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3.2  Das Ohmsche Gesetz

(Siehe Leisi, Klassische Physik II [?, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [?, pp. 751])



Versuch zur Vorlesung:
Strom-Spannungs-Kennlinie (Versuchskarte EM-83)


Allgemein gilt für einen Leiter, dass

i (E ) = f (E )
(3.1)

eine beliebige Funktion des angelegten Feldes E ist. Im linearen Fall

i (E ) = σE
(3.2)

spricht man von einem Ohmschen Leiter.



Versuch zur Vorlesung:
Ohmscher Leiter (Versuchskarte EM-117)


σ ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist

[σ ] = A--· m--=  -A---= --1-
      m2   V     Vm     Ωm

Das Gesetz nach Gleichung (3.2) heisst das lokale Ohmsche Gesetz. Für homogene Medien ist σ eine Zahl. Für inhomogene Medien wie Graphit ist σ ein Tensor. Indem wir die differentielle Form des Ohmschen Gesetzes integrieren, erhalten wir

∫            ∫          ∫
  ida = I =    σEda  =    σ U-da = σ A-U
A            A          A   d        d
(3.3)

Dabei haben wir angenommen, dass i und σ konstant über A sind. Das integrale Ohmsche Gesetz kann auch als

I = G ·U
(3.4)

geschrieben werden. G ist der Leitwert. Die Einheit ist

                             2
[G ] = Siemens  = S =  --A-· m-- =  A--
                      Vm    m     V

Bekannter ist die Form

U  = 1-·I  = R ·I
     G
(3.5)

R = 1
G- ist der Widerstand. Seine Einheit ist das Ohm

           1    V    W
[R ] = Ω = --=  --=  --2
           S    A    A

Die zu R gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand

    1-
ρ = σ
(3.6)

Die Einheiten sind

[ρ] = -Vm--=  Ωm  =  -m-
       A              S

sowie

       A     S     1
[σ] = ----=  -- = ----
      Vm     m    Ωm

Wir betrachten die Bewegung von Ionen (⟨v⟩  100 m/s) in einer Umgebung von nicht ionisierten Molekülen

__________________________________________________________________________

pict

Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.

_____________________________________________________________________

Die Masse eines Ions sei M, ihre Ladung q und die Gesamtzahl im betrachteten Volumenelement N

Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet

F  = qE  = dp-
           dt
(3.7)

oder

Δp  = qE Δt
(3.8)

wobei Δt die freie Flugzeit ist.

Der mittlere Impuls eines Ions ist

          1 N∑  [    (k)         ]
M  ⟨v⟩ = ---    M v j +  qE Δtj
         N  j=1
(3.9)

⟨v⟩ ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, vj(k) die Geschwindigkeit nach dem letzten Stoss.

Sind die Geschwindigkeiten vj(k) isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand zu null. Unter dieser Annahme ist

               ( 1 ∑      )
M · ⟨v ⟩t = qE  ---   Δtj   = qE · ⟨Δt ⟩t
                N
(3.10)

wobei ⟨Δt⟩t = τ die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Mit i = nq⟨v⟩t bekommen wir

       q· ⟨t⟩     qτ
⟨v⟩t = ------E  = ---E  = μE.
         M        M
(3.11)

Hier ist μ = q·-⟨t⟩
 M = qτ
M die Beweglichkeit der Ladungsträger mit der Ladung q und der Masse M. Die Einheit der Beweglichkeit ist

       2
[μ ] = m- =  Cs-
     Vs     kg

Weiter ist

       2            2
i = n q-·-⟨t⟩E =  nq-τ-E =  nqμE
        M           M
(3.12)

Dabei ist n die Dichte der Ladungsträger.

Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger

     ∑     q2τ     ∑
σ =     nk -kk-=     nkqkμk
      k    Mk      k
(3.13)

Von Gleichung (3.11) an wurde τ = ⟨t⟩ gesetzt.

Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn τk, nk und μk unabhängig vom elektrischen Feld E sind.

