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3.11  Fraunhofersche und Fresnelsche Beugung



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 650, 710]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1131]) (Siehe Sommerfeld, Theoretische Physik Band IV, Optik [Som78, pp. 206])

 

Hier wird die Diskussion des Fresnel-Huygensschen Prinzips (siehe Abschnitt 3.4) wieder aufgenommen. Bei der damaligen Betrachtung wurde angenommen, dass sich der Abstand zwischen einem Punkt in der Quellebene und einem Punkt in der Beobachtungsebene kaum ändert (siehe Gleichung (3.4)).

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Berechnung der Fresnelbeugung an einer Halbebene.

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Bei der Beugung interferiert Licht von Kugelwellen aus allen Punkten mit den Koordinaten xim Beobachtungspunkt mit der Koordinate x. Für eine einzelne Teilwelle ist der Weg

    ∘ ---------------
s =   D2 +  (x − x′)2
(3.1)

Entsprechend ist die komplexe Amplitude am Punkt x gegeben durch

      ′      Φ0    i·2πs(x,x′)∕λ
Φ (x,x ) = -----′-e
           s(x,x )
(3.2)

Die Amplitude am Punkt x ist dann nach Fresnel-Huygens

        ∫ d∕2   Φ0    i·2 πs(x,x′)∕λ   ′
Φ (x) =       -----′-e          dx
         −d∕2 s(x,x )
(3.3)

da wir Kugelwellen haben. Diese Gleichung kann numerisch gelöst werden. Es existieren die folgenden Näherungen:

  1. die Fresnelsche Näherung, die s bis zur zweiten Ordnung in xapproximiert (siehe Abschnitt 3.11.1) und die
  2. die Fraunhofersche Näherung, die s bis zur ersten Ordnung in xapproximiert, also letztlich eine Fouriertransformation ist (siehe Abschnitt 3.11.3).

Bei beiden Näherungen wird nur das rein imaginäre Argument der der Exponentialfunktion approximiert. Der Faktor 1∕s wird beide Male konstant gesetzt, das heisst, die Amplitudenvariation wegen der unterschidlichen Distanzen wird vernachlässigt.

3.11.1  Fresnelsche Näherung



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 710]) (Siehe Sommerfeld, Theoretische Physik Band IV, Optik [Som78, pp. 206])

Wir betrachten nur Orte, bei denen |x x′|« D sind. Dann ist

               ′ 2
s ≈ D  + (x-−-x-)-
            2D
(3.4)

und 1∕s 1∕D. Das heisst auch, dass die Phase ist proportional zu (x x)2. Unser Integral wird dann

        Φ0 ∫ d∕2  i·2πs(x,x′)∕λ  ′   Φ0 ∫ d∕2  i·2 π[D+ (x′−x)2∕2D]λ  ′
Φ(x ) = ---     e           dx =  ---     e                  dx
        D   −d∕2                  D   − d∕2
(3.5)

und

           ∫
        Φ0-  d∕2  i·2πD ∕λ i·2 π(x′−x)2∕(2D λ)  ′
Φ(x ) = D   −d∕2e       e               dx
                Φ           ∫ d∕2
              = --0ei·2πD ∕λ      ei·2π(x′− x)2∕(2Dλ)dx ′
                 D           −d∕2
(3.6)

Mit der Variablentransformation ξ = x′− x und damit den Grenzen ξu = d∕2 x und ξo = d∕2 x wird das Integral zu

        Φ0  i·2 πD∕λ∫ ξo i·2πξ2∕(2D λ)
Φ (ξ) = D--e         ξ e           dξ
                     u
(3.7)

Das verbleibende Integral ξuξoei·2πξ22kann als Summe und Differenz der Fresnelschen Integrale geschrieben werden. Wir verwenden, dass e = cos α + i sin α ist.

