pF$ und $C_2 >320 nF$. Der so berechnete Wert für $C_1$ ist falsch: wir habe vergessen, dass auch der Widerstand Basis-Emitter-Diode (grob abgeschätzt aus der Steigung $r_{BE} = 1mV/2\mu A \approx 500\Omega$ wechselspannungsmässig parallel zu $R_1$ ist. Zu $r_{BE}$ ist noch $R_3$ in Serie geschaltet. Die modifizierte Berechnung für $C_1$ ergibt dann $C_1>2 nF$. $C_1$ kann ohne Probleme 10 bis 100 mal grösser gewählt werden.

$U$	$R_1$	$R_2$	$R_3$	$C_1$	$C_2$	$A$
$5.2 V$	$2.25 M\Omega$	$5 k\Omega$	$400\Omega$	$1 \mu F$	$330 nF$	$12$

Dimensionierung der Schaltung nach Abbildung 3.24

Weiterführende Informationen finden Sie im Skript Physikalische Elektronik und Messtechnik [Mar08]. [Seite: , Gleichung (30):]

$$M\left\langle \vec{v}\right\rangle =\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{N}\left[ M\vec{v}_{j}^{\left( k\right) }+q\vec{E}\Delta t_{j}\right]$$

[Seite: , Abschnitt :]Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung auf seinen Platten, $Q$, konstant. Die dielektrische Verschiebung $\vec{D}$ und nicht das elektrische Feld $\vec{E}$ bleiben konstant.

[Seite: , Gleichung (30):]

$$M\cdot \left\langle \vec{v}\right\rangle =q\vec{E}\left(\frac{1}{N}\sum \Delta t_{j}\right) =qE\cdot\left\langle t\right\rangle$$

[Seite: , Abbildung 4.19:]

Ladungstransport in einem mit einem Widerstand $R$ kurzgeschlossenen van de Graaff-Generator.

[Seite: , Abschnitt 4.1.5:] Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse $p_i$ und der Energie $\mathfrak{E}$

$$p_x' = p_x$$

$$p_y' = \gamma(v)\left(p_y-v\frac{\mathfrak{E}}{c^2}\right)$$

$$p_z' = p_z$$

$$\mathfrak{E}' = \gamma(v)\left(E-v\cdot p_y\right)$$

Der Vierervektor $\left(p_x\text{,} p_y\text{,} p_z\text{,} \frac{\mathfrak{E}}{c^2}\right)$ transformiert sich wie der Vierervektor $\left(x\text{,} y\text{,} z\text{,} t\right)$. [Seite: , Abschnitt :]wobei $n$ die Dichte der Ladungsträger und $\phi$ der Winkel zwischen $\vec{B}$ und $d\vec{\ell}$ ist. Mit der Stromdichte $\vec{i}= n \cdot \left< \vec{v}\right> \cdot q$ erhalten wir [Seite: , Abschnitt :] Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen Segmente ergeben das Drehmoment

$$d\vec{T} = \left(\vec{r}_1 +\vec{r}_3\right)\times d\vec{F}_1+ \left(\vec{r}_1 +\vec{r}_4\right)\times d\vec{F}_1$$

$$ + \left(\vec{r}_2 +\vec{r}_3\right)\times d\vec{F}_2+ \left(\vec{r}_2 +\vec{r}_4\right)\times d\vec{F}_2$$

$$ = 2\cdot \vec{r}_1 \times d\vec{F}_1 + 2 \cdot \vec{r}_2 \times d\vec{F}_2$$

Das gesamte Drehmoment ist

$$\vec{T}= \vec{r}_1 \times \vec{F}_1 + \vec{r}_2 \times \vec{F}_2 = 2 \cdot \vec{r}_1 \times \vec{F}_1$$

Das Drehmoment $\vec{T}$ liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn $\phi$ der Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und $\vec{B}$ ist, gilt mit $F_1 = a\cdot I \cdot B$:

$$T = 2 \frac{b}{2} \sin\phi \cdot F_1 = a\cdot b\cdot I \cdot \sin\phi \cdot B$$

Wir definieren das magnetische Moment $\vec{m}$ so, dass es senkrecht auf die Ebene der Leiterschlaufe steht und dass $\left\vert\vec{m}\right\vert = \textrm{Fl\uml {a}che} \cdot \textrm{Strom} = a\cdot b\cdot I$ ist. Damit ist

$$\vec{T}= \vec{m}\times \vec{B}$$

Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet. [Seite: , Gleichung (6.79):]

$$\oint\limits_S \vec{B}\cdot d \vec{s}= \frac{\mu_0 I}{2\pi}\oint\limits_S \frac{r}{r} d\phi = \mu_0 I$$