Beispiel: Metall

Wir nehmen an, dass me « mKern ist. Dann sind die Geschwindigkeiten nach dem Stossen isotrop verteilt. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist ⟨ve⟩ = 105m∕s (kinetische Gastheorie). Mit

--1-          e2τ-
ρexp = σ =  neme
(3.14)

bekommen wir

     --me----          −14
τ =  ρexpnee2 = 3.3·10     s
(3.15)

(mit ρexp = 4.3 × 108 Ωm und n e = 2.5·1028/m3 für Na-Metall)

Die mittlere freie Weglänge ist dann

λ =  ⟨ve⟩ τ = 3.3 nm
(3.16)

im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1 nm =⇒ Lösung: Quantenmechanik



Folien zur Vorlesung vom 14. 05. 2009: PDF
Aufgabenblatt 05 für das Seminar vom 20. 05. 2009 (Ausgabedatum 14. 05. 2009): (HTML oder PDF)




Versuch zur Vorlesung:
Leitfähigkeit (Versuchskarte EM-172)




Versuch zur Vorlesung:
Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit (Versuchskarte TH-122)


Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist ρel = 0 im Inneren. Dies folgt aus

  1. Ohmsches Gesetz i(x, y,z) = σE(x, y,z)
  2. Kontinuitätsgleichung div i = 0, also div (σE  ) = 0
    und damit div E = 0
  3. das Gausssche Gesetz sagt div E = ρel-
𝜖0
  4. damit folgt die Behauptung, dass ρel = 0.

Aus der Eigenschaft

E =  − grad φ =  − grad U
(3.17)

erhalten wir im Inneren eines Leiters

div E =  − div grad  φ =  − Δ φ = 0
(3.18)

Dies bedeutet, dass φ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters das Potential eines Potentialfeldes ist. Die Lösung von

Δ φ =  0
(3.19)

ist durch die Randbedingungen

  1. U = φ = const an den Elektrodenflächen (bei den Anschlüssen nach aussen)
  2. i = 0 sonst (entlang des Leiters, Drahtoberfläche!)

gegeben2 .

Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen Leiters berechnen. Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre Stromverteilungen Gleichung (3.17) und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (3.2) bekommen wir

div i(x,y,z) = div  [σ (x,y,z) E (x,y,z)] = 0
(3.20)

Wir ersetzen nun E und erhalten

div [σ(x, y,z)grad  U (x,y,z)] = 0
(3.21)

Bei einem homogenen Leiter könnte σ(x,y, z) vor die Divergenz gezogen werden.

__________________________________________________________________________

pict

Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter

_____________________________________________________________________

Wir verwenden die Definition des Stromes in Gleichung (3.8) und wenden Sie auf die Fläche A, beziehungsweise auf den Teil, der den Leiter durchschneidet a, an.

∬              ∬

     σE ·da  =      σE ·da  = I
 A              a
(3.22)

wobei a die durch A aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist

           ∫
U2 −  U1 =   E ·ds
            s
(3.23)

Wenn nun φ1(x,y,z) eine Lösung von Gleichung (3.21) ist, dann ist aufgrund der Linearität dieser Gleichung auch

U2(x, y,z) = kU1 (x,y,z)
(3.24)

eine Lösung. Dabei kann k eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. Da E = grad U auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch

E2  = − grad  U2 = − kgrad  U1 = kE1
(3.25)

eine Lösung sein. Nach Gleichung (3.22) ist dann auch

     ∬               ∬                 ∬

I2 =     σE2 ·da  =      σkE1 ·da  =  k     σE ·da  = kI1
      a               a                 a
(3.26)

Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter

U2-   U1-
 I  =  I  = const = R
  2     1
(3.27)

ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand R. Um den Widerstand eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man E(x, y,z) im Inneren kennen. Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst.

Im statischen Falle ist E(x,y,z) = 0 im Inneren eines Leiters. Bei einem stromdurchflossenen Leiter liefert die Batterie die notwendige Energie, um das elektrische Feld im Inneren des Leiters aufrecht zu erhalten.



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