∫ ξo i·2πξ2∕2D λ     ∫ ξo(   (    2       )       (    2       ))
    e          dξ =      cos  2πξ ∕(2D λ)  + isin  2πξ ∕(2D λ)   dξ
 ξu               ∫  ξ(u   (   2 )       (    2) )
                   ξo       πξ--          π-ξ--
               =   ξu   cos  D λ   + isin  2D λ    dξ
(3.8)

Dieses Integral, nach Real- und Imaginärteil aufgetrennt und normiert ergibt die Fresnelschen Integrale

           ∫      (    )
             w      π-2
C (w ) =    0  cos  2τ   dτ
           ∫ w    (π   )
 S(w ) =       sin  --τ2  dτ          (3.9)
            0       2

Die Funktion Φ(x) kann als Differenz zweier Fresnelscher Integrale geschrieben werden

Φ(x ) =   K [C ((d∕2 − x)·k ) − C ((− d∕2 − x)·k )]
          +i·K   [S ((d∕2 − x)·k ) − S ((− d∕2 − x)(·3k.1)]0)

wobei K eine von der Intensität abhängige Konstante ist.

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Die Cornu-Spirale. Aufgetragen ist die parametrische Kurve (C(w),S(w)) mit −∞≤ w ≤∞. Die linke untere Spirale entspricht w = −∞, die rechte obere Spirale w = .

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Die durch F(w) = C(w) + iS(w) definierte Ortskurve ist die Cornu-Spirale. Dies e-Funktion beschreibt eine längentreue Abbildung der reellen Achse w auf die komplexe C,S-Ebene. Mit dieser Konstruktion kann auf einfachem graphischem Wege das Beugungsmuster konstruiert werden. Dazu zeichnet man vom Ortspunkt der unteren Integrationsgrenze zum Ortspunkt der oberen Integrationsgrenze eine Linie. Deren Länge gibt die Amplitude, deren Winkel zur reellen Achse die Phase. Damit kann das Fresnel-Beugungsbild eines Spalts berechnet werden.

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Cornu-Spirale mit einem Spalt der Breite 1.0 = w2 w1, hier von w1 = 0.3 bis w2 = 1.3.

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Fresnelsches Beugungsmuster an einem Spalt der Breite 1. Links die Amplitude und rechts die Intensität, die einzige direkt beobachtbare Grösse.

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Wenn man die untere Integrationsgrenze nach −∞ gehen lässt und bei der oberen Integrationsgrenze d gegen Null gehen lässt, bekommt man das Beugungsbild an einer Kante. Wir tragen nun die Strecke vom Zentrum der linken Spirale (F(−∞) = 12(1 + i)) aus zum Ortspunkt korrespondierend zu x ab. Wir sehen, dass im Schattenbereich (bis der bewegliche Ortspunkt 0, 0 erreicht) die Amplitude monoton zunimmt. Dann beginnt eine Oszillation, die als die Interferenzmuster im hellen Bereich beobachtet werden kann.

Abbildung 3.11.1 zeigt eine ausgewählte Position in der Cornu-Spirale. Ersichtlich ist in der Abbildung und in Abbildung 3.11.1, dass bei einer einfallenden Intensität mit dem Betrage 2 das transmittierte Licht an gewissen Orten eine höhere Intensität hat

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Cornu-Spirale für eine Kante. Die Linie geht von w1 = −∞ nach w2 = 1.06.

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Fresnelsches Beugungsmuster an einer Halbebene. Links die Amplitude und rechts die Intensität, die einzige direkt beobachtbare Grösse.

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3.11.2  Prinzip von Babinet



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 817])

Jacques Babinet hat im 19. Jahrhundert beobachtet, dass die Beugungsmuster komplementärer Beugungsobjekte identisch sind. Abbildung 3.11.2 zeigt ein Beispiel komplementärer Beugungsobjekte.

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Zwei komplementäre Beugungsobjekte zur Illustration von Babinets Prinzip.

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Anhand der Cornu-Spirale in Abbildung 3.11.1 kann nach Hecht [Hec05, p. 817] das Babinetsche Prinzip verstanden werden.

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Ohne beugendes Objekt erstreckt sich die Phase in der Cornu-Spirale von (1 + i)2 bis (1 + i)2.

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Abbildung 3.11.2 zeigt die Amplitude und Phase ohne Beugungsobjekt. Bei einem Spalt bekommen wir eine Situation wie in Abbildung 3.11.1.

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Phase in der Cornu-Spirale für w1 = 1.4 und w2 = 0.6, also w = 2.

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Abbildung 3.11.2 zeigt die Phase bei einem Spalt. Die Beugung an der linken Kante und an der rechten Kante des komplementären Streifens mit gleicher Breite wie die Spaltbreite kann wie in Abbildung 3.11.1 dargestellt werden.