[Seite: , Abschnitt 6.7.2:]Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius $R$ soll homogen vom Strom $I$ durchflossen werden. Die Stromdichte $\vec{i}$ und der Strom $I$ stehen dann betragsmässig wie

$$I = i\left(\pi R^2\right)$$

in Beziehung. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Wir betrachten einen zum Strom konzentrischen Integrationsweg $s$. Ausserhalb des Leiters ($r>R$) haben wir

$$\oint_{s}\vec{B}(r) \cdot d\vec{s}= 2\pi r\cdot B(r) = \mu_0 \iin... ...\iint\limits_{\pi R^2 \text{(Querschnitt)}}\vec{i}\cdot d\vec{s}= \mu_0 \cdot I$$

Innerhalb des Leiters ($r\leq R$) gilt

$$\oint\limits_{s}\vec{B}(r) \cdot d\vec{s}= 2\pi r \cdot B(r) = \m... ... \pi r^2 = \mu_0 \cdot \frac{I}{\pi R^2}\cdot \pi r^2 = \mu_0 I \frac{r^2}{R^2}$$

und damit

$$B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \frac{r}{R^2}$$

[Seite: , Abschnitt 13:]Wir definieren eine lineare Stromdichte $j = \lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{I(\Delta y)}{\Delta y}$. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in der $z$-Richtung

$${B}_z \equiv 0$$

Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der $xy$-Ebene liegen. Auf den beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die $x$-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von $\vec{B}$ parallel zur Seite: dieser Teil des Linienintegrals ist null.

Wir betrachten weiter die Komponenten ${B}_x(x)$ und ${B}_y(x)$ des Feldes $\vec{B}$ im Abstand $x$ von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:

• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $z$-Achse. Die neue Situation (Ströme) ist identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss
  $${B}(x) = -{B}(-x)$$
  sein.
• Wir drehen die Platte um $\pi$ um die $y$-Achse und drehen gleichzeitig die Flussrichtung des Stromes um $j \rightarrow -j$. Die Endsituation ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch
  $${B}_x(-x) = {B}_x(x)$$
  und
  $$B_y(-x)= -B_y(x)$$
  .

Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:

$${B}_x(x) \equiv 0$$

Um $\vec{B}_y$ zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad $S$ symmetrisch bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt

$$\oint\limits_s \vec{B}\cdot d\vec{s}= 2 B_y(x)\cdot b + 2\cdot 0 = \mu_0 \iint\limits_{A(s)} \vec{i}d\vec{a}= \mu_0 \cdot j \cdot b$$

Das Resultat ist unabhängig von $x$ und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung 3.32, Mitte). [Seite: , Abschnitt :]Die potentielle Energie $E_{pot}$ einer um den Winkel $\phi$ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem man von $\phi=0$ ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel $\phi$ dreht. Die Arbeit, um von $\phi'$ nach $\phi'+d\phi'$ zu drehen ist

$$dE_{pot} = 2 \cdot F_1 \sin\phi' \cdot\frac{b}{2}\cdot d\phi' = a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \sin\phi' \cdot d\phi'$$

Damit erhalten wir

$$E_{pot}(\phi) =a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \int\limits_0^\phi \sin\phi' \cdot d\phi' = - a\cdot b\cdot I \cdot B \cdot \left(\cos\phi -1\right)$$

Wenn wir $E_{pot}(\phi=\pi/2) = 0$ wählen haben wir

$$E_{pot} = - \vec{m}\cdot \vec{B}$$

[Seite: , Abschnitt :]In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion $\vec{B}$ möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre (Siehe Abschnitt 2.5). Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential $U(\vec{r})$ durch

$$\vec{E}(\vec{r}) = - {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} U(\vec{r})$$

eindeutig ein elektrisches Feld $\vec{E}(\vec{r})$ konstruiert werden kann, das dem Gesetz der Elektrostatik

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{E}(\vec{r}) = 0$$

genügt. Grundlage war die Vektoridentität

$${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{grad}}{} \mathfrak{F}(\vec{r})\right) \equiv 0$$

die für beliebige Funktionen $\mathfrak{F}(\vec{r})$ gilt (siehe Gleichung (C.33) ). Es gibt unter den Rechneregeln für Vektorableitungen (siehe Abschnitt C.1.4) eine weiter Identität mit dem Nullvektor, nämlich Gleichung (C.34) .

$${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \left( {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{\mathfrak{F}}\right)=0 \qquad\forall \vec{\mathfrak{F}}$$

Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz ${}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{B}= \mu_0 \vec{i}$ und die Quellenfreiheit ${}\boldsymbol{\mathrm{div}}{} \vec{B}= 0$ erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.68) soll auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also nach Gleichung (C.34) ein beliebiges Vektorfeld $\vec{A}$ wählen und die magnetische Induktion $\vec{B}$ gleich der Rotation von $\vec{A}$ setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von $\vec{B}$ gewährleistet. Mit dem Vektorpotential $\vec{A}$

[Seite: , Abschnitt :]Wir hatten in Abbildung 3.32 gesehen, dass ein homogener Strom in die $+z$-Richtung homogene magnetische Induktionen links und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form

$$<tex2html_comment_mark>515 B_y\left(x\text{,}\,y\text{,}\,z\right... ... B_0, & \hbox{wenn $x > 0$.} \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>517 \right.$$

Für $x=0$ ist $B_y$ nicht definiert.

Darstellung von $\vec{B}$ in einer $(z=const)$-Ebene. Die Strom-Ebene liegt bei $x=0$.

Das zu Gleichung (3.151) gehörige Vektorpotential ist

$$<tex2html_comment_mark>518 A_x\left(x\text{,}\,y\text{,}\,z\right) = 0\nonumber$$

$$A_y\left(x\text{,} y\text{,} z\right) = 0\nonumber$$

$$A_z\left(x\text{,} y\text{,} z\right) = \left\{<tex2html_comment_mark>519 \begin{array}{ll} B_0\, x, & ... ... x, & \hbox{f\uml {u}r $x>0$.} \\ \end{array}<tex2html_comment_mark>520 \right.$$

Wieder ist $\vec{A}$ für $x=0$ nicht definiert. Aus $\vec{B}= {}\boldsymbol{\mathrm{rot}}{} \vec{A}$ bekommt man

$$<tex2html_comment_mark>521 B_x = \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z} = 0\nonumber$$

$$B_y = \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x} =$$

$$B_z = \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} =$$ 0

$z$-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in $z$-Richtung in der $(x=0)$-Ebene.

[Seite: , Abschnitt :]Die Hallspannung für ein einzelnes Teilchen ist unabhängig vom Material. Bei vielen Ladungsträgern muss die Geschwindigkeit $v$ durch die Driftgeschwindigkeit $\left<v\right>$ der Ladungsträger ersetzt werden. $\left<v\right>$ ist materialabhängig. Strom $I$ und Driftgeschwindigkeit $\left<v\right>$ hängen über [Seite: , Gleichung ():]

$$\sigma' = \sigma\sqrt{\frac{1-v_0^2/c^2}{1-\left(\frac{v_0-v}{1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}}\right)^2/c^2}}$$

$$ = \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)} {\sqrt{\left(1-\frac{v\cdot v_0}{c^2}\right)^2-(v_0-v)^2/c^2}}$$

$$ = \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\rig... ...\frac{v\cdot v_0}{c^2}+\frac{v^2\cdot v_0^2}{c^4}-v_0^2/c^2-v^2/c^2+2vv_0/c^2}}$$

$$ = \sigma\frac{\sqrt{1-v_0^2/c^2}\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)}{\sqrt{1-v_0^2/v^2}\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

$$ = \sigma\cdot\gamma\cdot\left(1-\frac {v\cdot v_0}{c^2}\right)$$

[Seite: , Gleichung ():]

$$U_{EMK} = v\cdot B\cdot b = \frac{d\ell}{dt} b \cdot B = - \frac{dA}{dt}B = -\frac{B\cdot dA}{dt}$$

[Seite: , Abschnitt :]Im Vakuum gilt $\vec{B}= \mu_0 \vec{H}= \frac{\vec{H}}{\varepsilon_0 c^2}$. Die Lorentztransformation für elektrische und magnetische Felder ist dann

Bei einer Bewegung in die $y$-Richtung mit $\vec{v}=\left(0\text{,} v_y\text{,} 0\right)$ ( $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$) werden die elektrischen und magnetischen Felder wie

$$E_x' = \gamma \left(E_x+\frac{v}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot H_z\right)$$

$$E_y' = E_y \nonumber$$

$$E_z' = \gamma \left(E_z-\frac{v}{c^2}\frac{1}{\varepsilon_0} H_x\right)\nonumber$$

$$H_x' = \gamma \left(H_x-\varepsilon_0 E_z\right) \nonumber$$

$$H_y' = B_y \nonumber$$

$$H_z' = \gamma\left(H_z+ v \varepsilon_0 E_x\right)\nonumber$$

transformiert.