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Beugung an den beiden Kanten einer Linie mit der Breite w = 2 und den Werten w = 1.4 (links) und w = 0.6 (rechts).

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Die einzelnen Linien in den Abbildungen 3.11.2 bis 3.11.2 stellen Amplitude und Phase des elektrischen Feldes dar. Das Babinetsche Prinzip besagt nun, dass die elektrischen Felder nach der Beugung an einem Spalt summiert mit den elektrischen Feldern nach der Beugung an einem Streifen das elektrische Feld ohne Beugungsobjekt geben müssen.

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Illustration des Babinetschen Prinzips anhand der Beugung an einem Spalt (Abb. 3.11.2) addiert zur Beugung an einem Streifen (Abb. 3.11.2). Diskussion nach Hecht [Hec05, p. 817].

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In der Abbildung 3.11.2 (nach Hecht [Hec05, p. 817]) wird gezeigt, dass der E-Feldvektor der ungestörten Lichtwelle (schwarz) die Summe aus den E-Feldern der Beugung am Spalt (magenta) und der Beugung an den zwei Kanten des Streifens (grün und blau) ist.

3.11.3  Fraunhofer-Beugung

Die Gleichung (3.4) kann weiter vereinfacht werden, wenn |x ′| |x| ist. Dann bekommen wir

         x2 − 2x·x ′        x2    x
s ≈ D +  ----------- = D +  ----− --x ′
             2D             2D    D
(3.11)

und 1∕s 1∕D. Nun ist die optische Distanz s eine lineare Funktion von x. Die Approximation gilt nur, wenn das Beugungsobjekt klein gegen die Distanz zu Objekt und der Grösse des Beugungsmusters ist. Diese Fernfeld-Approximation nennt man die Fraunhofer-Näherung.

Das heisst, dass die Phase proportional zu C + xist. Unser Integral wird dann

        Φ0 ∫ d∕2  i·2πs(x,x′)∕λ  ′   Φ0 ∫ d∕2  i·2 π[D+ x2−-xx′]λ  ′
Φ(x ) = ---     e           dx =  ---     e        2D D    dx
        D   −d∕2                  D   − d∕2
(3.12)

und

           ∫ d∕2      [   x2]
Φ(x ) = Φ0-     ei·2π D+ 2D ∕λe−i·2πxx′∕(2Dλ)dx′
        D   −d∕2     [     ]
          Φ   i· (2π∕λ) D+-x2  ∫ d∕2     [     πx   ]
       =  -0-e          2D       exp  − i·----x′ dx ′
          D                  −d∕2         D λ
(3.13)

Würde das Integral von −∞ nach +laufen, hätten wir eine Fouriertransformation.

Um aus Gleichung (3.13) ein Integral über zu machen, brauchen wir eine Fensterfunktion. Die Heaviside-Θ-Funktion erlaubt dies. Sie berechnet sich aus der Delta-Funktion über

         x∫
Θ (x) =    δ(y)dy
        −∞
(3.14)

Die Fensterfunktion oder Spaltfunktion gS(x) kann dann aus der Subtraktion zweier verschobener Θ-Funktionen erzeugt werden:

gS (x) = Θ(x + d ∕2) − Θ (x − d∕2 )
(3.15)

Gleichung (3.13) wird mit Gleichung (3.15) umgeschrieben:

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Damit ist klar, dass die Fraunhofer-Näherung für das Amplituden-Beugungsmuster eines Spaltes die inverse Fouriertransformation (Rücktransformation) der Spaltfunktion multipliziert mit einem Phasenfaktor ist. Die inverse Fouriertransformation der Spaltfunktion ist

                ∘--     (     )             (       )
  −1      ′       2 dsin π 2dDxλ-      d           dx
F    (gS(x)) =    --------dx----=  √----sinc  π -----
                  π 2   π2D λ        2π         2D λ
(3.17)

Dabei ist sinc(x) = sin(x)
  x eine übliche Kurzschreibweise.

Die Amplitude Φ hier ist zum Beispiel das elektrische Feld E. Dann ist die beobachtbare Intensität wie im Abschnitt 2.3 gegeben.

      ∘ -----
I = 1-  𝜀𝜀0-EE ∗ = n-𝜀0cEE ∗
    2   μμ0         2μ
(3.18)

Wir bekommen also für das Beugungsmuster der Intensität beim Einzelspalte in der Fraunhofer-Näherung

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3.11.4  Vergleich



Literatur


(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 327])

Die bis jetzt besprochenen Beugungseffekte haben die folgenden Eigenschaften:

Fraunhofersche Beugung

  1. Ebene Wellen fallen so auf einen Spalt, dass ihre Strahlen senkrecht auf ihn treffen. Damit sind die Amplituden und die Phasen der nach dem Huygensschen Prinzip emittierten Wellen gleich.
  2. Das Beugungsbild wird auf einem weit entfernten Schirm beobachtet. Die von Punktquellen ausgehenden Strahlen treffen ungefähr parallel auf den Schirm.

Ist eine der obigen Bedingungen nicht erfüllt, spricht man von Fresnelscher Beugung. Eine andere Formulierung der Bedingungen der Fraunhoferschen Beugung ist

  1. Der Abstand R von der Quelle zum Beugungsobjekt ist sehr viel grösser als die charakteristische Länge d des Beugungsobjekts.
  2. Der Abstand Rvom Beobachter zum Beugungsobjekt ist sehr viel grösser als die charakteristische Länge d des Beugungsobjekts.

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Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 0.5 und 1.

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Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 2 und 3.

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Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 4 und 5.

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Vergleich der Fresnelbeugung (rot) mit der Fraunhoferbeugung (schwarz) für Spaltweiten von 10 und 100. Beachten Sie die geänderte x-Achse bei der Spaltbreite 100.

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Sehr schön ist aus den Abbildungen zu ersehen, dass sich die transmittierte Intensität bei sehr breiten Spalten wie aus der geometrischen Optik erwartet verhält. Das Überschwingen an den Kanten in Abbildung 3.11.4 ist auch von Fouriertransformationen bekannt. Es heisst Gibbs-Phänomen und entsteht immer, wenn bei Integraltransformationen (Fourier oder eben die Wellentheorie der Beugung) die Bedingung der beliebig oft stetigen Differenzierbarkeit verletzt ist.

3.11.5  Kirchhoffsche Beugungstheorie



Literatur


(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 819])

Wenn die Polarisation der Lichtwelle nicht relevant ist, kann die vektorielle Wellengleichung, wie sie aus den Maxwellgleichungen abgeleitet wird, als skalare Wellengleichung geschrieben werden. Beim Fresnel-Huygenschen Prinzip wir die anregende Welle in eine unendliche Anzahl von Punktstörungen aufgeteilt. Diese punktförmigen Anregungen beinhalten nun alle räumlichen Frequenzen.

Der alternative Ansatz von Kirchhoff analysiert die in der Anregung und dem Beugungshindernis vorhandenen Frequenzen und berechnet so das Beugungsmuster über eine Fourieranalyse.

Kirchhoff betrachtet skalare monochromatische Wellen [Hec05, p. 820], [AW95]. Diese haben die Form

E (r,t) = Er(r)exp (− iωt) ω=k=c Er (r )exp (− ikct)
(3.20)

und sind die Lösung der skalaren Form der vektoriellen Wellengleichung (2.1). Wird Gleichung (3.20) eingesetzt, ergibt sich die rein räumliche partielle Differentialgleichung

             2
ΔEr (r ) = − k Er (r)
(3.21)

Gleichung (3.21) wird in der Literatur Helmholtz-Gleichung genannt. Nach Hecht [Hec05, pp. 1041-1042] kann die Gleichung mit dem zweiten Greenschen Satz gelöst werden. Nach [AW95, pp. 58-60] beruht dies auf dem Gaussschen Satz

∬             ∭                ∭
    V ·da  =       div V dV  =       ∇ ·V  dV

 A            V(A)             V (A )
(3.22)

mit einer geschlossenen Oberfläche A. Weiter werden die Identitäten für Vektorableitungen

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Die Differenz der beiden Gleichungen eliminiert das Skalarprodukt der Gradienten

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oder in Integralform

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Nach Hecht [Hec05, p. 1041] nimmt man nun an, dass u und v die Helmholtzgleichung (3.21) lösen, dass also Δu = k2u und Δv = k2v ist. Dann ist die linke Seite von Gleichung (3.25) null, also haben wir

∬

    (ugrad  v − vgrad  u)·dA   = 0
A
(3.26)

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Geometrie zur Herleitung des Kirchhoffschen Integralsatzes (Adaptiert aus [Hec05, pp. 819 ff]).