[Seite: , Abschnitt :]

Die magnetische Induktion am Punkt 0 auf der $z$-Achse kann berechnet werden, indem mit Gleichung (3.150) die magnetische Induktion eines Rings mit der Stromdichte $I n dz$ berechnet wird und dann über alle Ringströme addiert wird.

Ausgehend von Gleichung (3.150) schreiben wir für einen Kreisring auf der Position $z$ mit dem Radius $R$ für $\vec{\rho}$.

$$\vec{\rho}= \left(x\text{,} y\text{,} z\right)$$

Da $r$ konstant ist, schreiben wir $x$ und $y$ als Funktion des Winkels $\phi$

$$\vec{\rho}= \left(r\cos(\phi)\text{,} r\sin(\phi)\text{,} z\right)$$

Ein Längenelement entlang des Kreisringes ist

$$d\vec{\ell}= \left(y\text{,} -x\text{,} 0\right)\frac{d\ell}{r} = \left(\sin(\phi)\text{,} -\cos(\phi)\text{,} 0\right)d\phi$$

Das Vektorprodukt $d\vec{\ell}\times\vec{\rho}$ ergibt

$$d\vec{\ell}\times\vec{\rho}= \left(r\cos(\phi)\text{,} r\sin(\phi)\text{,} r^2\right)d\phi$$

Mit dem Strom pro Windung $I$ wird die magnetische Induktion am Punkte $\left(0\text{,} 0\text{,} 0\right)$

$$\vec{B}= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint\limits_{0}^{2\pi}\frac{d\vec{\ell}\times\vec{\rho}}{\rho^3}$$

Die $x$- und die $y$-Komponenten von $d\vec{\ell}\times\vec{\rho}$ enthalten eine Winkelfunktion zur ersten Potenz und ergeben bei einer Integration von 0 nach $2\pi$ null. Die $z$-Komponente der magnetischen Induktion ist

$$B_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{r^2 d\phi}{\left(r^2+z^2\right)^{3/2}}= \frac{\mu_0 I r^2}{2 \left(r^2+z^2\right)^{3/2}}$$

Die magnetische Induktion einer unendlich langen Spule bekommt man, indem wir den Strom $I$ durch das Produkt aus Strom $I$, der Windungszahl pro Länge (Windungsdichte) $n$ und dem Längenelement $dz$ ersetzen und integrieren.

$$B_z(0) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\mu_0 I n r^2 dz}{2 \left(r^2+z^2\right)^{3/2}} = \mu_0 I n$$

Wird die unendlich lange Spule bei $z=0$ geteilt, tragen beide Spulenhälften gleichviel zur magnetischen Induktion bei $z=0$ bei. Wird nun eine Hälfte entfernt, so ist die magnetische Induktion auf der Spulenachse

$$B_z( ) = \frac{ B_z(0)}{2} = \frac{\mu_0 I n}{2}$$

Endlich lange Spulen der Länge $\ell \gg r$ verhalten sich wie unendlich lange Spulen. Wenn sich auf der Länge $\ell$ $N$ Windungen befinden, haben wir

$$B_z( ) = \frac{\mu_0 N}{\ell} I$$

[Seite: , Abschnitt :]Um die Grössenordnung des Wirbelstromes abzuschätzen betrachten wir lokal ein Stück Metall das mit der Geschwindigkeit $v_y$ durch eine magnetische Induktion in die $x$- Richtung, $B_x$, gezogen wird. Wir betrachten die Felder im Ruhesystem der Platte. Aus den Lorentz-Transformationen erhalten wir

$$E_z' = \frac{- v B_x}{\sqrt{1-v_y^2/c^2}} \approx - v_y B_x \nonumber$$

$$B_x' = \frac{B_x}{\sqrt{1-v_y^2/c^2}} \approx B_x$$

da $v^2/c^2 \ll 1$ ist. Lokal gilt der Zusammenhang

$$\vec{i}= \sigma \vec{E}$$

Weiter können wir aus $P = I U$ mit $i = I/A$ und $E_z' = U/d$ und der Bezeichnung für das Volumen $V=A d$ schreiben

$$\lim\limits_{V \rightarrow 0} \frac{P}{V} = P_V = \lim\limits_{V \rightarrow 0} \frac{i A\cdot E_z' d}{V} = i E_z' = \sigma E_z'^2$$

Andererseits hängt die dissipierte Leistung pro Volumen von der Volumenkraft $F_V$ und der Geschwindigkeit $v_y$ ab.

$$P_V = F_V\cdot v_y = \sigma E_z'^2 = \sigma \left(v_y B_x'\right)^2 = \sigma \left(v_y B_x\right)^2$$

Die Volumenkraft ist also

$$F_V = \sigma v_y B_x^2$$

Die Berechnung wurde anhand eines unendlich ausgedehnten Leiters in einem Magnetfeld gemacht. Endliche Leiter und endliche Magnetfelder bewirken, dass der Effekt nur an den Grenzen vorhanden ist.