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Danach wird u = Er(r) gesetzt und v als Kugelwelle um den Nullpunkt

    exp-(ikrP)
v =     r
         P
(3.27)

Dabei ist rp = rr0 der Vektor eines Beobachtungspunktes vom Punkt P und rP der dazugehörige Abstand. P soll innerhalb der geschlossenen Fläche A liegen. In Kugelkoordinaten ist

               (           )   (           )
grad v =  grad   exp-(ikrP-)  =   − -1-+  ik-- exp (ikr  )e
                     rP            r2P    rP          P   rP
(3.28)

erP zeigt von P weg nach aussen. Wir subtrahieren also eine kleine Kugelfläche A mit dem Kugelmittelpunkt bei P von A und schliessen so die Divergenz aus. Dann lassen wir A 0 gehen. Auf der Kugeloberfläche A lautet der Gradient

grad E  (r ) =  -∂-E  (r )
       r  P     ∂rP  r  P
(3.29)

Damit wird der Integrand von Gleichung (3.26) innerhalb der kleinen Kugel A

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Dieser Integrand soll über eine Kugelfläche A mit dem Radius rP integriert werden. Alle Vektoren sind weiter radial, so dass für eine beliebige, gutartige Funktion H sie Beziehung H·dA = HrP 2dΩ geschrieben werden kann, wobei dΩ ein Raumwinkelelement ist. Im Grenzfall A 0 oder rP 0 nimmt Er(rP ) einen konstanten Wert an, nämlich den Wert Er,P am Ort des Punktes P. Weiter geht exp (ikrP ) in diesem Falle gegen 1. Die Terme mit rP gehen nach Null.

Wir haben also

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Mit rP = rr0 kann der Kirchhoffsche Integralsatz so geschrieben werden:

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Der Kirchhoffsche Integralsatz besagt, dass die skalare Amplitude des elektrischen Feldes aus dem Feld auf einer Integrationsfläche berechnet werden kann.

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Sizze der Geometrie der Kirchhoff-Theorie (Adaptiert aus [Hec05, pp. 819 ff]).

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Im Weitern betrachtet man jetzt nach Hecht [Hec05, p. 820] eine ungestörte Kugelwelle, die von einem Punkt S mit dem Ortsvektor rS ausgeht. Dann wird ρ = rrS gesetzt die Funktion Er(ρ,t) = Er(ρ,t)

                             [            ]
E (ρ,t) = E^ (ρ)exp (− iωt) = E  exp-(ikρ)  exp(− iωt)
  r         r                   0    ρ
(3.34)

angesetzt. Weiter setzen wir

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Wenn nun wie in der makroskopischen Optik λ « ρ = |r − rS| und λ « rp = |r − r0| ist, wenn also die Ausdehnungen der Objekte gross gegen die Wellenlänge sind, können die quadratischen Terme vernachlässigt werden und Gleichung (3.33) lautet dann mit k = 2π∕λ dann:

           E  i∬    exp (ik (|r − r  | + |r − r |))
Er(r0) = − --0-     --------------S---------0---ea· (er,r0 − eρ)dA
            λ            2 |r − rS ||r − r0 |
                A
(3.36)

Gleichung (3.36) gilt nicht für die Nanooptik, die Wechselwirkung zwischen Nanoteilchen und auch nicht für Mikrowellen.

Hecht [Hec05, p. 824] schliesst aus Gleichung (3.36), dass das Fresnel-Huygenssche Prinzip direkt aus der skalaren Wellengleichung hergeleitet werden kann. Er gibt an, dass bei dieser Herleitung aus der Wellengleichung ein zusätzlicher Phasenfaktor π∕2 entsteht, der in der normalen Ableitung fehlt. Dieser Phasenfaktor ist dann wichtig, wenn die gebeugte Welle mit einer Referenzwelle interferieren soll.



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