Bewegung eines Leiters aus einem Magnetfeld.

Im Ruhesystem des Leiters bewirkt das elektrische Feld eine Bewegung der Ladungsträger an die Seiten des Leiters (analog wie beim Halleffekt). Dadurch wird ein Gegenfeld aufgebaut, bis die Bewegung der Ladungsträger zum Erliegen kommt (Siehe Abbildung 4.7, linke Seite). Wenn der Leiter den Bereich des Magnetfeldes verlässt (wir nehmen eine scharfe Grenze an, dann gleichen sich die Ladungen aus. Die Ströme erzeugen wegen der endlichen Leitfähigkeit $\sigma$ eine Wärmeleistung, das heisst es gibt eine Gegenkraft. Kondensatoren werden exponentiell entladen, so dass die Wirkung des ändernden Feldes lokal begrenzt ist. Auf der anderen Seite des Magnetfeldes tauchen die gleichen Effekte auf, aber beim Laden des Kondensators. Auch dort nimmt der Strom exponentiell ab beim Entfernen von der Grenze. Warum heisst es dann doch Wirbelströme? Wir haben einen Stromkreis, bei dem die magnetische Induktion die elektromotorische Kraft bewirkt (wie beim van de Graaff-Generator). Während im Ruhesystem des Leiters die Effekte durch das elektrische Feld erklärt werden, müssen sie im Laborsystem mit Flussänderung und magnetischer Induktion beschrieben werden.

In Transformatoren ist die magnetische Induktion parallel zum Eisen, die Wirbelströme transversal dazu. Die Wirbelströme können vermindert werden, indem das Metall geschlitzt wird oder in Lagen mit Isolatoren dazwischen gebündelt wird.

[Seite: , Gleichung ():]

$$\vec{L}= m \cdot \left(\vec{r}\times \vec{v}\right)$$

[Seite: , Gleichung ():]

$$\vec{m}= -\frac{e}{2m}\vec{L}$$

[Seite: , Gleichung ():]

$$\vec{T}= \vec{m}\times \vec{B}$$

[Seite: , Gleichung ():]

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{T}=-\frac{e}{2m}\vec{L}\times \vec{B}= \frac{e}{2m}\vec{B}\times \vec{L}$$

[Seite: , Gleichung ():]

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\Omega}\times \vec{L}$$

[Seite: , Abschnitt :]Das magnetische Moment des Elektrons ist dann

$$\vec{m}_{s} = - g \mu_B \vec{s}$$

Hier ist $g$ der Landé-Faktor, der für die klassische Quantenmechanik $g=2$ ist und für die Quanten-Elektrodynamik (QED) abhängig von der Atomsorte. Für Wasserstoff ($H$) ist $g_{\text{Wasserstoff}} = 2.002284$, für $^{133}Cs$ ist $g_{^{133}Cs}=2.002540$. [Seite: , Abschnitt :]Sei $\vec{e}_n$ der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor des Kreuzproduktes mit $\vec{e}_n$ liegt senkrecht zu $\vec{e}_n$ und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Unabhängig von der Richtung von $\vec{E}_e$ bekommt man mit dieser Operation immer die Tangentialkomponente von $\vec{E}_e$ zur Grenzfläche

$$\vec{e}_n \times \vec{E}_e$$

Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren $\vec{E}_r$ und $\vec{E}_t$ in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben werden [Seite: , Gleichung (6.66):]

$$\left.\cos\left(\vec{k}_e\cdot\vec{r}-\omega_e t\right)\right\vert _ =\left.\cos\left(\vec{k}_r\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_r\right)\right\vert _ \nonumber$$

$$= \left.\cos\left(\vec{k}_t\cdot\vec{r}-\omega_r t+\varphi_t\right)\right\vert _$$

[Seite: , Gleichung (6.68):]

$$\left.\vec{k}_e\cdot\vec{r}\right\vert _ =\left.\vec{k}_r\cdot\vec{r}+\varphi_r\right\vert _ = \left.\vec{k}_t\cdot\vec{r}+\varphi_t\right\vert _$$

[Seite: , Gleichung (6.55):]

$$\vec{E}(\vec{r}) = \vec{E}(r \phi \theta) = \frac{\vec{\hat{E}_0}(\phi\text{,} \theta)}{r}\cos(k r - \omega t)\qquad\text{mit}\qquad \vec{r}\cdot \vec{E}_0(\phi\text{,} \theta)$$